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《等比数列前n项和》教案分析

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《等比数列前 n 项和》教案分析
一、教材分析 、 地位和作用 《等比数列的前 n 项和公式》这一节内容是在学生学习 了等差数列、等比数列的概念及通项公式,等差数列的前 n 项和公式的基础上进行的。是进一步学习数列知识和解决一 类求和问题的重要基础和有力工具。 2、 重点和难点 本节课的重点就是等比数列的前 n 项和公式及其初步应 用;难点是公式的推导方法。 3、 教学目标 基于以上分析,按照《教学大纲》的要求及学生的素质 确定以下教学目标: 认识目标:理解并掌握等比数列的前 n 项和公式及其推 导方法;熟练掌握运用公式求和。 素质目标:向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类 与讨论等数学思想。培养学生良好的学习习惯和数学思维的 深刻性、广阔性等思维品质。 4、教学方法
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本节课将采用“多媒体优化组合—激励—发现”式教学 模式进行教学。 该模式能够将教学过程中的各要素, 如教师、 学生、教材、教法等进行积极的整合,使其融为一体,创造 最佳的教学氛围。 5、 教学手段 教学中,利用投影仪、微机这些现代化教学媒体来激发 学生的学习兴趣,启迪学生思维,增大课堂容量,提高课堂 效率。 二、教学过程 、 课题的引入 首先给出以下实例 引例:某建筑队,由于资金短缺,向某砖厂赊借红砖盖 房,双方约定,在一个月(30 天)内,砖厂每天向建筑队提 供 10000 块砖,为了还本付息,建筑队第一天要向厂方返还 1 块砖,第二天返还 2 块砖,第三天返还 4 块砖,??。即 每天返还的砖数是前一天的 2 倍,请问,假如你是厂长或是 建筑队长,你会在这个合约上签字吗? 这是一个悬念式的实例,后面的“假如”又把学生带入 了实例创设的情境,让学生直接参与了“市场经济” 。根据 心理学,情境具有暗示作用,在暗示作用下,学生自觉不自
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觉地参与了情境中的角色,这样他们的学习积极性和思维活 动就会极大的调动起来。 在教师的诱导下,学生根据自己掌握的知识和经验,很 快建立起两个等比数列的数学模型。 (演示)如屏幕显示,数列{an}是以 10000 为首项,1 为公比的等比数列,即常数列。数列{bn}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列。 当学生跃跃欲试要求这两个数列的和的时候,课题的引 入已经水到渠成。 教师再由特殊到一般、 具体到抽象的启示, 正式引入课题。 2、 公式的推导 这里我讲述的主要是怎样利用多媒体激励、启发学生思 维,突破教材难点。 等比数列有两大类:公比 q=1 和 q1 两种情形 当 q=1 时,Sn=na1 当 q1 时,Sn=a1+a1q+??+a1qn-1= q1 时,Sn 的结果是怎么推导出来的呢?本节课的难点 就在于此。 预习过课本的学生会知道这个结果以及推导过程,但是 他们知其然而不知其所以然,可以说大部分学生根据他们掌 握的知识和经验是难以推出这个公式的。
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因此,要通过复习等差数列的求和公式,借助推导等差 数列求和公式的方法,找出推导等比数列的前 n 项和公式的 方法来! (演示)下面演示一下等差数列的前 n 项和公式的推导 过程。 现在将 a1 与 an,a2 与 an-1,所有与首末等距两项交换 位置,得到 Sn 的倒序和的形式。 然后两式相加。 这样 2Sn 就是一个有 n 项的每一项都是 a1+an 的常数列。 从而导出了 Sn 的公式。 等差数列的求和方法是根据等差数列的特点和根据学 生的知识结构和认知水平产生的,形式上是倒序相加,本质 上就是消去数列中项与项之间的差异,构造一个新的各项相 同的常数列,然后根据常数列的和导出 Sn 的公式来。 那么等比数列是不是也可以用倒序相加的方法,构造出 一个常数列或者部分常数列呢?让学生亲自去试一试,结果 呢? 显然倒序是行不通的。 这时教师的主要任务是要让学生的思维迅速发散—— 从倒序相加的定势中解脱出来。抓住学生迫切想解决这个问 题的心态,及时地通过媒体进行启发。老师要告诉学生,构 造常数列或者部分常数列的思路是正确的。既然倒序行不通,
