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福建市莆田一中2009届高三上学期期末考试(数学文).doc


莆田一中 2008~2009 学年上学期期末考试卷
高三 数学(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡上.
1.复数 z1 ? 3 ? i, z 2 ? 1 ? i ,则 z ? z1 ? z 2 在复平面内的对应点位于( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 )

2.在等比数列{an}中,已知 a1 ? 1, a4 ? 8 ,则 a5 ? ( ) A.16 B.16 或-16 C.32 D.32 或-32

3.已知向量 a =(x,1),b =(3,6),a ? b ,则实数 x 的值为( ) A.

1 2

B. ? 2

C. 2

D. ?

1 2

4.经过圆 C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的圆心且斜率为 1 的直线方程为( ) A. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 D. x ? y ? 3 ? 0

5.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ,则 f (?2) ? ( ) A.

1 4

B.? 4

C.?

1 4
甲 5 3 3 4 6 8 7 9 1 1 2 3 4 图1 ) 4 2 5

D. 4


6. 图 1 是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图, 则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( ) A.62 C.64 B.63 D.65

5 6 7 3 7 8

7. 下列函数中最小正周期不为 π 的是( ) A. f ( x) ? sin x ? cos x C. f ( x) ? sin x ? cos x
2 2

B. g(x)=tan( x ?

?
2

D.? ( x) ? sin x ? cos x

8. 命题“ 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 ”的否命题 是( ) ... A. 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 B.若 a ? b ,则 a ? 1 ? b ? 1

用心

爱心

专心

C. 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1

D. 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1

3

9.图 2 为一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形,俯视 图为正三角形,尺寸如图,则该几何体的侧面积为( ) A.6 C.12 3 10. 已知抛物线 C 的方程为 x ?
2

4

B. 24 D.32
正视图 侧视图

1 y ,过点 A ?0, ? 1? 和点 B?t , 3? 的直 2

线与抛物线 C 没有公共点,则实数 t 的取值范围是( ) A.

?? ?,?1? ? ?1,???

? ? 2? ? 2 ??? ,?? ? B. ? ? ?,? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?

俯视图 图2

C. ? ?,?2 2 ? 2 2 ,??

?

? ?

?

D. ? ?,? 2 ?

?

? ?

2 ,??

?
D.不确定

11.已知△ ABC 满足| BC |3+| BA |3=| CA |=1,△ ABC 则必定为( ) A.直角三解形 B.钝角三角形 C.锐角三角形

12.过点 P( 0, 1) 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 相交的所有直线中,被圆截得的弦 最长时的直线方程是 x?0. A x ? y ?1? 0 . C ( B D ) 开始 S=0 i=3 S=S+i . i=i+1 否

y ? 1. x ? y ?1? 0 .

二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分.
13. 函数 f ( x) ? log 2 (1 ? x 2) 的定义域为 14.如图所示的算法流程图中,输出 S 的值为 .

? x ? y ≥ 2, ? 15.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ≤ 2,则 z ? 2 x ? y 的最大值为_______. ?0 ≤ y ≤ 3, ?
1 2 2 16.已知 f ( x) ? x ? x ? 2 x ? c ,若 x ? [?1,2] 时, f ( x) ? c 恒成立, 2
3

i>10 是 输出 S 结束

则实数 c 的取值范围______

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.
17.(本小题满分 12 分)
用心 爱心 专心

已知 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ? R ) . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 的最大值,并指出此时 x 的值.

18. (本小题满分 12 分) 某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后, 随机地 在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学 生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了 22 人. 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形 图如图 5 所示,其中 120~130(包括 120 分但不包括 130 分) 的频率为 0.05,此分数段的人数为 5 人. (1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人?

频率 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 分数 70 80 90 100 110 120 130

0

(2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于 90 分的概率.

图5

19.(本小题满分 12 分) 如图 6,已知四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD ,

P

ABCD 是直角梯形, AD // BC , ? BAD ? 90? , BC ? 2 AD .
(1)求证: AB ⊥ PD ; (2)在线段 PB 上是否存在一点 E ,使 AE //平面 PCD , 若存在,指出点 E 的位置并加以证明;若不存在,请说明理由.

