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高中数学竞赛平面几何基本定理

平面几何基础知识(基本定理、基本性质)
1. 勾股定理(毕达哥拉斯定理) (广义勾股定理)(1)锐角对边的平方,等于其他两边之平方和,减去这两边中的一边 和另一边在这边上的射影乘积的两倍. (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和,加上这两边中的一边与另一边 在这边上的射影乘积的两倍. 2. 射影定理(欧几里得定理) 3. 中线定理(巴布斯定理)设△ABC 的边 BC 的中点为 P,则有 AB 2 + AC 2 = 2( AP 2 + BP 2 ) ; 中线长: m a =

2b 2 + 2 c 2 a 2 . 2
2 2 2 2

4. 垂线定理: AB ⊥ CD AC AD = BC BD . 高线长: ha =

2 a

p( p a)( p b)( p c) =

bc sin A = c sin B = b sin C . a

5. 角平分线定理:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例. 如△ABC 中,AD 平分∠BAC,则 BD = AB ; (外角平分线定理) . DC AC 角平分线长: t a = 6. 正弦定理:

2 2bc A . bcp( p a) = cos (其中 p 为周长一半) b+c b+c 2

a b c (其中 R 为三角形外接圆半径) . = = = 2R , sin A sin B sin C
2

7. 余弦定理: c

= a 2 + b 2 2ab cos C .

8. 张角定理: sin ∠ BAC = sin ∠ BAD + sin ∠ DAC . AD AC AB 9. 斯特瓦尔特(Stewart)定理:设已知△ABC 及其底边上 B、C 两点间的一点 D,则有 AB2DC+AC2BD-AD2BC= BCDCBD. (圆外角如何转化?) 10. 圆周角定理:同弧所对的圆周角相等,等于圆心角的一半. 11. 弦切角定理:弦切角等于夹弧所对的圆周角. 12. 圆幂定理: (相交弦定理:垂径定理:切割线定理(割线定理) :切线长定理: ) 13. 布拉美古塔(Brahmagupta)定理: 在圆内接四边形 ABCD 中,AC⊥BD,自对角线的交点 P 向一边作垂线,其延 长线必平分对边. 14. 点到圆的幂:设 P 为⊙O 所在平面上任意一点,PO=d,⊙O 的半径为 r,则 d2-r2 就是点 P 对于⊙O 的幂.过 P 任作一直线与⊙O 交于点 A、B,则 PAPB= |d2-r2|. “到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线, 如果此二圆相交,则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论.这条直线称为两圆的“根轴” .三个圆两两的根 轴如果不互相平行,则它们交于一点,这一点称为三圆的“根心” .三个圆的根心对于三个圆等幂.当三个圆两两相 交时,三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点. 15. 托勒密(Ptolemy)定理:圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和,即 ACBD=ABCD+ADBC,(逆命题成 立) . (广义托勒密定理)ABCD+ADBC≥ACBD. 16. 蝴蝶定理:AB 是⊙O 的弦,M 是其中点,弦 CD、EF 经过点 M,CF、DE 交 AB 于 P、Q,求证:MP=QM. 17. 费马点:定理 1 等边三角形外接圆上一点,到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离;不在等边三角 定理 形外接圆上的点,到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离.定理 2 三角形每一内角都小于 120°时,在三 定理 角形内必存在一点,它对三条边所张的角都是 120°,该点到三顶点距离和达到最小,称为“费马点” ,当三角形有 一内角不小于 120°时,此角的顶点即为费马点.

18. 拿破仑三角形:在任意△ABC 的外侧,分别作等边△ABD、△BCE、△CAF,则 AE、AB、CD 三线共点,并且 AE =BF=CD,这个命题称为拿破仑定理. 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF,它们的外接 圆⊙C1 、⊙A1 、⊙B1 的圆心构成的△——外拿破仑的三角形,⊙C1 、⊙A1 、⊙B1 三圆共点,外拿破仑三角形是 一个等边三角形;△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF,它们的外接圆⊙C2 、⊙ A2 、⊙B2 的圆心构成的△——内拿破仑三角形,⊙C2 、⊙A2 、⊙B2 三圆共点,内拿破仑三角形也是一个等边三 角形.这两个拿破仑三角形还具有相同的中心. 19. 九点圆(Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆) :三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以 及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上,九点圆具有许多有趣的性质,例如: (1)三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; (2)九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点; (3)三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕 . 20. 欧拉(Euler)线:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上. 21. 欧拉(Euler)公式:设三角形的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,外心与内心的距离为 d,则 d2=R2-2Rr. 22. 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和. 23. 重心:三角形的三条中线交于一点,并且各中线被这个点分成 2:1 的两部分; G ( x A + x B + xC , y A + y B + y C )

