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数列的通项数列求和综合应用公式文档


数列的通项公式
(一)相关数列法 已知数列 ? a n ? 的前 n 项的和 S n ,求通项公式 a n 。 S n ? g ? n ? 型一般是以 a n 与 S n 的关系考 虑: a 1 ? S 1
a n ? S n ? S n ?1 ? n ? 2 ?
3

1:已知数列 ? a n ? 的前 n 项的和 S n ? n ? n ? 1 求它的通项公式。

(二)已知递推关系式求通项公式 (1)累加法 形如 a n ?1 ? a n ? f ? n ? , 已知 a 1 。求通项公式。

2. 已知数列 ? a n ? 满足 a n ? 1 ? a n ? 2 n ? 1, 且

a

1

? 5 ,求通项公式。

(2)累积法 形如 f ? n ?a n ?1 ? g ? n ?a n ,已知 a 1 。求通项公式 3. 已知数列 ? a n ? 满足 ? n ? 1 ?a n ? 1 ? na n , 且

a

1

? 2 ,求通项公式。

(三)辅助数列法 形如(或可化为) a n ? 1 ? ca n ? d ( c ? 1 、 0 , d 也为常数)且已知 a 1 4.已知 ? a n ? 中 a 1 ? ? 3 且 a n ? 2 a n ? 1 ? 1 求此数列的,通项公式。

1

5 :已知数列 ? a n ? 中 a 1

? 1且 a n ?1 ?

an an ? 1

?n

? N ? 求数列的通项公式。

(四)替换法 已知数列{an}前 n 项和 Sn 与通项 an 关系式 2 * 6. 已知数列{an}前 n 项和 Sn 与通项 an 满足 Sn=nan+2n -2n(n∈N ), 求数列的通项公式。

数列求和
(一)并项法 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的 和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn. 1.求和 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 99
2 2 2 2 2

? 100

2

2. 数列{an}中,前 n 项之和 Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n 1(4n-3), 求:S15+S22-S31



2

(二)裂项法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分 解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解 (1) a n ?
1 n ( n ? 1) 1 n ( n ? 1 )( n ? 2 ) 1 2?3 ? 1 n ? 1 n ?1 1 1 1 ( n ? 1)( n ? 2 )

(2) a n ?

?

2 n ( n ? 1) 1

[

?

]

3: 求和

1 1? 2

?

?? ?

n ( n ? 1)

4.求和:S=1+

1 1? 2

?

1 1? 2 ? 3

?? ?

1 1? 2 ? 3?? ? n

(三)分组求和 5: 求数列:1,1+2,1+2+3,…,1+2+3+…+n,…的前 n 项之和

6:求 1 ? 11 ? 111 ? ? ? ? ? 111 ? ?1 之和. ?? ? ?
n个 1

3

(四)错位相减法求和 这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等 比数列. 7..求和: S ? 1 ? 3 x ? 5 x ? ? ? ( 2 n ? 1) x
2 n ?1

8. 求数列

2

,

4
2

,

6 2
3

, ? ? ?,

2n 2
n

,? ? ? 前 n 项的和.

2 2

数列综合应用 1.已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点( 的图象上. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若列数{bn}满足 b1=1,bn+1=bn+ 2 a ,求证:bn
n

a n , a n ?1

) ? N*)在函数 y=x2+1 (n

·bn+2<b2n+1.

4

2.已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10
(I)求数列{an}的通项公式; (II)求数列 ?
? ?

a ?2 ?

? ? 的前 n 项和 n ?1 ? ? ?
n

3.设数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 0 , 且 (Ⅰ)求 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ) 设
? 1?

1 1?

?
n ?1

1 1?

? 1.
n

a

a

b

a
n

n ?1

n

, s n 是数列

?b ?的前
n

n 项和,证明:

s

n

? 1.

4. 数列 { a n } 为等差数列, a n 为正整数,其前 n 项和为 S n ,数列 { b n } 为等比数列,且
a 1 ? 3, b1 ? 1 ,数列 { b a n } 是公比为 64 的等比数列, b 2 S 2 ? 6 4 .

(1)求 a n , b n ;

(2)求证

1 S1

?

1 S2

?? ?

1 Sn

?

3 4

.

5

5.已知数列 ? a n ? 中, a 1

? 1 , a 2 ? 2 ,且 a n ? 1 ? (1 ? q ) a n ? q a n ? 1 ( n ≥ 2, q ? 0 ) .
*

(Ⅰ)设 b n ? a n ? 1 ? a n ( n ? N ) ,证明 ? b n ? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ? a n ? 的通项公式;
*

(Ⅲ)若 a 3 是 a 6 与 a 9 的等差中项,求 q 的值,并证明:

对任意的 n ? N , a n 是 a n ? 3 与 a n ? 6 的等差中项.

6.设数列 ? a n ? 满足 a 1 ? a , a n ? 1 ? ca n ? 1 ? c , c ? (Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式 (Ⅱ)设 a ?
1 2 ,c ? 1 2

N

?

其中 a , c 为实数,且 c ? 0

, b n ? n (1 ? a n ), n ? N ,求数列 ? b n ? 的前 n 项和 S n ;
*

6


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