C
D A
图6

B

20. (本题满分 12 分) 已 知 函 数

f ( x) ? ax3 ? bx2的图象经过点 M (1,4) , 曲 线

在点 M 处的切线恰好与直线 x ? 9 y ? 0 垂直。 (1)求实数 a , b 的值;

用心

爱心

专心

(2)若函数 f ( x)在区间 [m, m ? 1]上单调递增 , 求m 的取值范围。

21.(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n2 ? 4n ? 4 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

an 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? 1 . n 2 4

22. (本小题满分 14 分) 设椭圆 C : 椭圆 C 两 焦点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 C 上一动点 P ?x0 , y 0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P 1 ?x1 , y1 ? ,求 3 x1 ? 4 y1 的 取值范围.

x2 y2 2 ,点 A 是椭圆上的一点 ,且点 A 到 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e = 2 2 a b

莆田一中 2008~2009 学年上学期期末考试答题卷 高 三 数 学(文科)
一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5
用心

6
爱心

7
专心

8

9

10

11

12

答案 二、填空题(共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、 15、 三、解答题:( 74 分) 17. (本小题满分 12 分) . . 14、 16、 . .

18、(本小题满分 12 分)

用心

爱心

专心

19、(本小题满分 12 分)

20、(本小题满分 12 分)

用心

爱心

专心

21、(本小题满分 12 分)

22、(本小题满分 14 分)

用心

爱心

专心

数学(文科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B A B C D C B D C C 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分.13. ?? 1, 1? 14. 52 15. 7 16. c ? ?1 或 c ? 2

三、解答题:本大题共6小题,满分74分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 解:(1)∵ f ?x? ? sin x ? 3 cos x

?1 ? 3 ? ? 2? ? 2 sin x ? 2 cos x ? ? ?

?? 2 分

用心

爱心

专心

? ?? ? ? 2? sin x cos ? cos x sin ? 3 3? ?
?? ? ? 2 sin? x ? ? . 3? ?
∴ T ? 2? . (2) 当 sin? x ? 此时 x ?

?? 4 分

?? 6 分 ?? 8 分

? ?

??
?

? ? 1 时, f ( x) 取得最大值, 其值为 2 . 3?

??10 分

?
3

?
2

? 2k? ,即 x ? 2k? ?

?
6

(k ? Z ) .

??12 分

18. (本小题满分 12 分) 解:(1) 由频率分布条形图知,抽取的学生总数为

5 ? 100 人. 0.05

??4 分

∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为 d , 由 4 ? 22 ? 6d =100,解得 d ? 2 . ∴各班被抽取的 学生人数分别是 22 人,24 人,26 人,28 人. ??8 分

(2) 在 抽 取 的 学 生 中 , 任 取 一 名 学 生 , 则 分 数 不 小 于 90 分 的 概 率 为 0.35+0.25+0.1+0.05=0.75.??12 分 19.(本小题满分 14 分)解:(1)∵ PA ⊥平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , ∴ PA ⊥ AB . ∵ AB ⊥ AD , PA ? AD ? A , ∴ AB ⊥平面 PAD , ∵ PD ? 平面 PAD ,∴ AB ⊥ PD . (2)法 1: 取线段 PB 的中点 E , PC 的中点 F ,连结 AE, EF , DF , 则 EF 是△ PBC 中位线.
P F

?? 2 分

?? 4 分 ?? 6 分

1 ∴ EF ∥ BC , EF ? BC , 2 1 ∵ AD // BC , AD ? BC , 2
∴ AD // EF, AD ? EF .

??8 分

E C D A B

∴ 四边形 EFDA 是平行四边形, ∴ AE // DF . ∵ AE ? 平面 PCD , DF ? 平面 PCD ,
用心 爱心 专心

??10 分

∴ AE ∥平面 PCD . ∴ 线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点. 法 2: 取线段 PB 的中点 E , BC 的中点 F ,连结 AE, EF, AF , 则 EF 是△ PBC 的中位线. ∴ EF ∥ PC , CF ?
P

??12 分

1 BC , 2
D A

E C

∵ EF ? 平面 PCD , PC ? 平面 PCD , ∴ EF // 平面 PCD . ∵ AD // BC , AD ? ?? 8 分
F B

1 BC , 2

∴ AD // CF , AD ? CF .∴ 四边形 DAFC 是平行四边形, ∴ AF // CD ∵ AF ? 平面 PCD , CD ? 平面 PCD , ∴ AF ∥平面 PDC . ??10 分 ∵ AF ? EF ? F ,∴平面 AEF // 平面 PCD .∵ AE ? 平面 AEF , ∴ AE ∥平面 PCD . ∴ 线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点. 20、(本小题满分 12 分) 解:解:(1)? f ( x) ? ax3 ? bx2的图象经过点 M (1,4), ??12 分

