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选修2-1 2.1.1曲线与方程 2.1.2求曲线的方程


分析特例归纳定义

曲线和方程之间有什么对应关系呢?
(1)、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的 坐标满足的关系
第一、三象限角平分线

l ? 点的横坐标与纵坐标相等 ? x=y(或x-y=0)
条件 方程

曲线

y

l
0

得出关系:
x-y=0 x

(1)l 上点的坐标都是方程x-y=0的解 (2)以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l上

分析特例归纳定义
(2)、函数

y ? ax2 (a>0) 的图象是关于y轴对称的抛物线 2 这条抛物线的方程是 y ? ax (a>0 )
y

·
M

y ? ax2 (a>0)

0
满足关系:

x

(1)、如果 (x 0 , y0 ) 是抛物线上的点,那么( x0 , y0 ) 一定是这个方程的解 (2)、如果( x0 , y0 ) 是方程 y ? ax (a>0) 的解,那么以它为坐标的点一定
2

在抛物线上

分析特例归纳定义
(3)、说明过A(2,0)平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系
①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2 ②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上 结论:过A(2,0)平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2 y

0

2

A

x

分析特例归纳定义
定义 ?给定曲线C与二元方程f(x,y)=0,若满

足 ?(1)曲线上的点坐标都是这个方程的解 ?(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线 上的点 ?那么这个方程f(x,y)=0叫做这条曲线C 的方程 y ?这条曲线C叫做这个方程的曲线 f(x,y)=0
0 x

说明:1、曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形

2、两者间的关系:点在曲线上 ? 点的坐标适合于此 曲线的方程。

通俗地说:无点不是解且无解不是点 或说点不比解多 且解也不比点多。 即:曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够 一一对应 3、如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点 f ( x0 , y0 ) ? 0 C上的充要条件是 。
集合的 P( x在曲线 , y ) 观点
0 0

学习例题巩固定义
例1判断下列结论的正误并说明理由 对(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线为x=3 错(2)到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 错(3)到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1
例2证明:圆心为坐标原点,半径为5的圆的方程是 y x2 ? y 2 ? 25 5 , 2) 并判断 M1(3,?4)、M( 是否在圆上 2 ?2 5

变式训练:写出下列半圆的方程
y 5 5 y y 5 5 x -5 -5 x -5 5 y

·
M2

0

·
M1

5

x

-5

0

5 x -5

0

5x

变式思维训练,深化理解
(1)举出一个方程与曲线,使 它们之间 的关系符合①而不符合②. (2)举出一个方程与曲线,使 它们之间 的关系符合② 而不符合① . (3) 举出一个方程与曲线,使 它们之间 的关系既符合①又符合②。

2 y ? 2 x 例子:(2)画出函数
y 8

(-1≤x≤2) 的图象C.
y

y ? 2x 2

y ? 2x 2
(-1≤x≤2)

8

-1

O

2

x

-1

O

2

x

符合条件①不符合条件②

符合条件②不符合条件 ①

例子:(2)画出函数
y 8

y ? 2x 2 (-1≤x≤2) 的图象C.

y ? 2x 2
(-1≤x≤2)

-1

O

2

x

符合条件①、 ②

下列各题中,图3表示的曲线方程是所列出的 方程吗?如果不是,不符合定义中的关系①还 是关系②? (1)曲线C为过点A(1,1),B(-1,1)的折 线,方程为(x-y)(x+y)=0;
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线,方程 为x+ =0; (3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到X轴,Y轴 的距离乘积为1的点集,方程为y= 。
y 1 1 y y

1 x
-2 -1 0 1 2

1 x
-2 -1 0 1 2

-1

0

x

图3

例3 证明以坐标原点为圆心,半径等于5的圆的方程是x2 +y2 = 25,并判断点M1(3,-4),M2(-3,2)是否在这个圆 上.
证明:(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点.因为点M到坐标原点 的距离等于5,所以 x0 2 ? y0 2 ? 5, 也就是xo2 +yo2 = 25. 即 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解.
(2)设 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解,那么

x 2 +y 2 = 25
0 0

两边开方取算术根,得

x0 ? y0 ? 5,

2

2

即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5,点M (x0,y0)是这个圆 上的一点.

由1、2可知, x2 +y2 = 25,是以坐标原点为圆心, 半径等于5的圆的方程.

归纳小结:
证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步,设M (x0,y0)是曲线C上任一点, 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解; 第二步,设(x0,y0)是f(x,y)=0的解,证明 点M (x0,y0)在曲线C上.


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