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常熟浒浦高中高二数学期末综合(八)

常熟浒浦高中高二数学期末综合(八)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应位置上) 1. 函数

f ( x) ? x3 ? 15 x 2 ? 33x ? 6 的单调减区间为___★___. 2 【 答 案 】【 答 案 】 ( ?1,11) ;【 解 析 】 f ?( x) ? 3 x ? 30 x ? 33 ? 3( x ? 11)( x ? 1) (x ? 1 1 ) x( ? ? 1 ) 得单调减区间为 0 (?1,11) 。
2

,由

2. 若函数 f ( x) ? x( x ? c) 在 x ? 2 处有极大值,则常数 c =6. 3. 已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 3 ? 0 垂直,则该双曲线的准线方程是 2 a

x??

4. 四 棱 锥 P ? A B C D 的 五 个 顶 点 都 在 一 个 球 面 上 , 且 底 面 ABCD 是 边 长 为 1 的 正 方 形, PA ? ABCD , PA ?
【答案】

4 5 5

4? 3

2 ,则该球的体积为______.

5. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 的圆心在第一象限,圆 C 与 x 轴交于 A(1,0),B(3,0)两点,且与直线 x-y+1=0 相切,则圆 C 的半径为________. 【答案】 2 6. 设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列命题: (1)若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n ; (2)若 ? // ? , m ? ? , n // ? ,则 m ? n ; (3)若 ? ? ? , m ? ? , n // ? ,则 m // n ; (4)若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n . 上面命题中,所有真命题的序号为 .

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的一条准线与 x 轴的交点为 P ,点 A 为其短轴的一个端点,若 PA 的中 a 2 b2 3 点在椭圆 C 上,则椭圆的离心率为 ▲ . 3 8. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 3 x ? y ? 6 ? 0 与圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 交于 A , B 两点,则直 线 OA 与直线 OB 的倾斜角之和为________. 【答案】 60?
7. 椭圆 C : 9. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C: 若 AM ? 2MB ,则直线的斜率为_____.

???? ?

????

x2 y 2 B 两点, ? ? 1 .设过点 M(0,1)的直线与双曲线 C 交于 A、 4 3

1 2 x2 y2 10. 设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 ,上顶点为 A ,过点 A 与 AF2 垂直的直线 a b 交 x 轴负半轴于点 Q ,且 2 F1 F2 ? F2 Q ? 0 .则椭圆 C 的离心率为___________ 1 【答案】 e? 2
【答案】 ?

11. 关于 x 的方程 x 3 ? 3x ? a ? 0 有三个不等的实根,则实数 a 的取值范围是(-2,2). 12. 已知函数 f ( x) ? ln x ?

【答案】 ? 3e 貌似错了

m ( m ? R )在区间 [1, e] 上取得最小值 4,则 m ? ____. x

二、解答题:本大题共 5 小题,共计 80 分.请在答题卡指定位置 内作答,解答时应写出文字说明、证明过 ....... 程或演算步骤. 13. (本题满分 14 分) 如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,点 D 是 BC 的中点. (Ⅰ)求证: AD ? 平面 BCC1 B1 ; (Ⅱ)求证: A1C ? 平面 AB1 D . 证 : (Ⅰ)因为 ?ABC 是正三角形 , 而 D 是 BC 的中点,所以 AD ? BC ……………3 分 又 BC 是两个相互垂直的平面 ABC 与面 BCC1 B1 的交线 , 且 , 所 AD ? 面ABC AD ? 面BCC1B1 ……………………………… 7 分 是 BC 的中点, 得 DE ? AC ………11 分 又 DE ? 面AB1 D ,且 A1C ? 面AB1 D ,所以 A1C ? 平面 AB1 D ………14 分 14. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 M : x ? y ? 8 x ? 6 ? 0 , 过点 P(0, 2) 且斜率为 k 的直线与圆 M 相
2 2