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那么还有没有其它的方式构造常数列呢? 接着要引导学生从等比数列的定义出发,进一步认识等 比数列从第二项起,每一项都是前一项的 q 倍,也就是说将 每一项乘以 q 以后就变成了它的后一项,那么将 Sn 这个和 式的两边同时乘以 q, 在 qSn 这个和式中的第一项就是 Sn 的 第二项 也就是 Sn 和 qSn 之间产生了一个错位。由两个和式能 否构造常数列或者部分常数列的和式呢?相加行不行?显 然不行!相减行不行?显然行。 将 Sn 和 qSn 相减后,中间就得到了 n-1 项各项都是 0 的常数列,找到了这个常数列,难点就突破了,Sn 的导出就 容易了,导出了 Sn 就基本上达到了本节课的认知目标。 为了加深理解,这时还应该对等差、等比两种数列的求 和公式的推导过程进行类比和分析: 两种数列求和的基本思路都是构造常数列,构造常数列 的思想也是其他一些数列求和的基本思想。等比数列在构造 常数列的过程中,采用“错位相减” ,等差数列采用的是“倒 序相加” ,倒序相加本质上也是“错位相加” ,是一种大幅度 的“错位相加” ,等比数列只不过是步幅为 1 的小幅度的“错 位相加” 。说明一下,在 Sn 的和式中,两边同时乘以 q 是解 决问题——构造常数列的关键所在,是推导等比数列求和公 式的一把钥匙。
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所以,这两种数列的求和公式的推导方法,从数学思想 和数学方法上来讲是一致的,但是它们也有差异,即错位的 方法不同。 正是由于这种差异, 教师才有了更大的教学空间。 当教师把学生从 “倒序相加” 的思维定式中引导出来的时候, 学生的数学思维的深刻性、广阔性等思维品质就得到了提高, 思维品质提高了,思维能力也就提高了。这样,这节课的认 知目标和素质目标就基本上都达到了。 3、 公式的说明: 推导出公式之后,对公式的特征要加以说明,以便学生 记忆。同时还要对公式的另一种表示形式和应用中的注意事 项加以说明。帮助学生弄清其形式和本质,明确其内涵和外 延,为灵活运用公式打下基础。 4、 例题的处理 有了求和公式后,回头让学生亲自计算一下引例中的砖 数,从计算结果中让学生明确实际问题的解决离不开数学, 在市场经济中必须有敏锐的数学头脑才行。 选取课本的例 4 作为例题。 例题本身属公式的直接应用、 简单应用,目的是加强对公式的认识和记忆;帮助学生明确 解题步骤,规范解题格式,提高运算能力。 5、
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形成性练习: 例题处理后,设置一组形成性练习,作为对本节课的实 时检测。练习基本上是直接运用公式求和,三个练习是按由 易到难、由简单到复杂的认识规律和心理特征设计的,有利 于提高学生的积极性。学生练习时,教师巡查,观察学情, 及时从中获取反馈信息。对学生练习中出现的独到解法提出 表扬和鼓励,对其中偶发性错误进行辨析、指正。通过形成 性练习, 培养学生的应变和举一反三的能力, 逐步形成技能。 6、 课堂小结 本节课的小结从以下几个方面进行: 等比数列的前 n 项和公式 公式的推导方法——错位相减法 (3)求和思路——构造常数列或部分常数列。 通过师生的共同小结,发挥学生的主体作用,有利于学 生巩固所学知识,也能培养学生的归纳和概括能力。进一步 完成认知目标和素质目标。 7、 课外作业 要求学生阅读课本相关内容,提出公式还有无其它推导 方法?作为本节课的的升华。

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