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广东省阳东广雅学校2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷


阳东广雅中学 2015~2016 学年第一学期高二年级期中考试试卷
数学(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡 的密封线内。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定 区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用 铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回。

第一部分 选择题选择题(本题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.在等差数列 ?an ? 中,若 a2 =4, a4 =2,则 a6 =( A、-1 B、0 C、1 ) D. 2 6 ) D、6

2.在△ABC 中,已知 a=6,A=60°,C=45°,则 c= ( A. 2 2 B.

6

C. )

2

3.不等式 ( x ? )( ? x) ? 0 的解集是(

1 3 2 2 1 3 A. {x | ? ? x ? } 2 2 1 3 C. {x | ? ? x ? } 2 2

1 3 2 2 1 3 D. {x | x ? ? 或x ? } 2 2
B. {x | x ? ? 或x ? }
2

4.已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 ? a9 ? 2a5 , a 2 ? 1 ,则 a1 ? ( A.



1 2

B.

2 2

C. 2

D. 2 )

5、在 ?ABC 中,若 a cos B ? b cos A ,则 ?ABC 的形状一定是( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形

D.等腰三角形 ) D. 21 ).

6、若数列 ?a n ?的前 n 项和 sn ? n 2 ? 1 则 a1 ? a9 等于( A. 18 B. 19 C . 20

7、已知点 (3, 1) 和 (?4, 6) 在直线 3 x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是( A

a ? ?7 或 a ? 24

B

a ? 7 或 a ? 24
1

C

?7 ? a ? 24

D

?24 ? a ? 7


?x ? y ? 1 ? 8、设 x,y 满足约束条件 ? y ? x ,则 z=3x+y 的最大值为( ? y ? ?2 ?
A. 5 B. 3 C . 7 D.

9 、已知 ?a n ? 为等差数列, ?bn ? 为正项等比数列,公比 q ? 1 ,若 a1 ? b1 , a11 ? b11 , 则 ( ) B. a 6 ? b6 C. a 6 ? b6
n

8

A. a 6 ? b6

D.以上都有可能 ( )

2 2 10、在数列 ?a n ? 中,已知 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 2 ? 1 ,则 a12 ? a 2 等于 ? ? ? an

A. 2 n ? 1

?

?

2

B.

?2

n

? 1? 3

2

C. 4 n ? 1

D.

4n ?1 3
2

11.若 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边 a 、 b 、 c 满足 ?a ? b ? ? c 2 ? 4 ,且 C ? 60? , 则 ab 的值为 ( A. ) B. 8 ? 4 3 C. 1 D.

4 3

12.已知 F ( x) ? f ( x ?

(n ? N *) ,则数列 ?a n ? 的通项公式为
A. a n ? n ? 1 B. a n ? n

1 n ?1 1 ) ? f (1) ) ? 1 是 R 上的奇函数, a n ? f (0) ? f ( ) ? ? ? f ( n n 2
( C. a n ? n ? 1 D. a n ? n 2 )

2 3

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.不等式

x ?1 ? 2 的解集为 x



14、已知正数 x, y 满足 2 x ? y ? 1 ,则

1 1 ? 的最小值为 x y



15、已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,则其最大角的余弦值为_________; 16、已知数列 {a n }中, a1 ? 1, na n ?1 ? 2(a1 ? a 2 ? ? ? a n )(n ? N *) ,则数列 {a n } 的通项 公式为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题 10 分)已知等差数列的前 n 项和为 S n , a3 ? 0, S 4 ? ?4 . (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)当 n 为何值时, S n 取得最小值.
2

18.(本小题 12 分)已知 ?ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (1) 求边 AB 的长; (2) 若 ?ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的值.

1 6

19.(本小题 12 分) 已知 f ( x) ? 2 x ? bx ? c ,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 ? 0,5 ? .
2

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ) 若对于任意 x ? [?1,1] ,不等式 f ( x) ? t ? 2 恒成立,求 t 的取值范围.

20.(本小题 12 分) 已知等差数列{an}满足: a2 ? 5, a4 ? a6 ? 22 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (1)求 an 及 Sn ; (2)若 f ? x ? ?

1 * , bn ? f ? an ? (n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn . x ?1
2

21.(本小题 12 分) 某房地产开发商投资 81 万元建一座写字楼,第一年装修费为 1 万元,以后每年增加 2 万 元,把写字楼出租,每年收入租金 30 万元. (Ⅰ)若扣除投资和各种装修费,则从第几年开始获取纯利润? (Ⅱ)若干年后开发商为了投资其他项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时以 46 万 元出售该楼; ②纯利润总和最大时,以 10 万元出售该楼,问哪种方案盈利更多?

3

22.(本小题 12 分)

1 (a n ? 1) 2 , 4 1 数列 b1 , b2 ? b1 , b3 ? b2 , ? , bn ? bn ?1 是首项为 1 ,公比为 的等比数列. 2
已知正项数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且有S n ? (1)求证数列 {a n } 是等差数列; (2)若 c n ? a n ? (2 ? bn ), 求数列{c n } 的前 n 项和 Tn ; (3)在(2)条件下,是否存在常数 ? ,使得数列 ? ?

? Tn ? ? ? ? ? 为等比数列?若存在,试求出 a ? n?2 ?

? ;若不存在,说明理由.

4

阳东广雅中学 2015~2016 学年第一学期高二年级期中考试试卷
数学(理科)

答案及说明
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1、B 2、D 3、A 4、B 5、D 6、B 7、C 8、C 9、B 10、D 11、A 12、C.

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13、

?x x ? 0或x ? 1?

