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浙江省杭州二中2012-2013学年高二下学期期中数学理试题


杭州二中 2012 学年第二学期高二年级期中考试数学试卷(理科)
注意:本试卷不得使用计算器 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.复数 z ? A.
3? i 2 2 ? i 1? i

的共轭复数为 B.
3? i 2

C.

1 ? 3i 2

D.

3 ? 3i 2

x ?x ' 2.设 f 0 ( x ) ? e ? e ,且对任意的 n ? N ,都有 f n ? 1 ( x ) ? f n ( x ) ,则 f 2013 ( x ) ?

A. e ? e
x

?x

B. e

?x

? e

x

C. e ? e
x

?x

D. ? e ? e
x

?x

3. 设函数 y ? f ( x ), x ? [ a , b ] ,其导函数的图象如右图所示,则函数 y ? f ( x ) 的减区间是 A. ( x 1 , x 3 ) C. ( x 4 , x 6 ) B. ( x 2 , x 4 ) D. ( x 5 , x 6 )

4.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数
f (x) ? x
3

f (x)

,若

f ?( x 0 ) ? 0
3

,则 x

? x0

是函数

f (x)

的极值点.因为

在x

? 0

处的导数值

f ?( 0 ) ? 0

,所以 x

? 0



f (x) ? x

的极值点. 以上推理中 D.结论正确

A.大前提错误 5.函数 f ( x ) ?
cos x 1? x

B. 小前提错误 在 ( 0 ,1 ) 处的切线方程是

C.推理形式错误

A. x ? y ? 1 ? 0

B. 2 x ? y ? 1 ? 0
5 10

C. 2 x ? y ? 1 ? 0

D. x ? y ? 1 ? 0

6.设 a ?

17 ?

15 , b ?

21 ?

19 , c ?

,则 a , b , c 的大小关系为 C. c ? a ? b D. c ? b ? a

A. a ? b ? c 7.若函数 f ( x ) ? mx ? A. [ ?
1 2 , ?? )

B. b ? a ? c

x 在区间 [ 0 ,1 ] 单调递增,则 m 的取值范围为

B. [ , ?? )
2

1

C. [ ? 2 , ?? )

D. [ 2 , ?? )

6 4 8. 在 (1 ? 2 x ? x ) 的展开式中, x 的系数是

A. 435

B. 455

C. 475
f (1 ) 2
第1页

D. 495

9. 若函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? xf ' ( x ) ? 0 ,设 a ?

, b ? f ( 2 ) ,则 a , b 与 0 的大小关系为

A. a ? 0 ? b

B. b ? 0 ? a

C. a ? b ? 0

D. b ? a ? 0

10.某校数学学科中有 4 门选修课程,3 名学生选课,若每个学生必须选其中 2 门,则每门课程都有学生选 的不同的选课方法数为 A. 84 B. 88 C. 114 D. 118

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.观察下列式子: 1 ? ln 2 , 1 ?
1 2 ? ln 3 , 1 ? 1 2 ? 1 3
n

? ln 4 , 1 ?

1 2

?

1 3

?

1 4

? ln 5 ,…… ,则可以归纳出第

个式子为

12.在复平面内, 复数 1 + i 与 2i 分别对应向量 OA 和 OB , 其中 O 为坐标原点,则向量 AB 所对应的复数 是
n

.
1 x ) 的常数项为
n

13.已知二项式 (1 ? 3 x ) 的各项系数和为 256 ,则 ( x ?

.
( m ? 1) b ? ( n ? 1) a m ? n

* 14. 已知数列 { a n } 为等差数列,若 a m ? a , a n ? b ( n ? m ? 1, m , n ? N ) ,则 a 1 ?

.类比

* 上述结论,对于等比数列 { b n } ( b n ? 0 , n ? N ) ,若 b m ? c , b n ? d ( n ? m ? 2 , m , n ? N ) ,则可以得到 b 1 =

*

____________. 15.某农场有如图所示的 2 行 3 列共六块土地,现有萝卜、玉米、油菜三类蔬菜可种. 要求每块土地种一类蔬菜,每类蔬菜种两块土地,每行的蔬菜种类各不相同,则 恰有一类蔬菜种在同列的种植方法数为 16.函数 F ( x ) ? ( x ?
2

. 在区间 ( 0 , ] 上的最小值为
2
2x

1 x

)

2013

? (x ?

