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3.1.1变化率问题汇总


3.1.1 变化率问题

石狮三中

李榕

创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在 数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分, 微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体 在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变 化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对 于另一个变量变化的快慢程度.

问题1 气球膨胀率

在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气 容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数 学的角度, 如何描述这种现象呢?
我们知道, 气球的体积V ?单位 : L ?与半径 r (单 4 3 位 : dm)之间的函数关系是V ?r ? ? ? r , 3
如果把半径r表示为体积V的函数, 那么 3 V r ?V ? ? 3 . 4?

当空气容积V从0增加到1 L时, 气球半径增加了 r ?1? ? r ?0 ? ? 0.62?cm ?, r ?1? ? r ? 0 ? 气球的平均膨胀率为 ? 0.62 ? dm / L ? . 1? 0 类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径 增加了r ?2? ? r ?1? ? 0.16?dm ?, r ? 2 ? ? r ?1? 气球的平均膨胀率为 ? 0.16 ? dm / L ? . 2 ?1 可以看出, 随着气球体积逐渐变大,它的平均膨 胀率逐渐变小了.

思考 当空气的容量从 V1增加到V2时, 气球的平 ?r r ?V2 ? ? r ?V1 ? 均膨胀率是多少 ? ? ?V V2 ? V1

问题 2 高台跳水 人们发现 , 在高台跳水运动中 , 运动员相对于水 面的高度 h ?单位 : m ? 与起跳后的时间t ?单位 : s ? 2 ? ? 存在函数关系 h t ? ?4.9t ? 6.5t ? 10. 如果我们用运动员某段 时间内的平均速度 v描 述其运动状态 , 那么

在0 ? t ? 0.5这段时间里 , h?0.5 ? ? h?0 ? v? ? 4.05 ?m / s ? ; 0. 5 ? 0 在1 ? t ? 2这段时间里 , h?2? ? h?1? v? ? ?8.2 ?m / s ?. 2?1
播放 暂停 停止

65 探究 计算运动员在0 ? t ? 这段时间 49 里的平均速度, 并思考下面的问题 :

?1? 运动员在这段时间里是静止的吗 ? ? 2 ? 你认为用平均速 度描述 运动员运 动
状态有什么问题吗 ?

h ? t2 ? ? h ? t1 ? ?h v? ? ?t t2 ? t1

探究过程:如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10 65 的图像,结合图形可知, h ( ) ? h ( 0) , 49 所以, h
65 h( ) ? h(0) 49 v? ? 0( s / m) 65 ?0 49
65 0?t? 49

O t ? 65 65
98 49

t

虽然运动员在 这段时间里的平均 速度为 0(s / m) ,但实际情况是运动员仍然 运动,并非静止,可以说明用平均速度不 能精确描述运动员的运动状态.

一、讲授新课
1、平均变化率: 如果上述两个问题中的函数关系用y=f (x) 表示,那么问题中的变化率可用式子表 示为
f ? x2 ? ? f ? x 1 ? x2 ? x1

我们把这个式子称为函数y=f (x)从x1 到x2的平均变化率

平均变化率:

f ? x2 ? ? f ? x 1 ? x2 ? x1

(1)习惯上用Δ x表示x2-x1,即Δ x= x2-x1,可把Δ x看作是对于x1的一个 “增量”,可用x1+Δ x代替x2; (2)类似地,Δy=f (x2)-f (x1)可看作 f (x2)相对于f (x1)的一个“增量” ?y 平均变化率可表示为: ? x
注意:?x的值可正可负不可以为0 ?y的值可正可负也可为0

2、平均变化率的几何意义
的斜率 课本P74页思考 割线AB y 平均变化率 ?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x 2) ? ?x x2 ? x1

y=f(x)
B

表示什么?

f(x1) O

A

f(x2)-f(x1)

x2-x1 x

思考

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 观察函数f(x)的图象平均变化率 x2 ? x1

表示什么?

y
f (x2)

y=f (x)

B A
x2-x1

直线AB的斜率

f (x1)

f (x2)-f (x1)

o

x1

x2

x

练习:
1.甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万 元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果? 2.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在

下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.
(1) [ –3 , –1] ; (2) [ 0 , 5 ] .

