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(北师大版)2018-2019年度高中数学必修2同步习题-:第一章立体几何初步 1.6.1.2(含解析)

第 2 课时 平面与平面垂直的判定 1.下列命题正确的是( ) ①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直; ②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,那么它必和另一个平面平行; ③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直; ④如果两个平面互相垂直,那么经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在该平面内. A.①③ C.②③④ B.②③ D.④ 解析:过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已知平面垂 直,所以①不对;若 α⊥β,a⊥α,则 a?β 或 a∥β,所以②不对;当平面外的直线是平面的垂线时, 能作无数个平面与已知平面垂直,否则只能作一个,所以③不对;④正确.故选 D. 答案:D 2. 已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面,如图所示,图中互相垂直的平面有( A .1 对 C.5 对 B .4 对 D.6 对 ) 解析:因为 DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A, 所以 DA⊥平面 PAB,同理 BC⊥平面 PAB,AB⊥平面 PAD,DC⊥平面 PAD, 所以平面 ABCD⊥平面 PAD,平面 ABCD⊥平面 PAB,平面 PBC⊥平面 PAB,平面 PDC⊥平面 PAD,平面 PAB⊥平面 PAD. 答案:C 3.在三棱锥 P-ABC 中,∠ABC=90°,PA=PB=PC,则下列说法正确的是( A.平面 PAC⊥平面 ABC B.平面 PAB⊥平面 PBC C.PB⊥平面 ABC D.BC⊥平面 PAB 解析:如图所示,因为∠ABC=90°,PA=PB=PC,所以点 P 在底面的射影落在△ABC 的斜边 ) AC 的中点 O 处,连接 OB,OP,则 PO⊥OB,又 PA=PC,所以 PO⊥AC,且 AC∩OB=O,所以 PO⊥平面 ABC,又 PO?平面 PAC, 所以平面 PAC⊥平面 ABC. 答案:A 4.如图所示,△ADB 和△ADC 都是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形,且∠BAC=60°,则下 列说法错误的是 ( ) A.AD⊥平面 BDC B.BD⊥平面 ADC C.DC⊥平面 ABD D.BC⊥平面 ABD 解析:由题意可知,AD⊥BD,AD⊥DC. ∴AD⊥平面 BDC. 又△ABD 与△ADC 均是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形,∴ AB=AC,BD=DC= AB. ∵∠BAC=60°,∴△ABC 为等边三角形. ∴BC=AB= BD. ∴∠BDC=90°,即 BD⊥DC, ∴BD⊥平面 ADC. 同理 DC⊥平面 ABD,故 A,B,C 均正确. 答案:D 5.已知两条不同直线 m,l,两个不同平面 α,β,在下列条件中,可以得出 α⊥β 的是( A.m⊥l,l∥α,l∥β B.m⊥l,α∩β=l,m?α ) C.m∥l,m⊥α,l⊥β D.m∥l,l⊥β,m?α 解析:对于 A,l∥α,l∥β,α 与 β 可以平行或相交; 对于 B,α 与 β 不一定垂直; 对于 C,由 m∥l,m⊥α,得 l⊥α, 又 l⊥β,则 α∥β,故 C 不正确; 对于 D,由 m∥l,l⊥β,得 m⊥β,又 m?α,则 α⊥β. 答案:D 6.在四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,其他四个侧面都是边长为 的等腰三角形,则二面角 V-AB-C 的平面角的大小为 . 解析:取 AB,CD 的中点 E,F,连接 VE,VF,EF,因为底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, 侧面都是棱长为 的等腰三角形, 所以 VE⊥AB,EF⊥AB, 所以∠VEF 即为二面角 V-AB-C 的平面角. 又 EF=BC=2,VE= 故△VEF 为等边三角形, 所以∠VEF=60°. 答案:60° 7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 D1-AB-D 的平面角的大小为 解析:如图所示,AD⊥AB,AD1⊥AB, - =2=VF, . 所以∠D1AD 即为二面角 D1-AB-D 的平面角. 由正方形的对角线平分对角的性质知∠D1AD=45°. 答案:45° 8.如图所示,一山坡的坡面与水平面成 30°的二面角,坡面上有一直道 AB,它和坡脚的水 平线成 30°的角,沿这一直道行走 20 m 后升高 m. 答案:5 9.如图所示,已知三棱锥 P-ABC,∠ACB=90°,D 为 AB 的中点,且△PDB 是正三角形,PA⊥ PC. 求证:(1)PA⊥平面 PBC; (2)平面 PAC⊥平面 ABC. 证明(1)因为△PDB 是正三角形,所以∠BPD=60°. 因为 D 是 AB 的中点,所以 AD=BD=PD. 又∠ADP=120°, 所以∠DPA=30°,所以∠DPA+∠BPD=90°,即∠APB=90°,所以 PA⊥PB. 又 PA⊥PC,PB∩PC=P, 所以 PA⊥平面 PBC. (2)因为 PA⊥平面 PBC, 所以 PA⊥BC. 因为∠ACB=90°,所以 AC⊥BC. 又 PA∩AC=A, 所以 BC⊥平面 PAC. 因为 BC?平面 ABC, 所以平面 PAC⊥平面 ABC. ★10.如图所示,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,E,F 是线段 AB 上的两点,且 DE⊥AB,CF⊥ AB,AB=12,AD=5,BC=4 ,DE=4.现将△ADE,△CFB 分别沿 DE,CF 折起,使 A,B 两点重 合于点 G,得到多面体 CDEFG. 求证:平面 DEG⊥平面 CFG. 证明因为 DE⊥EF,CF⊥EF,CD∥EF, 所以四边形 CDEF 为矩形. 由 GD=5,DE=4,得 GE= 由 GC=4 所以 EF=5. ,CF=4,得 FG= - =3, =4, 在△EFG 中,有 EF2=GE2+FG2, 所以 EG⊥GF. 又因为 CF⊥EF,CF⊥FG,EF∩FG=F, 所以 CF⊥平面 EFG, 所以 CF⊥EG. 又 FG

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