B1

A1

C1 B D C
第 15 题

A



(Ⅱ) 连接 A1 B ,设 AB1 ? A1 B ? E ,则 E 为 A1 B 的中点,连接 DE ,

由D

交于不同的两点 A, B ,线段 AB 的中点为 N 。 (1)求 k 的取值范围; (2)若 ON / / MP ,求 k 的值。 解(1)方法一:圆的方程可化为 ( x ? 4) ? y ? 10 ,直线可设为 y ? kx ? 2 ,
2 2

即 kx ? y ? 2 ? 0 ,圆心 M 到直线的距离为 d ?
2 2 依题意 d ? 10 ,即 (4k ? 2) ? 10(k ? 1) ,

| 4k ? 2 | k 2 ?1



1 ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 3 ? x2 ? y 2 ? 8x ? 6 ? 0 2 2 方法二:由 ? 可得: (k ? 1) x ? 4(k ? 2) x ? 10 ? 0 , y ? kx ? 2 ? 2 2 依题意 ? ? [4(k ? 2)] ? 40(k ? 1) ? 0 , 1 解之得: ?3 ? k ? . 3 1 1 (2)方法一:因为 ON / / MP ,且 MP 斜率为 ? ,故直线 ON : y ? ? x , 2 2 1 ? y?? x 4 2 由? , ), 2 可得 N (? 2k ? 1 2 k ? 1 ? y ? kx ? 2
解之得: ?3 ? k ?

2 2k ? 1 ? ? 1 , 又 N 是 AB 中点,所以 MN ? AB ,即 4 k ? ?4 2k ? 1 4 解之得: k ? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15 分 3 x ? x2 y1 ? y2 方法二:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 N ( 1 , ) 2 2 ? x2 ? y 2 ? 8x ? 6 ? 0 2 2 由? 可得: (k ? 1) x ? 4(k ? 2) x ? 10 ? 0 , ? y ? kx ? 2 4(k ? 2) 所以 x1 ? x2 ? ? 2 , k ?1 1 又 ON / / MP ,且 MP 斜率为 ? , 2 y1 ? y2 2 ? ? 1 ,即 y1 ? y2 ? ? 1 ,也就是 k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? ? 1 , 所以 x1 ? x2 x1 ? x2 2 x1 ? x2 2 2 2 4(k ? 2) k (? 2 )?4 4 1 k ? 1 所以 ? ? ,解之得: k ? ? . 4(k ? 2) 3 2 ? 2 k ?1 y ? kx ? 2 ? 4 ? 1 方法三:点 N 的坐标同时满足 ? y ? ? x ,解此方程组,消去 x, y 可得 k ? ? . 3 2 ? ? y 1 ?? x?4 k
15. 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升)关于行驶速度 x (千米/小时)的函 数解析式可以表示为: y ?

1 3 x3 ? x ? 8(0 ? x ? 120). 已知甲、乙两地相距 100 千米。 128000 80

(1)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 解: (1)若 x ? 40 千米/小时,每小时耗油量为 y ? 7 升/小时. ……2 分 共耗油 7 ?

100 ? 17.5 升. ………………………………4 分 40

所以,从甲地到乙地要耗油 17.5 升. ………………………………5 分 升. ………………………………6 分

( 2 ) 设 当 汽 车 以 x 千 米 / 小 时 的 速 度 匀 速 行 驶 时 耗 油 量 最 少 , ?0 ? x ? 1 2 0 ? ,耗油量为 S

100 ? 1 3 1 2 800 15 ? x3 ? x ? 8 ? ? x ? ? ,………………10 分 ? x ? 128000 80 x 4 ? 1280 1 800 S'? x ? 2 ,………………………………11 分 640 x 令 S ' ? 0 ,解得, x ? 80 .………………………………12 分
则S ?

列表:

x
S' S

80 ? ? 0,
?

80

? 80,120 ?
?
?

120

0
极小值 11.25

0
170 12

?

