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2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3课件:第一章 4 简单计数问题_图文

考点一 §4 第 一 章 简 单 计 数 问 题 把 握 热 点 考 向 考点二 考点三 考点四 考点五 考点六 应用创新演练 § 4 简单计数问题 特殊元素、特殊位置优先法 [例 1] 用 0,2,3,4,5 这五个数字,组成没有重复数字的三位 ( B.30 个 D.60 个 解答本题明确特殊元素 0 不能排首位,而特殊 ) 数,其中偶数共有 A.24 个 C.40 个 [思路点拨] 位置个位只能排偶数. [精解详析 ] 因组成的三位数为偶数,个位的数字必须是偶 数,又 0 不能排在首位,故 0 是其中的“特殊”元素,应优先安 排,按 0 排在个位和 0 不排在个位分为两类:①当 0 排在个位时, 1 1 1 有 A2 个;②当 0 不排在个位时,三位偶数有 A 4 2A3A3个.由分类 2 1 1 1 加法计数原理,其中偶数共有 A4 +A2 A3A3=30 个. [答案] B [一点通] 解答含有特殊元素或位置的问题的方法: 若以元素为主时,先满足特殊元素的要求;以位置为主时, 先满足特殊位置的要求.具体解答时还要辩证地看待“元素” 和“位置”,哪些事件看成元素或位置,要视具体情况而定. 1.从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市 游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且 这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有 ( A.300 种 C.144 种 B.240 种 D.96 种 ) 解析:第一步先从剩余 4 人中选一个人去巴黎游览共有 4 种方 法; 第二步从剩余 5 人中选 3 人去另外三个城市有 A3 由 5种方法. 分步乘法计数原理,共有 4×A3 5=240 种不同选择方案. 答案:B 2. 安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班, 每人值班一天, 其中甲、乙两人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日,不同的安排方 法共有________种. 解析:先安排甲、乙两人在后 5 天值班,有 A2 5=20 种排法, 5 其余 5 人再进行排列, 有 A5 =120 种排法, 所以共有 20×120 =2 400 种安排方法. 答案:2 400 相邻问题捆绑法 [例 2] 从单词“equation”中选取 5 个不同的字母排成一排, ( ) 含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有 A.120 种 C.720 种 B.480 种 D.840 种 [精解详析] 先将“qu”看成一个元素,再从剩余的 6 个元 3 素中取出 3 个元素,共有 C6 种不同取法,然后对取出的 4 个元 4 素进行全排列,有 A4 种方法,由于“qu”顺序不变,根据分步乘 4 法计数原理共有 C3 A 6 4=480 种不同排列. [答案] B [一点通] 对于某几个元素要求相邻的排列问题,可先将 相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列,然后 再对相邻元素之间进行排列. 3. (辽宁高考)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家, 若每家人坐在一 起,则不同的坐法种数为 A.3×3! C.(3!)4 B.3×(3!)3 D.9! ( ) 解析:利用“捆绑法”求解.满足题意的坐法种数为 3 3 4 A3 (A3 3) =(3!) . 答案:C 不相邻问题插空法 [例 3] 要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求 排成一排,2 位老人不相邻且不排在两端,不同的排法共有 ( A.1 440 种 C.720 种 B.960 种 D.480 种 ) [思路点拨] 先排五名志愿者,两位老人插空. [精解详析] 5 名志愿者的排法有 A5 2 位老人不相邻且不 5种, 排在两端,采用插空,中间四个空,有 A2 4种,由分步乘法计数原 5 2 理共有 A5 A4=1 440 种. [答案] A [一点通] 对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其 他元素排好, 然后再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及 两端的空隙中插入. 4.有 6 个座位连成一排,现有 3 人就坐,则恰有两个空座位相 邻的不同坐法有 A.36 C.72 B.48 D.96 ( ) 解析:恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位 2 不相邻,先排 3 个人,然后插空,从而共有 A3 3A4=72 种不同 的坐法. 答案:C 5.在一次文艺演出中,需给舞台上方安装一排彩灯共 15 只,以 不同的点亮方式增强舞台效果, 要求设计者按照每次点亮时, 必须有 6 只灯是关的,且相邻的灯不能同时被关掉,两端的 灯必须点亮的要求进行设计,那么不同的点亮方式有 ________种. 解析:关掉 6 只灯后还亮 9 只灯,9 只灯之间的 8 个空可以看 成有 6 个是关灯后得到的,因此关灯方式有 C6 8=28 种. 答案:28 定序问题消序法 [例 4] 由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数, 其中 ( ) 个位数字小于十位数字的共有 A.210 个 C.464 个 B.300 个 D.600 个 1 5 [精解详析] 若不考虑附加条件,组成的六位数共有 A5 A5 个,而其中个位数字与十位数字的 A2 2种排法中只有一种符合条 1 5 2 件,故符合条件的六位数共有 A5 A5÷ A2 =300 个. [答案] B 对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把 [一点通] 这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总排列数除以这 几个元素的全排列数. 6.把 A,B,C,D,E 排成一排,要求字母 A 排在字母 B 的 右边(可相邻也可以不相邻),不同的排法有________种. 解析:A,B,C,D,E 排成一排有 A5 5种方法.∵A,B 两个 A5 1 5 5 字母的顺序固定,∴不同的排法有 2=

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