?a ? b ? 4

①式 ????1 分 ????3 分 ②式????5 分

f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx, 则f ?(1) ? 3a ? 2b
由条件 f ?(1) ? (? ) ? ?1, 即3a ? 2b ? 9 由①②式解得 a ? 1, b ? 3

1 9

(2) f ( x) ? x ? 3x , f ?( x) ? 3x ? 6 x ,
3 2 2

令 f ?( x) ? 3x ? 6x ? 0得x ? 0或x ? ?2,
2

????8 分

[m, m ? 1]上单调递增 , 则[m, m ? 1] ? ?? ?,?2? ? ?0,???, 经检验知函数 f ( x)在区间 ? m ? 0或m ? 1 ? ?2,即m ? 0或m ? ?3为所求m 的取值范围。 ????12 分
21. (本小题满分 12 分) (1) 解:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 . 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? n 2 ? 4n ? 4 ? ?n ? 1? ? 4?n ? 1? ? 4
2

??1 分

?

?

用心

爱心

专心

? 2n ? 5 .
∵ a1 ? 1 不适合上式, ∴ an ? ?

??3 分

n ? 1, ? 1, ?2n ? 5, n ? 2.

??4 分

? 1 ,n ?1 an ? ? 2 (2)证明: ∵ bn ? n ? ? . 2 n ? 5 2 ? ,n ? 2 ? ? 2n
1 , 2 1 ?1 1 2n ? 5 当 n ? 2 时, Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? , 2 2 2 2n 1 1 ?1 1 2n ? 7 2n ? 5 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? n ?1 . 2 2 2 2 2n 2
当 n ? 1 时, T1 ? ①-②得: ??6 分 ① ②

1 1 2 1 1 2n ? 5 Tn ? ? 2 ? 2( 3 ? ? ? n ) ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 2n ? 5 ? (1 ? n ? 2 ) ? n ?1 2 2 2 2n ? 1 (n ? 2) , 得 Tn ? 1 ? 2n 此式当 n ? 1 时也适合. 2n ? 1 Tn ? 1 ? (n ? ∴ N 2n 2n ? 1 ? 0(n ? Ν* ) , ∵ ∴ Tn ? 1. n 2
10 分 当 n ? 2 时, Tn ?1 ? Tn ? (1 ? ∴ Tn ? Tn?1 (n ? 2) .

??8 分

*

)

. ??

2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 ) ? (1 ? n ) ? n ?1 ? 0 , n ?1 2 2 2


1 3 1 1 * T1 ? , T2 ? 1 ? ? ,∴ T2 ? T1 . 故 Tn ? T2 ,即 Tn ? (n ? N ) . 2 4 4 4 1 * 综上, ? Tn ? 1(n ? N ) . ??12 分 4
22. (本小题满分 14 分) 解:(1)依题意知, 2a ? 4,? a ? 2. ∵e ? ?? 2 分 ?? 4

c 2 ? , c ? 2, b ? a 2 ? c 2 ? 2 . a 2

用心

爱心

专心

分 ∴所求椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 2

?? 6 分

(2)∵ 点 P ?x0 , y 0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P 1 ?x1 , y1 ? ,

? y 0 ? y1 ? 2 ? ?1, ? ? x 0 ? x1 ∴ ? ? y 0 ? y1 ? 2 ? x 0 ? x1 . ? 2 ? 2
解得: x1 ?

?? 8 分

4 y0 ? 3 x0 3 y ? 4 x0 , y1 ? 0 . 5 5

?? 10 分

∴ 3x1 ? 4 y1 ? ?5x0 . ∵ 点 P ?x0 , y 0 ? 在椭圆 C :

?? 12 分

x2 y2 ? ? 1 上,∴ ? 2 ? x0 ? 2 , 则 ? 10 ? ?5x0 ? 10 . 4 2
??14 分

∴ 3x1 ? 4 y1 的取值范围为 ?? 10, 10? .

用心

爱心

专心


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