1 x
2

)

2013

3

.
?1

17.若对任意的 x ? [ 0 , t ]( t 的取值范围是

? 0)

x 2x 2 ,存在实数 a ,使得关于 x 的不等式 e ( e ? a ) ? 2 ae

恒成立,则 t

.

第2页

杭州二中 2012 学年第二学期高二年级期中考试数学答题卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在题中的横线上. 11. 13. 15. 17. 三、解答题:本大题共 4 小题.共 42 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 8 分)已知 m ? R ,函数 f ( x ) ? x ? 3 x ? 9 x ? m .
3 2

12. 14. 16.

(Ⅰ)求 f ( x ) 的极值(用含 m 的式子表示); (Ⅱ)若 f ( x ) 的图象与 x 轴有 3 个不同交点,求 m 的取值范围.

第3页

19.(本题满分 10 分) (Ⅰ)设 a ? 0 , b ? 0 ,求证:
a ? b 2 ? ab ?
1 b

a

2

? b 2

2

?

a ? b 2



(Ⅱ)设 a , b , c ? ( 0 , ?? ) ,求证:三数 a ?

,b ?

1 c

,c ?

1 a

中至少有一个不小于 2.

第4页

20. (本题满分 12 分)设正项数列 { a n } 的前 n 项和 S n ,且满足 S n ?

1 2

an ?
2

n 2

(n ? N ) .

?

(Ⅰ)计算 a 1 , a 2 , a 3 的值,猜想 { a n } 的通项公式,并证明你的结论; (Ⅱ)设 T n 是数列 {
1 an
2

} 的前 n 项和,证明: T n ?

4n 2n ? 1

.

第5页

21. (本题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? (Ⅰ)判断 x ? 1 能否为函数

1 2

mx

2

? 2 x ? ln( x ? 1 )

(m ? R ) .

f ( x ) 的极值点,并说明理由;

(Ⅱ)若存在 m ? [ ? 4 , ? 1 ) ,使得定义在 [1, t ] 上的函数 g ( x ) ? f ( x ) ? ln( x ? 1 ) ? x 在 x ? 1 处取得最大值,
3

求实数 t 的最大值.

杭州二中 2012 学年第二学期高二年级期中考试数学试卷(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 题号 答案 1 A 2 A 3 B 4 A 5 A 6 D 7 A 8 D 9 D 10 C

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在题中的横线上.
1 2 1 n

11. 1 ?

?? ?

? ln( n ? 1 )

12.

?1? i

13.

6

14.

b1 ?

m?n

d c

m ?1 n ?1

15.

18

16.

2

2014

17.

0 ? t ? 2 ln

1? 2

5

三、解答题:本大题共 4 小题.共 42 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.解: (Ⅰ)令 f ' ( x ) ? 3 x ? 6 x ? 9 ? 3 ( x ? 2 x ? 3 ) ? 0 ,得: x ? 1 或-3.
2 2

当 x ? 1 或 x ? ? 3 时, f ' ( x ) ? 0 ; 当 1 ? x ? 3 时, f ' ( x ) ? 0 ; 故 f ( x ) 在区间 (1, ?? ) , ( ?? , ? 3 ) 单调递增;在区间 ( ? 3 ,1 ) 单调递减…………..3’ 于是 f ( x ) 的极大值 f ( ? 3 ) ? 27 ? m ,极小值为 f (1 ) ? ? 5 ? m ………………...1’

第6页

(Ⅱ)令 ?

? 27 ? m ? 0 ?? 5 ? m ? 0

,………………………………………………………………3’

得 ? 27 ? m ? 5 ………………………………………………………………………1’ 19.(Ⅰ)证法一:要证:
a
2

a ? b 2

?

ab ?

a

2

? b 2

2

?

a ? b 2

即证: a ? b ?

? b 2

2

? a
2

ab ? b 2
2

即证: a 2 ? b 2 ? 2 ab ? 即证:
a
2

? ab ? 2 a
2

ab ?

a

2

? b 2

2

? b 2

2

? ab ? 2

ab ?

? b 2

2

由基本不等式,这显然成立,故原不等式得证…………… …………………………….5’ 证法二:要证:
( a ? b 2 a ? b 2 ? ab )

a ? b 2
2

?

ab ?

a

2

? b 2

2

?

a ? b 2

( ? a
2

a ? b 2

)

2

即证:

? b 2

2

?

a ? b 2

由基本不等式 ab ?

a ? b 2

?

a

2

? b 2

2

,可得上式成立,故原不等式得证. …………………..5’
1 2 a1 ?
2

20. (Ⅰ)解:当 n=1 时, a 1 ? S 1 ?
a1 ? a 2 ? a 3 ? S 3 ? 1 2 a3 ?
2

1 2

,得 a 1 ? 1 ; a 1 ? a 2 ? S 2 ?