14. 3 ? 2 2

15、 ?

2 4

16、 a n ? n

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (满分 10 分)解: (1)? a3 ? 0, S 4 ? ?4 ,

? a1 ? 2d ? 0, ? ?? 4?3 4a1 ? d ? ?4. ? ? 2
解得 a1 ? ?4, d ? 2 .

………………………2 分

………………………4 分 ………………………-6 分

? an ? ?4 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 6 .
(2) S n ? na1 ?

n ? n ? 1? d ? ?4n ? n ? n ? 1? …………………………………8 分 2
2

5 ? 25 ? …………………9 分 ? n ? 5n ? ? n ? ? ? 2? 4 ?
2

? n ?N * ,

? 当 n ? 2 或 n ? 3 时, S n 取得最小值 ?6 . ……………………10 分

18.(满分 12 分)
5

又 ? C ? (0, ? ),? C ?
19.(本小题 12 分)

?
3

解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 x ? bx ? c ,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 ? 0,5 ? ,
2
2 所以 2 x ? bx ? c ? 0 的解集是 ? 0,5 ? ,

所以 0和5 是方程 2 x 2 ? bx ? c ? 0 的两个根, 由韦达定理知, ?

b c ? 5, ? 0,? b ? ?10, c ? 0, 2 2
------------5 分

f ( x) ? 2 x 2 ? 10 x .

(Ⅱ) f ( x) ? t ? 2 恒成立等价于错误!未找到引用源。恒成立, 设 g ( x) ? 2 x ? 10 x ? t ? 2 ,则 g ( x) 的最大值小于或等于 0
2

则由二次函数的图象可知错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。为减 函数, 所以错误!未找到引用源。 ,所以 t ? ?10 . -----------12 分

20.(本小题 12 分) 解: (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d ∵a2=5,a4+a6=22, ∴a1+d=5,2a1+8d=22, 2 解得 a1=3,d=2,∴an=2n+1,Sn=n +2n. -----------6 分 (2)∵f(x)= ,bn=f(an) ,

6

∴bn=

,∵an=2n+1





∴bn= Tn=b1+b2+…+bn= =

=



=

. .-------12 分

所以数列{bn}的前 n 项和 Tn=

21.(本小题 12 分) 解: (Ⅰ)设第 n 年获取利润为 y 万元,n 年共收入租金 30n 万元,付出装修费构成一个 以 1 为首项,2 为公差的等差数列,共 n ?
2

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 -----------2 分 2

因此利润 y ? 30n ? (81 ? n ) ,-----------4 分 令y?0 解得: 3 ? n ? 27 -----------5 分 所以从第 4 年开始获取纯利润.-----------6 分 (Ⅱ)年平均利润 W ?

30n ? (81 ? n 2 ) 81 ? 30 ? ? n -----------8 分 n n
81 ? n ,即 n=9 时取等号) n

? 30 ? 2 81 ? 12 (当且仅当

所以 9 年后共获利润:12 ? 9 ? 46 =154(万元)-----------10 分 利润 y ? 30n ? (81 ? n ) ? ?(n ? 15) ? 144
2 2

所以 15 年后共获利润:144+ 10=154 (万元)-----------11 分 两种方案获利一样多,而方案①时间比较短,所以选择方案①12 分 22.(本小题满分 12 分) 解: (1)由 S n ?

1 (a n ? 1) 2 , 4 1 ? a1 ? 1, 当 n=1 时, a1 ? (a1 ? 1) 2 ……………………1 分 4 1 1 2 2 当 n ? 2时, S n ?1 ? (a n ?1 ? 1) 2 ,? a n ? S n ? S n ?1 ? (a n ? an ?1 ? 2a n ? 2a n ?1 ) , 4 4
即 (a n ? a n ?1 )(a n ? a n ?1 ? 2) ? 0, ………………3 分 即 a n ? a n ?1 ? 2. ……………………4 分

? a n ? 0,? a n ? a n ?1 ? 2 ? 0,

? 数列{a n }是a1 ? 1, d ? 2 的等差数列

7

(2)依题意 b1 ? 1, 当n ? 2时, bn ? bn ?1 ? ( ) n ?1 ,

1 2

? bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ? ? (bn ? bn ?1 )
1 1 2 1 1 ……………………6 分 ? ( ) ? ? ? ( ) n ?1 ? 2(1 ? n ). 2 2 2 2 2 c n ? a n ? (2 ? bn ) ? (2n ? 1) ? n . 2 1 3 5 2n ? 1 Tn ? c1 ? c 2 ? ? ? c n ? 2( ? 2 ? 3 ? ? ? ) ① 2 2 2 2n 1 1 3 5 2n ? 1 ② ……………………7 分 Tn ? 2( 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ) , 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2n ? 1 ①—②得 Tn ? 2( ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ), 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2n ? 1 2n ? 3 Tn ? 4( ? 2 ? ? ? n ) ? ? 1 ? Tn ? 6 ? n ?1 …………………9 分 n 2 2 2 2 2 2 ? 1?
(3)?

Tn ? ? 2n ? 3 1 ? ?6 1 ? (6 ? n ?1 ? ? ) ? = ? n ?1 ……………………10 分 an?2 2n ? 3 2n ? 3 2 2
? Tn ? ? ? ? ? 为等比数列,当且仅当 ? ? 6 ? 0, 即? ? ?6 时 ? an?2 ? ? Tn ? ? ? ? ? 为等比数列 ? an?2 ?
……………………12 分

要使数列 ? ?

故存在 ? ? ?6 ,使 ? ?

8


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