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高中数学知识归纳


2013年2月26日星期二

第一部分 第二部分

集合与简易逻辑 映射、函数、导数、定积分与微积分 三角函数与平面向量 数列 不等式 立体几何与空间向量



第三部分 第四部分 第五部分



第六部分

第七部分
第八部分 第九部分 第十部分 第十一部分

解析几何
排列、组合、二项式定理、推理与证明 概率与统计 复数 算法

第 一 部 分 集 合 与 简 易 逻 辑
集 合

(1)空集是任何非空集合的 真子集;

集合元素的特性 有限集 集合的分类 无限集 空集φ 集合的表示

确定性、互异性、无序性

(2) A ? A; )则A ? B则A ? B或A ? B; (3
?

(4)若A ? B,B ? C,则A ? C; (5)含有n个元素的集合有 n 个子集, 2 有2n?1 个真子集; (6) ?, 的区别: 表示元素与集合关系, ? ? ? 表示集合与集合关系; (7)a与?a? 区别:一般地, 表示元素, a

列举法、特征性质描述法、Veen图法 真子集 性质

集合的基本关系

子集 几何相等 交集 p ? q

?a?表示只有一个元素a的集合; ?0 , (8)?0??? ? ?区别:??? ?表示集合, , , ?表示空集,? ? ?0? ? ? ?? ?. ,
(1) A ? A ? A,A ? A ? A, A ? ? ? A,A ? ? ? ?; ( 2 ) A ? B ? A ? A ? B, A ? B ? A ? B ? A, A ? B ? A?或B ? ? A ? B;

集合的基本运算

并集 p ? q 补集 互逆

数轴、Veen图、 函数图象

原命题:若 p,则q.
四种命题 上一页 基本逻辑 退出 联结词 互否 互为 逆否

逆命题:若 q,则p.
互否

CU ?CU A? ? A;

(3) A ? ?CU A? ? U;A ? ?CU A? ? ?; (4)CU ? A ? B ? ? ?CU A? ? ?CU B ?;

否命题:若 p,则?q. ?
或? 且?
p?q p?q

互逆

逆否命题:若 q,则?p. (5)分配律:A ? ?B ? C ? ? ? A ? B ? ? ? A ? C ?; ? A ? ?B ? C ? ? ? A ? B ? ? ? A ? C ?;

(6)结合律:A ? ?B ? C ? ? ? A ? B ? ? C; A ? ? B ? C ? ? ? A ? B ? ? C;

非?

?p?或?q ?
全称命题 存在命题 否

量词

全称量词 存在量词

若p : ?x ? M,p?x?;则?p : ?x0 ? M,?p?x0 ? 若p : ?x0 ? M,p?x0 ?;则?p : ?x ? M,?p?x?





A中元素在B中都有唯一的象;可一对一 (一一映射),也可多对一,但不可一对多 定义 函数的概念 表示 定义域

第 二 部 分 映 射 、 函 数 、 导 数 、 定 积 分 与 微 积 分

列表法 解析法 图象法 使解析式有意义及实际意义



三要素
区间 单调性 奇偶性 周期性 对称性

对应关系 值域

常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、 重要不等式、三角法、图象法、线性规划等

1.求单调区间:定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性:同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)=f(x)还是-f(x). 2.奇函数图象关于原点对称,若x=0有意义,则f(0)=0. 3.偶函数图象关于y轴对称,反之也成立。 f (x+T)=f (x);周期为T的奇函数有: f (T)=f (T/2)= f (0)=0. 二次函数、基本不等式,对勾函数、三角函数有界性、 线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。 正(反)比例函数、 一次(二次)函数 指数函数与对数函数 幂函数 定义、图象、 性质和应用

函数的 基本性质

函 数
函数常见的

最值

几种变换
基本初等函数 分段函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用

平移变换、对称变换 翻折变换、伸缩变换

三角函数 单调性:同增异减 赋值法,典型的函数 零点 建立函数模型 求根法、二分法、图象法;一元二次方程根的分布 退出 上一页

函数的平均变化率

函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度 曲线的切线的斜率
'

f ?x ?与f ?x0 ?的区别
vt ? S ',at ? vt'

第 二 部 分 映 射 、 函 数 、 导 数 、 定 积 分 与 微 积 分
导 数

导数概念

运动的平均速度 曲线的割线的斜率

k ? f ? x0 ?
'
'

0

0

0

?sin ?cos ?x c ' ? 0?c为常数 ?; n ? ? nxn?1; x ? ? cos x; x ? ? ? sin x;
'

基本初等函数求导

?log x ? ?
a

1 1 ?ln ?a ' ?e ' ; x ? ? ; x ? ? a x ln a; x ? ? e x . x ln a x
' ' ' '

导数概念

设f ?x ?,g ?x ?是可导的,则有:? f ?x ? ? g ?x ?? ? f ?x ? ? g ?x ? (1)

导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数的单调性研究 函数的极值与最值

? f ?x ?? f ' ?x ?g ?x ? ? f ?x ?g ' ?x ? ' ' ' (2)? f ?x ? ? g ?x ?? ? f ?x ? g ?x ? ? f ?x ?g ?x ? (3) ? ? ? ?g ?x ??2 ? g ?x ? ?