3

3

重心性质: (1)设 G 为△ABC 的重心,连结 AG 并延长交 BC 于 D,则 D 为 BC 的中点,则 AG : GD (2)设 G 为△ABC 的重心,则 S ABG

= 2 :1;

1 = S BCG = S ACG = S ABC ; 3 DE FP KH 2 DE FP KH = = = ; + + = 2; BC CA AB 3 BC CA AB

(3)设 G 为△ABC 的重心,过 G 作 DE∥BC 交 AB 于 D,交 AC 于 E,过 G 作 PF∥AC 交 AB 于 P,交 BC 于 F,过 G 作 HK∥AB 交 AC 于 K,交 BC 于 H,则 (4)设 G 为△ABC 的重心,则

+ 3GA 2 = CA 2 + 3GB 2 = AB 2 + 3GC 2 ; 1 2 2 2 2 2 2 ② GA + GB + GC = ( AB + BC + CA ) ; 3 2 2 2 2 2 2 2 ③ PA + PB + PC = GA + GB + GC + 3PG (P 为△ABC 内任意一点) ; 2 2 2 ④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心,即 GA + GB + GC 最小;
① BC
2

⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心;反之亦然(即满足上述条件之一,则 G 为△ABC 的重心) .

a b c a b c xA + xB + xC yA + yB + yC cos B cos C cos B cos C 24. 垂心:三角形的三条高线的交点; H ( cos A , cos A ) a b c a b c + + + + cos A cos B cos C cos A cos B cos C
垂心性质: (1)三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的 2 倍; (2)垂心 H 关于△ABC 的三边的对称点,均在△ABC 的外接圆上; (3)△ABC 的垂心为 H,则△ABC,△ABH,△BCH,△ACH 的外接圆是等圆; (4)设 O,H 分别为△ABC 的外心和垂心,则 ∠BAO

= ∠HAC , ∠CBO = ∠ABH , ∠BCO = ∠HCA .

25. 内心:三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心,即内心到三角形各边距离相等;

I(

ax A + bx B + cxC ay A + by B + cyC , ) a+b+c a+b+c

内心性质: (1)设 I 为△ABC 的内心,则 I 到△ABC 三边的距离相等,反之亦然;

1 1 1 ∠A, ∠AIC = 90° + ∠B, ∠AIB = 90° + ∠C ; 2 2 2 (3) 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等; 反之, ∠A 平分线交△ABC 若
(2)设 I 为△ABC 的内心,则 ∠BIC

= 90° +

外接圆于点 K,I 为线段 AK 上的点且满足 KI=KB,则 I 为△ABC 的内心; (4)设 I 为△ABC 的内心, BC

= a, AC = b, AB = c, ∠A 平分线交 BC 于 D,交△ABC 外接圆于点 K,则

AI AK IK b + c ; = = = ID KI KD a , (5)设 I 为△ABC 的内心, BC = a , AC = b, AB = c, I 在 BC, AC, AB上的射影分别为 D E, F ,内切圆半径为 r ,


1 p = (a + b + c) ,则① S ABC = pr ;② AE = AF = p a; BD = BF = p b; CE = CD = p c ;③ 2 abcr = p AI BI CI .
sin 2 Ax A + sin 2 Bx B + sin 2CxC sin 2 Ay A + sin 2 By B + sin 2Cy C , ) sin 2 A + sin 2 B + sin 2C sin 2 A + sin 2 B + sin 2C
= 2∠A 或 ∠BOC = 360° 2∠A ;

26. 外心:三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心,即外心到三角形各顶点距离相等;

O(

外心性质: (1)外心到三角形各顶点距离相等; (2)设 O 为△ABC 的外心,则 ∠BOC

(3) R = abc ; (4)锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和. 4S 27. 旁心: 一内 角平分 线与 两外 角平分 线交 点—— 旁切 圆圆 心;设△ABC 的三边

BC = a, AC = b, AB = c, 令

1 ( a + b + c) ,分别与 BC , AC , AB 外侧相切的旁切圆圆心记为 I A, I B , I C ,其半径分别记为 r A , rB , rC . 2 1 1 旁心性质: (1) ∠BI A C = 90° ∠A, ∠BI B C = ∠BI C C = ∠A, (对于顶角 B,C 也有类似的式子) ; 2 2 1 (2) ∠I AI B I C = (∠A + ∠C ) ; 2 p=
(3)设 AI A 的连线交△ABC 的外接圆于 D,则 DI A

= DB = DC (对于 BI B , CI C 有同样的结论) ;