做两个题吧!
?

1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2) 及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( ) A、3 B、 3Δx-(Δx)2 2 C 、 3-(Δx)D D 、3-Δx

?

2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+Δx

小结:
? y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? 1.函数的平均变化 ?x x2 ? x1 率
?

2.求函数的平均变化率的步骤:

(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);

? y f ( x2 ) ? f ( x1 ) (2)计算平均变化率 ? ?x x2 ? x1

题型一 求平均变化率 【例 1】 求函数 y=f(x)=3x2+2 在区间[x0,x0+Δ x]上的平均 变化率,并求当 x0=2,Δ x=0.1 时平均变化率的值. [思路探索] 解答本题可先求自变量的增量和函数值的增量,然 后代入公式求解.

解 为

函数 y=f(x)=3x2+2 在区间[x0,x0+Δ x]上的平均变化率

f(x0+Δ x)-f(x0) [3(x0+Δ x)2+2]-(3x2 0+2) = (x0+Δ x)-x0 Δx 6x0·Δ x+3(Δ x)2 = =6x0+3Δ x. Δx 当 x0=2,Δ x=0.1 时, 函数 y=3x2+2 在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2+3×0.1=12.3.

规律方法

求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题

的关键是弄清自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy,求平均变 化率的主要步骤是: (1)先计算函数值的改变量Δy=f(x1)-f(x0); (2)再计算自变量的改变量Δx=x1-x0; Δy f(x1)-f(x0) (3)得平均变化率 = . Δx x1-x0

1 【变式 1】 在例 1 中,分别求函数在 x0=1,2,3 附近Δ x 取 2 时的平均变化率 k1,k2,k3,并比较其大小. 解 由例题可知,函数在[x0,x0+Δ x]上的平均变化率为 6x0+ 3Δ x. 1 当 x0=1, Δ x= 时, 函数在[1, 1.5]上的平均变化率为 k1=6×1 2 +3×0.5=7.5; 1 当 x0=2, Δ x= 时, 函数在[2, 2.5]上的平均变化率为 k2=6×2 2 +3×0.5=13.5;

1 当 x0=3, Δ x=2时, 函数在[3, 3.5]上的平均变化率为 k3=6×3 +3×0.5=19.5,所以 k1<k2<k3.

题型二 求物体运动的平均速度 【例 2】 以初速度 v0 竖直向上抛一物体的位移 s 与时间 t 的关 1 2 系为:s(t)=v0t-2gt . (1)求物体从时刻 t0 到时刻 t0+Δ t 这段时间的平均速度 v; (2)求物体在 t=10 s 到 10.4 s 这段时间的平均速度. Δs [思路探索] 由物体运动方程 → 写出位移变化量Δs → Δt



(1)由 t0 到 t0+Δ t,则改变量为Δ t.

Δ s=s(t0+Δ t)-s(t0) 1 1 2 2 =v0(t0+Δ t)-2g(t0+Δ t) -v0t0+2gt0 1 =Δ tv0-gt0·Δ t-2g(Δ t)2. 1 2 Δ t v 0-gt0·Δ t- g(Δ t) Δs 2 1 v= = =v0-gt0-2gΔ t. Δt Δt (2)当 t0=10 s 时,Δ t=0.4 s, 则物体在 t=10 s 到 10.4 s 这段时间的平均速度 1 v=v0-10g-2×g×0.4=v0-10.2g.

规律方法

已知物体的运动方程,即知道物体运动过程中位移

与时间的函数关系,求其在[t0,t0+Δt]内的平均速度,根据平 均速度的意义可知就是求这个函数在[t0,t0+Δt]内的平均变化 率.