1 2

a 2 ? 1 ,得 a 2 ? 2 ;
2

3 2

,得 a 3 ? 3 .猜想 a n ? n ………………………………………….2’

证明: (ⅰ)当 n=1 时,显然成立. (ⅱ)假设当 n=k 时, a k ? k ……………………………………………………………………….1’ 则当 n=k+1 时, a k ? 1 ? S k ? 1 ? S k ?
1 2 a k ?1 ?
2

k ?1 2

? (

1 2

ak ?
2

k 2

) ?

1 2

a k ?1 ?
2

k ?1 2

? (

1 2

k

2

?

k 2

)

结合 a n ? 0 ,解得 a k ? 1 ? k ? 1 ……………………………………………………………………..2’
? 于是对于一切的自然数 n ? N ,都有 a n ? n ………………………………………………………1’

(Ⅱ)证法一:因为

1 n
2

? n
2

1 ? 1 4

? 2(

1 2n ? 1
1 5 4?1

?

1 2n ? 1
1

) ,……………………………………3’

Tn ?

1 1
2

?

1 2
2

?? ?

1 n
2

? 2 (1 ?

1 3

?

1 3

?

?? ?

2n ? 1 4 3

?

1 2n ? 1 4 3

) ? 2 (1 ?

1 2n ? 1

) ?

4n 2n ? 1

…….3’

证法二:数学归纳法 证明: (ⅰ)当 n=1 时, T 1 ?
1 1
2

?1,

2?1?1

?

,1 ?

………………………………….1’

第7页

(ⅱ)假设当 n=k 时, T k ? 则当 n=k+1 时, T k ? 1 ? T k ?

4k 2k ? 1
1 ( k ? 1)

………………………………………………………………1’
? 4k 2k ? 1 ? 1 ( k ? 1)
2

2

要证: T k ? 1 ?

4 ( k ? 1) 2 ( k ? 1) ? 1
1 ( k ? 1) 4k 2k ? 1
2

只需证:

4k 2k ? 1

?

?

4 ( k ? 1) 2 ( k ? 1) ? 1 4 4 (2k ? 2)
2

由于

4 ( k ? 1) 2 ( k ? 1) ? 1 4k 2k ? 1

?

?

( 2 k ? 3 )( 2 k ? 1 )

?

?1

?

1 ( k ? 1)
2

所以

?

1 ( k ? 1)
2

?

4 ( k ? 1) 2 ( k ? 1) ? 1
?

………………………………………………………………3’
4n 2n ? 1

于是对于一切的自然数 n ? N ,都有 T n ? 21. (Ⅰ) f ' ( x ) ? mx ? 2 ? 当m ?
3 2 1 x ?1

…………………………………………….1’
3 2

,令 f ' (1 ) ? 0 ,得 m ? ,于是 f ( x ) 在 ( ? 1 , ?

;………………………………2’
) 单调递增,在 ( ? 2 3 ,1 ) 单调递减,

时, f ' ( x ) ?

( 3 x ? 2 )( x ? 1 ) x ?1

2 3

在 (1, ?? ) 单调递增. 故当 m ?
3 2

时, x ? 1 是 f ( x ) 的极小值点………………………………………………………….2’
3 3

(Ⅱ) g ( x ) ? f ( x ) ? ln( x ? 1 ) ? x ? x ?

1 2

mx

2

? 2x .

由题意,当 x ? [1, t ] 时, g ( x ) ? g (1 ) 恒成立………………………………………………………..2’ 易 得 g ( x ) ? g (1 ) ? ( x ? 1 )[ x ? (1 ?
2

1 2

m)x ?

1 2

m ? 1] ? 0 , 令 h ( x ) ? x

2

? (1 ?

1 2

m)x ?

1 2

m ? 1 ,因为

h ( x ) 必然在端点处取得最大值,即 h ( t ) ? 0 ………………………………………………………4’
? t
2

即 t ? (1 ?
2

1 2

m )t ?

1 2

m ? 1 ? 0 ,即

? t ?1

t ?1

? ?2 ,解得, 1 ? t ?

1? 2

13

,所以 t 的最大值为

1? 2

13

……………………………………………………

……………………………..2’

第8页


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