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集合的综合训练(典例分析 )

一.集合的概念和表示法

集合的综合训练
江西省吉安市永丰中学 邹腾

例 1.方程组

的解集是( )

A.(2,1)

B.{2,1}

C.{(2,1)}

D.{﹣1,2}

【分析】先解方程,得到方程组得解,再根据其解集为一对有序实数对,即可得到答案.

【解答】解:方程组

,解得 x=2,y=1,

∴方程组

的解集是{(2,1)},

故选:C. 【点评】本题考查了直线的交点的坐标的集合表示方式.

例 2.下列四个集合中,空集是( A.{x∈R|x2+2=0} B.{0}

) C.{x|x>8 或 x<4}

D.{? }

【分析】不含任何元素的集合称为空集,据此进行判断即可.

【解答】解:对于 A,集合中方程无解,是空集;

对于 B,集合中含有元素 0,故不正确;

对于 C,集合中含有不等式的解集{x|x>8 或 x<4},是非空的,故不正确;

对于 D,集合中含有元素? ,故不正确.

故选 A.

例 3.集合 A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素,则 a 的值是



【分析】根据集合 A={x|ax2+2x﹣1=0}只有一个元素,可得方程 ax2﹣2x﹣1=0 只有一个根,

然后分 a=0 和 a≠0 两种情况讨论,求出 a 的值即可

【解答】解:根据集合 A={x|ax2+2x﹣1=0}只有一个元素,

可得方程 ax2+2x﹣1=0 只有一个根, ①a=0,x= ,满足题意; ②a≠0 时,则应满足△=0,即(﹣2)2﹣4a×1=4﹣4a=0 解得 a=1. 所以 a=0 或 a=1. 故答案为:0 或 1. 【点评】本题主要考查了元素与集合的关系,以及一元二次方程的根的情况的判断,属于基 础题。

二.元素与集合关系

例 4.设

,集合

A.1 C.2

【解答】:因为

所以

所以 故答案为:C

,则

()

B. D.



例 5.已知集合 A={1,2,3},则 B={x﹣y|x∈A,y∈A}中的元素个数为( ) A.9 B.5 C.3 D.1 【分析】根据集合 B 中元素与 A 中元素之间的关系进行求解. 【解答】解:∵A={1,2,3},B={x﹣y|x∈A,y∈A}, ∴x=1,2,3,y=1,2,3. 当 x=1 时,x﹣y=0,﹣1,﹣2; 当 x=2 时,x﹣y=1,0,﹣1; 当 x=3 时,x﹣y=2,1,0. 即 x﹣y=﹣2,﹣1,0,1,2.即 B={﹣2,﹣1,0,1,2}共有 5 个元素.

故选:B. 【点评】本题主要考查集合元素个数的判断,利用条件求出 x﹣y 的值是解决本题的关键。

? ? 例 6.已知集合 A ? (x, y) | x2 ? y2 ≤1, x, y ?Z , B ? ?(x, y) || x |≤ 2,| y |≤ 2, x, y ?Z? ,定义集合

A ? B ? ?(x1 ? x2, y1 ? y2 ) | (x1, y1)? A,(x2, y2) ? B? ,则 A ? B 中元素个数为( ).

A. 77

B. 49

C. 45

D. 30

【分析】先解出集合 A,B,再根据 A? B 的定义分析 A? B 中元素个数

【解答】解: x1 的取值为 ?1, 0 ,1 , x2 的取值为 ?2 , ?1, 0 ,1 , 2 ,

x1 ? x2 的不同取值为 ?3, ?2 , ?1, 0 , 2 , 3 ,

同理 y1 ? y2 的不同取值为 ?3, ?2 , ?1, 0 , 2 , 3 ,

当 x1 ? x2 ? ?3时, y1 只能等于零,此时 y1 ? y2 ? ?3 ,多出 2 个,

同理 x1 ? x2 ? 3时, y1 只能等于零,此时 y1 ? y2 ? ?3 ,多出 2 个,

一共多出 4 个,

∴ A? B 中元素个数 7?7 ? 4 ? 45 .