(4)△ABC 是△IAIBIC 的垂足三角形,且△IAIBIC 的外接圆半径 R ' 等于△ABC 的直径为 2R. 28. 三角形面积公式:S ABC

=

1 1 abc a2 + b2 + c2 aha = ab sin C = = 2 R 2 sin A sin B sin C = 2 2 4R 4(cot A + cot B + cot C )

= pr =

其中 ha 表示 BC 边上的高, 为外接圆半径, 为内切圆半径,p = 1 ( a + b + c) . r R p( p a)( p b)( p c) , 2

29. 三角形中内切圆,旁切圆和外接圆半径的相互关系:

r = 4 R sin
ra =

A B C A B C A B C A B C sin sin ; ra = 4 R sin cos cos , rb = 4 R cos sin cos , rc = 4 R cos cos sin ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

r r r 1 1 1 1 ,r = ,r = ; + + = . B C b A C c A B ra rb rc r tan tan tan tan tan tan 2 2 2 2 2 2

30. 梅涅劳斯(Menelaus)定理:设△ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点 分别为 P、Q、R 则有

BP CQ AR = 1. (逆定理也成立) PC QA RB

31. 梅涅劳斯定理的应用定理 1:设△ABC 的∠A 的外角平分线交边 CA 于 Q,∠C 的平分线交边 AB 于 R,∠B 的平分 线交边 CA 于 Q,则 P、Q、R 三点共线. 32. 梅涅劳斯定理的应用定理 2:过任意△ABC 的三个顶点 A、B、C 作它的外接圆的切线,分别和 BC、CA、AB 的延 长线交于点 P、Q、R,则 P、Q、R 三点共线. 33. 塞瓦(Ceva)定理:设 X、Y、Z 分别为△ABC 的边 BC、CA、AB 上的一点,则 AX、BY、CZ 所在直线交于一点的充 要条件是 AZ BX CY =1. ZB XC YA

34. 塞瓦定理的应用定理:设平行于△ABC 的边 BC 的直线与两边 AB、AC 的交点分别是 D、E,又设 BE 和 CD 交于 S, 则 AS 一定过边 BC 的中点 M. (略) 35. 塞瓦定理的逆定理: 36. 塞瓦定理的逆定理的应用定理 1:三角形的三条中线交于一点,三角形的三条高线交于一点,三角形的三条角分线 交于一点. 37. 塞瓦定理的逆定理的应用定理 2:设△ABC 的内切圆和边 BC、CA、AB 分别相切于点 R、S、T,则 AR、BS、CT 交于一点. 38. 西摩松(Simson)定理:从△ABC 的外接圆上任意一点 P 向三边 BC、CA、AB 或其延长线作垂线,设其垂足分别 (这条直线叫西摩松线 Simson line) . 是 D、E、R,则 D、E、R 共线, 39. 西摩松定理的逆定理: (略) 40. 关于西摩松线的定理 1:△ABC 的外接圆的两个端点 P、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直,其交点在九点圆上. :在一个圆周上有 4 点,以其中任三点作三角形,再作其余一点的关于该三角 41. 关于西摩松线的定理 2(安宁定理) 形的西摩松线,这些西摩松线交于一点. 设△ABC 的垂心为 H, 其外接圆的任意点 P, 这时关于△ABC 的点 P 的西摩松线通过线段 PH 的中心. 42. 史坦纳定理: 43. 史坦纳定理的应用定理:△ABC 的外接圆上的一点 P 的关于边 BC、CA、AB 的对称点和△ABC 的垂心 H 同在一条 (与西摩松线平行的)直线上.这条直线被叫做点 P 关于△ABC 的镜象线. 44. 牛顿定理 1:四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点,三点共线.这条直线叫做这个 四边形的牛顿线. 45. 牛顿定理 2:圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点共线. 46. 笛沙格定理 1:平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应顶点(A 和 D、B 和 E、C 和 F)的连线交于一 点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线. 47. 笛沙格定理 2:相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应顶点(A 和 D、B 和 E、C 和 F)的连线交 于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线. 48. 波朗杰、腾下定理:设△ABC 的外接圆上的三点为 P、Q、R,则 P、Q、R 关于△ABC 交于一点的充要条件是:弧 AP+弧 BQ+弧 CR=0(mod2 π ) . 49. 波朗杰、腾下定理推论 1:设 P、Q、R 为△ABC 的外接圆上的三点,若 P、Q、R 关于△ABC 的西摩松线交于一点, 则 A、B、C 三点关于△PQR 的的西摩松线交于与前相同的一点. 50. 波朗杰、腾下定理推论 2:在推论 1 中,三条西摩松线的交点是 A、B、C、P、Q、R 六点任取三点所作的三角形的 垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点. 51. 波朗杰、腾下定理推论 3:考查△ABC 的外接圆上的一点 P 的关于△ABC 的西摩松线,如设 QR 为垂直于这条西摩 松线该外接圆的弦,则三点 P、Q、R 的关于△ABC 的西摩松线交于一点. 52. 波朗杰、腾下定理推论 4:从△ABC 的顶点向边 BC、CA、AB 引垂线,设垂足分别是 D、E、F,且设边 BC、CA、 AB 的中点分别是 L、M、N,则 D、E、F、L、M、N 六点在同一个圆上,这时 L、M、N 点关于关于△ABC 的西摩 松线交于一点.