【变式2】 动点P沿x轴运动,运动方程为x=10t+5t2,式中t 表示时间(单位:s),x表示距离(单位:m),求在20≤t≤20+ Δ t时间段内动点的平均速度,其中 (1)Δ t=1,(2)Δ t=0.1,(3)Δ t=0.01. 解 动点在20≤t≤20+Δ t时间段内的平均速度为 10(20+Δ t)+5(20+Δ t)2-10×20-5×202 = Δt 210Δ t+5(Δ t)2 = =5Δ t+210, Δt (1)当Δ t=1时,v=5×1+210=215(m/s) (2)当Δ t=0.1时,v=5×0.1+210=210.5(m/s) (3)当Δ t=0.01时,v=5×0.01+210=210.05(m/s).

题型三 平均变化率的实际应用 【例 3】 (12 分)蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系为 T(t) 120 = +15,其中 T(t)为体温(单位:℃),t 为太阳落山后的时 t+5 间(单位:min). 求:(1)从 t=0 到 t=10 min,蜥蜴的体温的平均变化率. (2)体温 T(t)对时间 t 的变化率.

审题指导 利用平均变化率的定义求解. 120 120 Δ T T(10)-T(0) 15 +15- 5 -15 [ 规范解答 ] (1) = = = 10 10 Δt -16 ℃/min. ∴从 t=0 到 t=10 min, 蜥蜴的体温的平均变化率为-16 ℃/min (6 分)

(2)设时间的增量为Δ t,则体温 T(t)的改变量为 120 120 Δ T = T(t + Δ t) - T(t) = + 15 - - 15 = t+Δ t+5 t+5 -120Δ t , (t+Δ t+5)(t+5) ΔT -120 ∴ = .(10 分) Δ t (t+Δ t+5)(t+5) -120 故体温 T(t)对时间 t 的变化率为 .(12 分). (t+Δ t+5)(t+5)

【题后反思】 平均变化率是一个比值, 它是揭示一个量随另一 个量变化快慢的重要指标,学习时应通过实例体会和经历求平 均变化率的过程,注意平均变化率对于不同的实际问题可能有 不同的名称.如物体运动时的平均变化率就是平均速度,它是 位移增量与时间增量的比,气球膨胀的平均变化率就是气球膨 胀率,它是半径增量与体积增量的比.函数的平均变化率就是 从这些实际问题中抽象出来的一个重要数学概念.

【变式 3】 一正方形铁板在 0 ℃时,边长为 10 cm,加热后会 膨胀,当温度为 t ℃时,边长变为 10(1+at)cm,a 为常数.试 求铁板面积对温度的膨胀率. 解 设温度的增量为Δ t,则铁板面积 S 的增量 Δ S = 102[1 + a(t + Δ t)]2 - 102(1 + at)2 = 200(a + a2t) Δ t + ΔS 100a (Δ t) ,∴ =200(a+a2t)+100a2Δ t. Δt
2 2

误区警示 因概念不清而出错 【示例】 将半径为 R 的球加热,若半径从 R=1 到 R=m 时球 28π 的体积膨胀率为 3 ,则 m 的值为________. 4 28 3 [错解] ∵V=3π R ,而从 R=1 到 R=m 体积膨胀率为 3 π , 4 3 π m 3 28 3 28 ∴4 = 3 π ,∴m= π. 3 3 π × 1 3

以上解法没有理解“膨胀率”的概念,从 R=1 到 R =m 时球的体积膨胀率即为 R∈[1,m]时的平均变化率. 4π 3 4π 4π ΔV 3 3 [ 正 解 ] Δ V = 3 m - 3 × 1 = 3 (m - 1) , ∴ = ΔR 4π 3 ( m -1) 3 28 = 3 π .∴m2+m+1=7.∴m=2 或 m=-3(舍). m-1 物理学上的平均速度、 膨胀率等就是函数的平均变化 率.

小结:
1.函数的平均变化率

? y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?x x2 ? x1

2.求函数的平均变化率的步骤:

(1)求函数的增量:Δy=f(x2)-f(x1);

? y f ( x2 ) ? f ( x1 ) (2)计算平均变化率: ? ?x x2 ? x1

见Word版活页训练


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