……………………………………………………………………………14 分 所以,当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,耗油量最少,为 11.25 升. ………15 分 16. 设 a ? 0 ,函数 f ( x) ?
ex . x ?a
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; 1 1 3 3?e (Ⅱ)当 x ? 时,函数 f ( x) 取得极值,证明:对于任意的 x1 , x2 ? [ , ], ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?? e. 3 2 2 2 解:(Ⅰ) f '( x) ?
e x ( x 2 ? a ? 2 x) e x [( x ? 1) 2 ? a ? 1] ? ( x 2 ? a) 2 ( x 2 ? a) 2

⑴ 当 a ? 1 时, f '( x) ? 0 恒成立, f ( x) 在 (??, ??) 上是增函数; ⑵ 当 0 ? a ? 1 时,令 f ?( x) ? 0 ,即 ( x ? 1)2 ? a ? 1 ? 0 ,解得 x ? 1 ? 1 ? a , 或x ? 1 ? 1 ? a . 因此,函数 f ( x) 在区间 (??,1 ? 1 ? a ) 内单调递增,在区间 (1 ? 1 ? a , ??) 内也单调递增. 令 f ?( x) ? 0,即( x ? 1)2 ? a ? 1 ? 0 ,解得 1 ? 1 ? a ? x ? 1 ? 1 ? a . 因此,函数 f ( x) 在区间 (1 ? 1 ? a ,1 ? 1 ? a ) 内单调递减. 1 1 1 1 3 (Ⅱ)当 x ? 时,函数 f ( x) 取得极值,即 f '( ) ? 0, ? ( )2 ? a ? 2 ? ? 0 ,? a ? . 2 2 2 2 4 1 3 3 由(Ⅰ) f ( x) 在 (??, ) 单调递增,在 (1, ) 单调递减, ( , ??) 单调递增. 2 2 2 1 1 3 3 e e , f ( x) 在 x ? 时取得极大值 f ( ) ? e ; f ( x) 在 x ? 时取得极小值 f ( ) ? 2 3 2 2 2 1 3 1 3 e e 故在 [ , ] 上, f ( x) 的最大值是 f ( ) ? e ,最小值是 f ( ) ? ; 2 3 2 2 2 1 3 3?e 对于任意的 x1 , x2 ? [ , ], ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?? e. 2 2 3 17. 如图,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的上、下顶点分别为 A、B ,点 P 在椭圆上,且异于点 A、B ,直线 4 AP、BP 与直线 l : y ? ?2 分别交于点 M、N , (Ⅰ)设直线 AP、BP 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,求证: k1 ? k 2 为定值; (Ⅱ)求线段 MN 的长的最小值; (Ⅲ)当点 P 运动时,以 MN 为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.

P

【答案】解(Ⅰ)? A(0,1) , B (0,?1) ,令 P ( x0 , y0 ) ,则由题设可知 x0 ? 0 ,

? 直线 AP 的斜率 k1 ?

y0 ? 1 y ?1 , PB 的斜率 k 2 ? 0 ,又点 P 在椭圆上,所以 x0 x0

2 2 y ? 1 y0 ? 1 y0 ?1 x0 1 2 ( x0 ? 0 ) ,从而有 k1k 2 ? 0 ? ? ?? 。 ? y0 ? 1, 2 x0 x0 x0 4 4 (Ⅱ)由题设可以得到直线 AP 的方程为 y ? 1 ? k1 ( x ? 0) , 直线 BP 的方程为 y ? ( ?1) ? k 2 ( x ? 0) , 3 1 ? ? ? y ? 1 ? k1 x ? x ? ? ? y ? 1 ? k2 x ? x ? ? k1 , 由 ? k2 , 由? ?? ?? ? y ? ?2 ? y ? ?2 ? y ? ?2 ? y ? ?2 ? ? ? 1 ? ? 3 ? ? ? ? M ? , ? 2 l ,直线 与直线 的交点 ? , ? 2 BP ? 直线 AP 与直线 l 的交点 N ? ? k ?。 ? k ? 2 1 ? ? ? ?

又 k1k 2 ? ?

3 1 3 3 3 1 ? ? ? 4k1 ? ? 4 | k1 |? 2 ? 4 | k1 | ? 4 3 , ,?| MN |? k1 k 2 k1 | k1 | | k1 | 4

等号当且仅当

3 3 ,故线段 MN 长的最小值是 4 3 。 ? 4 | k1 | 时取到,即 k1 ? ? 2 | k1 |


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