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07数分B第一学期期中试题

课程编号:A071001

北京理工大学 2007-2008 学年第一学期

数学分析期中试题
一. 填空题(每小题 3 分, 共 30 分) 1. 极限 lim
e 2 x ? e ?2 x ? 2 ? __________. x ?0 1 ? cos x
1 1? 2
1 x ?1

2. 设 f ( x) ?

, 则 lim? f ( x ) ? _____, lim? f ( x ) ? _____, x ? 1 是 f (x) 的第_____类
x ?1 x ?1

间断点. 3. 设 f ( x) ?
x x ?1
2

? ln( x ? x 2 ? 1) , 则化成最简形式时, f ?(x) ? __________________.

4. 方程 x 3 ? 3x ? 1 ? 0 有_____个实根, 其中有_____个正实根, _____个负实根. 5. f ( x) ? xe 2 x 的带皮亚诺型余项的三阶麦克劳林公式____________________________. 6. 一动点沿抛物线 y ? x 2 向右移动, 已知动点经过点 (2,4) 时沿 x 轴方向的分速度为
3cm/ s , 则它沿 y 轴方向的分速度为_______ cm/ s .

7. 设当 x ? 0 时 sin x ? x 与 cx k 是等价无穷小, 则 c ? ______, k ? ______. 8. 设 y ? f (arctan x) ? 1 ? g 2 ( x) , 其中 f , g 可导, 则 dy ? _________________________. 9. 曲线 y ?
2x3 有斜渐近线____________________. x 2 ? 3x ? 2

10. 函数 f ( x) ? ( x ? 1) x 2 ? x 在点_________________处导数不存在. 二. (8 分) 已知方程 ye x ? ln( xy) ? e 确定函数 y ? y(x) , 求
? x ? ln cos t dy d 2 y 三. (8 分) 设 ? , 求 , . dx dx 2 ? y ? sin t ? t cos t

dy dy 及 dx dx

x ?1

.

? x 3 ? ax ? b ? 四. (8 分) 设函数 f ( x) ? ? ( x ? 1)( x 2 ? 2) ? 2 ?

x ?1 x ?1

在 x ? 1处连续, 求 a, b 的值.

五. (8 分) 证明不等式 (1 ? x) ln 2 (1 ? x) ? x 2 ( x ? 0) . 六. (12 分) 利用导数研究函数 y ?
1 ? 2x ? 1 的的性态, 并作出其图形. x2
1

七. (10 分) 由抛物线 y ? x 2 , 直线 x ? 8 和 x 轴围成一曲边 三角形 OAB (如图), 在曲线 OB 上求一点 M , 使过 M 点所作抛物线的切线与 OA, AB 所围成的三角形 APQ

y
y ? x2

B
P

M
具有最大面积. .八. (8 分) 设 f (x) 在 x ? 0 处可导, 且 lim (1 ?
x ?0

f ( x) ? 1 ) ? e3 . x
1 x 1

O

Q

A 8

x

(1) 求 f (0) , f ?(0) ;

f ( x) ? 1 x (2) 求 lim (1 ? x ? ) . x ?0 x

九. (8 分) 设函数 f (x) 在区间 [0,2] 上可导, 且 f (0) ? 0 , f (1) ? f (2) ? 1 , 证明在区间
(0,2) 内至少存在一点 ? , 使 f ?(? ) ? 2? ? 1 .

2


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