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2013年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)


2013 年全国高中数学联合竞赛(B 卷)
一试
考试时间:2013 年 10 月 13 日上午 8:00 至 9:20

一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1. 已知锐角三角形的三条边长都是整数, 其中两条边长分别为 3 和 4, 则第三条边的边长为 2.设 i ? .

?1 为虚数单位,则 i ? 2i 2 ? 3i3 ? ? ? 2013i 2013 ?

. .

3. 设集合 A ? ?2, 0,1,3? , 集合 B ? x ? x ? A, 2 ? x ? A , 则集合 B 中所有元素的和为
2

?

?

4.已知正三棱锥 P ? ABC 的底面边长为 1,高为 2 ,则其内切球半径是 5.在区间 ? 0, ? ? 中,方程 sin12x ? x 的解的个数为 6.定义在实数上的函数 f ? x ? ? .



sin ? x 1 ? x ? x2

? x ? R ? 的最小值是



7. a, b 为实数, 设 函数 f ? x ? ? ax ? b 满足: 对任意 x ? ? 0,1? , f ? x ? ? 1 , ab 的最大值为 则



8.将正九边形的每个顶点等概率地涂上红、蓝两种颜色之一,则存在三个同色的顶点构成锐角 三角形的概率为 .

二、解答题(本大题共 3 小题,共 56 分) 9. (16 分)已知数列 ? an ? 满足: a1 ? 2 , an ? 2 ? n ? an ?1 ? , n ? 2,3,? .求数列 ? an ? 的通项 公式. 10. (20 分)假设 a, b, c ? 0 ,且 abc ? 1 ,证明

a ? b ? c ? a 2 ? b2 ? c 2 .
11. (20 分)在平面直角坐标系 xOy 内,点 F 的坐标为 ?1, 0 ? ,点 A, B 在抛物线 y ? 4 x 上,
2

满足 OA ? OB ? ?4 , FA ? FB ? 4 3 ,求 FA ? FB 的值.

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

2013 年全国高中数学联合竞赛(B 卷)
加试
考试时间:2013 年 10 月 13 日上午 9:40 至 12:10 一、 (40 分)对任意的正整数 n ,证明不存在三个奇数 x, y, z 满足如下的方程:

? x ? y?

n

? ? y ? z? ? ?x ? z? .
n n

二、40 分) 设 A, B, C 依次是直线 l 上的三个不同的点, ( a) 证明存在 l 外一点 P , 使得 ?APB ? ?BPC . b ) 对 于 直 线 l 上 依 次 排 列 的 任 意 四 点 A, B, C, D , 是 否 总 存 在 l 外 一 点 P , 使 得

?APB ? ?BPC ? ?CPD ?如果点 P 总存在,试写出证明;如果点 P 不一定存在,请举出反例.

三、 (50 分)非负实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 10 ,求
2 2 2

u ? 6 ? x2 ? 6 ? y 2 ? 6 ? z 2
的最大值和最小值.

四、 (50 分)用若干单位小正方形和由三个单位小方格组成的

形“砖”铺满一个 2 ? n 的方格棋

盘的所有不同可能铺法的数目是 Tn .下面的图是 n ? 3 时的两种不同的铺法:

a)求 T10 ;并且 b)求 T2013 的个位数.


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