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必修1《函数的零点与方程的根》(有答案)


《函数的零点与方程的根》专题复习
知识点梳理
函数的零点:对于函数

y ? f ( x) ,把使 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点。
y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数

零点存在性定理:如果函数

y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内有零点,即存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。
函数与方程思想:若 若

y = f ( x) 与 x 轴有交点 x0 ? f ( x0 )=0

y = f ( x )与 y = g ( x )有交点( x0 , y0 ) ? f ( x) = g ( x) 有解 x0 。

知识应用 考点一 函数零点的求法 1.函数 f(x)=log5(x-1)的零点是( A.0 B.1 C.2

) D.3

2. 已知函数 f(x)=x2-1,则函数 f(x-1)的零点是________.

3. 若函数 f(x)=ax+b 只有一个零点 2,那么函数 g(x)=bx2-ax 的零点是___________

4.函数 f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点为 1,则它的另一个零点为________.

?x2+2x-3,x≤0 ? 5.函数 f(x)=? 的零点个数为( ?-2+lnx,x>0 ?

)

A.0

B.1

C.2

D.3

解析

法一 由 f(x)=0 得

?x≤0, ?x>0, ? 2 或? 解得 x=-3,或 x=e2. ?x +2x-3=0 ?-2+ln x=0, 因此函数 f(x)共有两个零点. 法二 函数 f(x)的图象如图所示 B

可观察函数 f(x)共有两个零点.答案

对函数零点个数的判断可从以下几个方面入手考 虑:(1)结合函数图象;(2)根据零点存在定理求某些点的函 数值;(3)利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一等.
1

考点二 零点存在性定理 1.根据表格中的数据,可以判断方程 ex-x-2=0 必有一个根在区间( x 0 1 2 -1 x e 0.37 1 2.78 7.39 1 2 3 4 x+2 A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

) 3 20.09 5

2 2.函数 f(x)=lnx- 的零点所在的大致区间是( ) x A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(e,3)

1 - 3. 设函数 y=x3 与 y=( )x 2 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是( 2 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

)

4. 若函数 f(x)=3ax-2a+1 在区间[-1,1]上存在一个零点,则 a 的取值范围是________.
2 补充:若方程 ax ? x ? 1 ? 0 在(0,1)内有解,求 a

的取值范围。

考点三、

二分法

1.如图所示的函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的是(

).

A.①②

B.①③

C.①④

D.③④

答案

B

考点四 一元二次方程根的分布

【例】?是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x2+(3a-2)x+a-1 在区间[-1,3]上与 x 轴恒有一个 零点,且只有一个零点.若存在,求出 a 的取值范围,若不存在,说明理由. [审题视点] 可用零点定理去判断,注意对函数端点值的检验. 解 8? 8 ? ∵Δ=(3a-2)2-4(a-1)=9a2-16a+8=9?a-9?2+9>0 ? ?

∴若实数 a 满足条件,则只需 f(-1)· f(3)≤0 即可. f(-1)· f(3)=(1-3a+2+a-1)· (9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0. 1 所以 a≤-5或 a≥1. 检验:(1)当 f(-1)=0 时,a=1.所以 f(x)=x2+x.
2

令 f(x)=0,即 x2+x=0,得 x=0 或 x=-1.

方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠1.

1 13 6 (2)当 f(3)=0 时,a=-5,此时 f(x)=x2- 5 x-5. 13 6 令 f(x)=0,即 x2- 5 x-5=0, 2 解之得 x=-5或 x=3. 1 综上所述,a<-5或 a>1.

1 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠-5.

例.已知关于 x 的方程 ax2-2(a+1)x+a-1=0,探究 a 为何值时, (1)方程有一正一负两根; (2)方程的两根都大于 1; (3)方程的一根大于 1,一根小于 1.

专题:函数的性质及应用 分析:令 f(x)ax2-2(a+1)x+a-1, (1)由 x1 ? x2 ?

a ?1 ? 0 求得 a 的范围. a

?? ? (?2a ? 2)2 ? 4a(a ? 1) ? 0 ? ? a ?1 ?0 (2)由 ? a ,求得 a 的范围. ? ? ? f (1) ? a ? 2(a ? 1) ? a ? 1 ? 0
(3)当 a>0 时,由 f(1)<0,且 a>0,求得 a 的范围;当 a<0 时,由 f(1)>0,求得 a 的范围.再 把这两个 a 的范围取并集,即得所求. 解答: 解:关于 x 的方程 ax2-2(a+1)x+a-1=0,令 f(x)= ax2-2(a+1)x+a-1=0, a ?1 ? 0 ,解得 0<a<1,故当 0<a<1 时,该方程有一正一负两根. (1)由 x1 ? x2 ? a

?? ? (?2a ? 2)2 ? 4a(a ? 1) ? 0 ? ? a ?1 ?0 (2)由 ? a ,解得 a∈?,∴不存在实数 a 使方程的两根都大于 1. ? ? ? f (1) ? a ? 2(a ? 1) ? a ? 1 ? 0
(3)由 f(1)=a-2(a+1)+a-1<0,且 a>0,求得 a>0; 由 f(1)=a-2(a+1)+a-1>0,且 a<0,求得 a 无解. 综上,当 a>0 时,方程的一根大于 1,一根小于 1.
变式训练 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.

3

(1)-

<m<-

.(2)-

<m≤1-

设二次方程 x2+2mx+2m+1=0 所对应的函数为 f(x)=x2+2mx+2m+1. (1)要使方程的一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,则结合函数图象(如图),



解得-

<m<-

.

(2)要使方程两根均在区间(0,1)内,则结合函数图象(如图),



解得

即-

<m≤1-

1、若函数 f ( x) ? mx 2 ? mx ? 1 的定义域为 R ,则实数 m 的取值范围是( ) (A) 0 ? m ? 4 (B) 0 ? m ? 4
2

(C) m ? 4

(D) 0 ? m ? 4 )

2、对于 ?1 ? a ? 1 ,不等式 x ? (a ? 2) x ? 1 ? a ? 0 恒成立的 x 的取值范围是( (A) 0 ? x ? 2
2

(B) x ? 0 或 x ? 2

(C) x ? 1 或 x ? 3

(D)

?1 ? x ? 1

3、求函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 1 在区间[ 0 , 2 ]上的最值 解:对称轴为 x ? a (1) a ? 0时 , f ( x)min ? f (0) ? ?1 , f ( x)max ? f (2) ? 3 ? 4a

(2) 0 ? a ? 1时 , f ( x)min ? f (a) ? ?a2 ?1 , f ( x)max ? f (2) ? 3 ? 4a (3) 1 ? a ? 2时 , f ( x)min ? f (a) ? ?a2 ?1 , f ( x)max ? f (0) ? ?1 (4) a ? 2时 , f ( x)min ? f (2) ? 3 ? 4a , f ( x)max ? f (0) ? ?1

4


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