故选 C .

【点评】本题主要考查对新概念 A? B 的理解,充分理解 A? B 的定义才能合理求出集合中

元素的个数,本题难度较大。

三.集合的基本关系 例 7.若{2,3}?M?{1,2,3,4,5},则 M 的个数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8 【分析】由题意,{2,3}?M?{1,2,3,4,5}可看成求集合{1,4,5}的非空真子集,从 而求解. 【解答】解:{2,3}?M?{1,2,3,4,5}可看成求集合{1,4,5}的非空真子集, 故 23﹣2=6; 故选 B. 【点评】本题考查真子集的概念及非空真子集的个数问题。



8.已知集合 M

?

??x ?

x

?

k 2

?

1,k 4

?

Z

? ?

?

,

N

?

??x ?

x

?

k 4

?

1 2

,k

?

Z

? ?

,

?

x0

?M

,则

x0



N

的关系是( )(R 为实数集)

A. x0 ? N


B. x0 ? N

C. x0 ? (CR N )

D.不能确

【解答】解: M

?

??x ?

x

?

k 2

?

1 4

?

2k ?1, k 4

?

Z

? ?

?

中的元素为所有奇数的四分之一,而

N

?

??x ?

x

?

k 4

?

1 2

?

k

? 4

2

,k

?

Z

? ?

中的元素为所有整数的四分之一,所以

M

?

N.

故选 A.

【点评】通过化简整理得出两集合的基本关系.

三.集合的基本运算 例 9.已知全集 U=R,集合 A={0,1,2},B={x∈Z|x2≤3},如图阴影部分所表示的集合为 .

【分析】根据 Venn 图和集合之间的关系进行判断. 【解答】解:由 Venn 图可知,阴影部分的元素为属于 A 当不属于 B 的元素构成,所以用集 合表示为 A∩(?UB). B={x∈Z|x2≤3}={﹣1,0,1}, 则?UB={x∈Z|x≠0 且 x≠±1}, 则 A∩(?UB)={2}, 故答案为:{2}. 【点评】利用 Venn 图表达集合的关系及运算对解题提供了直观性.
例 10.已知集合 A={x|4≤x≤8},B={x|m+1<x<2m﹣2},若 B? A,求实数 m 的取值范围. 【分析】根据题意需讨论 B=?,和 B≠?两种情况,根据子集的概念限制 m 的取值从而得到 实数 m 的取值范围

【解答】解:∵集合 A={x|4≤x≤8},B={x|m+1<x<2m﹣2},且 B? A ∴①当 B=?时,则 m+1≥2m﹣2,解得 m≤3;

②当 B≠?时,则

解得 3≤m≤5.

综上得,实 m 的取值范围为{m|m≤5} 【点评】本题很容易忽略 B=?这种情况,是易错题

例 11.已知集合 A={x|1≤x<5},B={x|﹣a<x≤a+3} (1)若 a=1,U=R,求?UA∩B; (2)若 B∩A=B,求实数 a 的取值范围. 【分析】(1)求出?UA,即可求?UA∩B;
(2)若 B∩A=B,分类讨论求实数 a 的取值范围. 【解答】解:(1)由集合 A={x|1≤x<5},B={x|﹣1<x<4}, CUA={x|x<1 或 x>5},∴(CUA)∩B={x|﹣1<x<1}; (2)∵B∩A=B,∴B? A ①当 B=?时,满足 B? A,此时﹣a≥a+3,得 a≤﹣ ②当 B≠?时,要使 B? A



,解得﹣ <a≤﹣1.

综上所述:a≤﹣1. 【点评】本题考查集合的包含关系判断及应用;交、并、补集的混合运算,注意运算的准确 性.


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