53. 卡诺定理:通过△ABC 的外接圆的一点 P,引与△ABC 的三边 BC、CA、AB 分别成同向的等角的直线 PD、PE、 PF,与三边的交点分别是 D、E、F,则 D、E、F 三点共线. 54. 奥倍尔定理:通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线,设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是 L、M、N, 在△ABC 的外接圆上取一点 P,则 PL、PM、PN 与△ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F, 则 D、E、F 三点共线. 55. 清宫定理:设 P、Q 为△ABC 的外接圆的异于 A、B、C 的两点,P 点的关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、 V、W,这时,QU、QV、QW 和边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F,则 D、E、F 三点共线. 56. 他拿定理:设 P、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点,点 P 的关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、V、W, 这时,如果 QU、QV、QW 和边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F,则 D、E、F 三点共线. (反点: P、Q 分别为圆 O 的半径 OC 和其延长线的两点,如果 OC2=OQ×OP 则称 P、Q 两点关于圆 O 互为反点) 57. 朗古来定理:在同一圆周上有 A1、B1、C1、D1 四点,以其中任三点作三角形,在圆周取一点 P,作 P 点的关于这 4 个三角形的西摩松线,再从 P 向这 4 条西摩松线引垂线,则四个垂足在同一条直线上. 58. 从三角形各边的中点,向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线,这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心. 59. 一个圆周上有 n 个点,从其中任意 n-1 个点的重心,向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点. 60. 康托尔定理 1:一个圆周上有 n 个点,从其中任意 n-2 个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点. 一个圆周上有 A、 C、 四点及 M、 两点, M 和 N 点关于四个三角形△BCD、 B、 D N 则 △CDA、 △DAB、 61. 康托尔定理 2: △ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上.这条直线叫做 M、N 两点关于四边形 ABCD 的康托尔线. 62. 康托尔定理 3:一个圆周上有 A、B、C、D 四点及 M、N、L 三点,则 M、N 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线、 L、N 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线、M、L 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线交于一点.这个点叫做 M、 N、L 三点关于四边形 ABCD 的康托尔点. 63. 康托尔定理 4:一个圆周上有 A、B、C、D、E 五点及 M、N、L 三点,则 M、N、L 三点关于四边形 BCDE、CDEA、 DEAB、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上.这条直线叫做 M、N、L 三点关于五边形 A、B、C、D、E 的康 托尔线. 64. 费尔巴赫定理:三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切. 65. 莫利定理:将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一 个正三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形. 66. 布利安松定理:连结外切于圆的六边形 ABCDEF 相对的顶点 A 和 D、B 和 E、C 和 F,则这三线共点. 67. 帕斯卡(Paskal)定理:圆内接六边形 ABCDEF 相对的边 AB 和 DE、BC 和 EF、CD 和 FA 的(或延长线的)交点 共线. 68. 阿波罗尼斯(Apollonius)定理:到两定点 A、B 的距离之比为定比 m:n(值不为 1)的点 P,位于将线段 AB 分成 m:n 的内分点 C 和外分点 D 为直径两端点的定圆周上.这个圆称为阿波罗尼斯圆. 69. 库立奇*大上定理: (圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心 都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆. 70. 密格尔(Miquel)点: 若 AE、AF、ED、FB 四条直线相交于 A、B、C、D、E、F 六点,构成四个三角形,它们是 △ABF、△AED、△BCE、△DCF,则这四个三角形的外接圆共点,这个点称为密格尔点. 71. 葛尔刚(Gergonne)点:△ABC 的内切圆分别切边 AB、BC、CA 于点 D、E、F,则 AE、BF、CD 三线共点,这个 点称为葛尔刚点. 72. 欧拉关于垂足三角形的面积公式:O 是三角形的外心,M 是三角形中的任意一点,过 M 向三边作垂线,三个垂足
2 形成的三角形的面积,其公式: S D EF = | R d S ABC 4R 2 2

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