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公开课:面面垂直的判定初稿


平面与平面垂直的判定
胜利一中 王林超

一.直观感知:
生活中面面垂直的例子无处不在,大家先 看几个例子。

你能举几个例子吗?请独立思考后举手发言, 其他同学可作补充。

一.直观感知:

实例感受

门扇所在的平面和地面所在的平面之间的位 置关系.

一.直观感知: 1.墙面和地面具有什么关系? 问题: 2.到底应该怎样定义面面垂直呢?

二.引入课题:

平面与平面垂直的定义
定义:如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直, 又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线也互 相垂直,就说这两个平面互相垂直。

符号语言: 图形语言:

α⊥ β

A ? D E

? C

B

探索:除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直呢?

三.探究思考:

建筑工人是怎样检测所砌墙面和地面垂直呢?

三.探究思考:
建筑工人砌墙时,常用一端系有铅锤的线来检查所 砌的墙面是否和地面垂直,如果系有铅锤的线和墙面紧 贴,那么所砌的墙面与地面垂直。 大家知道其中的理论根据吗?

猜想 : 如果一个平面经过了另一
个平面的一条垂线,那么这两 个平面互相垂直.

三.探究思考:

已知:直线 AB⊥平面α 于B点,AB ? 平面β, 求证:α ⊥ β
A

证明:设α ∩β =CD,则B∈CD, 在平面α 内过B点作BE⊥CD

?

D

∵AB⊥CD AB ? BE ? B

? C

B

E

∴ CD ? 面ABE 又∵AB⊥BE 且AB、BE分别为 面ABE与面α 、面β 的交线 ∴α ⊥β
——它就是本节课的重点内容之一:平面与平面垂直的判定定理

平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两 个平面垂直. β
a
A

α 符号: a?? ?? ? ? a ? 面?

简记:线面垂直,则面面垂直

观 察 生 活 验 证 模 型
你明白为什么门 和地面垂直了吗 ?

四.活学活用: 探究1:
例1:如图正方体,请问正方体的哪些面与 面 A1 B 垂直?
D1 C1 A1 B1

面A1B ? 面A1C1 面A1B ? 面AD1
C

小 试 牛 刀

D A B

面A1B ? 面BC1
面A1B ? 面AC

四.活学活用:
例2:在正方体ABCD-A1B1C1D1中 求证:平面A1C ?平面 B1D
证明:在正方形ABCD中AC ?BD 因A1A ?平面 ABCD 所以A1A ? BD
D1 A1 B1 C1

又因AC和 A1A相交且在平面A1C内,
所以BD ?平面A1C
D A B C

又因BD在平面B1D内
所以平面A1C ?平面 B1D 思路: AC ? BD ? ? BD ? 面AC 1 AA1 ? BD? ?

? 面AC ? 面B D
1 1

线线垂直

线面垂直

面面垂直

五.提升能力:
练习: 已知AB ? 面BCD, BC ? CD ,判断在该 几何体中哪些面互相垂直?
A

AB ? 面BCD ? 面ABC ? 面BCD AB ? 面BCD ? 面ABD ? 面BCD CD ? 面ABC ? 面ABC ? 面ACD CD ? 面ABC ? 面ABC ? 面BCD
B
C

D

五.提升能力:
变式:
求证:平面ACD⊥平面ABC.
A

在独立思考的基 础上,在练习本上写 出证明过程,注意符 号准确,逻辑合理。

B
C

D

五.提升能力:
证明:
? AB ? 面BCD

? AB ? CD
AB ? CD ? BC ? CD ? ? AB ? BC ? B ? AB ? 面ABC ? ? BC ? 面ABC ?
CD ? 面ACD
?

A

B
C

D

? CD ? 面ABC ? ? ? 面ABC ? 面ACD

课堂小结
?

1.两个平面垂直的定义

?

2.面面垂直的判定定理

? ?

a?? a ? 面?

?? ? ?

布置作业:
课本P57:第9题 成才之路:P40 6 P39 变式探究3(选做)

谢谢各位 的指导!

五.提升能力:
变式:
已知:如图,AB是⊙O的直径, PA垂直于
求证:平面PAC⊥平面PBC. ⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A, B的任意一点。
P

在独立思考的基 础上,在练习本上写 出证明过程,注意符 号准确,逻辑合理。


B

A

O

五.提升能力:
证明: 设已知⊙O平面为α? PA ? 面? , BC ? 面? ? PA ? BC 又? AB为圆的直径 ? AC ? BC
PA ? BC ? AC ? BC ? PA ? AC ? A ? ? PA ? 面PAC ? AC ? 面PAC ? ? ? BC ? 面PAC BC ? 面PBC

? ? ?

? 面PAC ? 面PBC

思维发散: 过一点P可以作多少个
平面与平面α 垂直?过一条直线l可 以作多少个平面与平面α 垂直?
P l

l α

α

3

已知:PA?矩形ABCD所在平面. 求证:平面PAD⊥平面PCD

变式:在所有的平面中共有多少对互相垂直的平面?


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