? f ?g ?x ??? ? f ?u ? ? u ?x ?
' ' '

f ' ?x ? ? 0 ? f ?x ?在该区间递增, ' ?x ? ? 0 ? f ?x ?在该区间递减 f .
1.极值点的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点; 2.闭区间一定有最值,开区间不一定有最值。 1.曲线上某点处切线,只有一条;2.过某点的曲线的 切线不一定只一条,要设切点坐标。 一般步骤:1.建模,列关系式;2.求导数,解导数方程; 3.比较区间端点函数值与极值,找到最大(最小)值。 kf ? x ?dx ? k ? f ? x ?dx;? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? x ?dx ? ? g ? x ?dx; dx ? 性质 ? ? f ?x ?dx ? ?? f ?x ?dx; f ?x ?dx ? ? f ?x ?dx? f ?x ?dx.?a ? b ? c ? ?
b b b b b a a a a a b a c b c a b a a b

导数应用

曲线的切线 变速运动的速度 生活中最优化问题 定义及几何意义

定 积 分 与 微 积 分

定积分概念

曲边梯形的面积 变力所做的功

1.用定义求:分割、近似代替、求和、取极限;2.用公式。

和式? f ?? i ??xi的极限
i ?1

n ?1

微积分基本 定理

定理含意 定理应用

若F ' ?x ? ? f ?x ?, 则?a f ?x ?dx ? F ?b ? ? F ?a ??牛顿 ? 莱布尼兹公式 ?
b

1.求平面图形面积;2.在物理中的应用(1)求变速运动的路程: b a W ? ?a F ? x ?dx s ? ?b v?t ?dt (2)求变力所作的功;

第 三 部 分 三 角 函 数 与 平 面 向 量

正角、负角、零角 象限角 角 任意角与弧度制; 单位圆 弧度制 轴线角 终边相同的角 定义1弧度的角 三角函数线 平方关系、商的关系 公式正用、逆用、变形 及“1”的代换 化简、求值、证明(恒等式) 描点法(五点作图法) 正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 三角函数的图象 正切函数y=tanx y=Asin(ωx+φ)+b 性质 定义域、值域 单调性、奇偶性、周期性 对称性 最值 作图象 几何作图法 对称轴(正切函数 除外)经过函数图 象的最高(或低) 点且垂直x轴的直线 对称中心是正余弦函 数图象的零点,正切 函数的对称中心为 k? ( ,0)(k∈Z) 2 ①角度与弧度互化;②特殊角的弧度数; ③弧长公式、扇形面积公式 区别第一象限角、锐角、小于900的角

任意角三角函数定义

三 角 函 数

同角三角函数的关系

任意角的三角函数

诱导公式 和(差)角公式 二倍角公式

奇变偶不变,符号看象限

上一页

退出

①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到,但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同; ②图象也可以用五点作图法;③用整体代换求单调区间(注意?的符号); ?2k ? 1?? ? 2? ,对称中心为( k? ? ? ,b)(k∈Z). 2? ④最小正周期T= ;⑤对称轴x= 2? ? ?
三角函数模型的简单应用 生活中、建筑学中、航海中、物理学中等

第 三 部 分 三 角 函 数 与 平 面 向 量

正弦定理

a b c ? ? ? 2 R及变式 sin A sin B sin C
适用范围:①已知两角和任一边,解三角形; ②已知两边和其中一边的对角,解三角形。 解的个数是一个? 两个?还是无解?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B
余弦定理

推论:求角

c 2 ? a 2 ? b2 ? 2abcosC
适用范围:①已知三边,解三角形;②已知两 边和它们的夹角,解三角形。

解三角形
面积

1 1 S?ABC ? ah ? absin C 2 2 a?b?c? ? p? p ? a ?? p ? b ?? p ? c ?? 其中p ? ? 2 ? ? abc ?R是外接圆半径? ? 4R 1 ? ?a ? b ? c ? ? r ?r是内切圆半径? 2 ?
零向量与单位向量 加、减、数乘 表示 几何意义及运算律

(1)解三角形时,三条边和 三个角中“知三求二”。 (2)解三角形应用题步骤: 先准确理解题意,然后画出 示意图,再合理选择定理求 解。尤其理解有关名词,如 坡角、坡比、仰角和俯角、 方位角、方向角等。

实际应用 向量的概念 线性运算

? a?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2

平面向量
上一页

平面向量基本定理 数量积 几何意义 夹角公式

? ? ? p ? xe1 ? ye2
投影

? ? ? ? ? a ?b b 在a方向上的投影为b cos? ? ? a ? ? ? ? a ?b 设a与b 夹角为? ,则 cos? ? ? ? a ?b

退出

共线与垂直 向量的应用

共线(平行) 垂直

? ? ? ? ? ? a // b ? b1 ? ? 0a ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 a ? 0 ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0

?

?

在平面(解析)几何中的应用;在物理(力向量、速度向量)中应用

解析法:an=f(n) 数列的定义 表示 图象法 一 般 数 列 通项公式 概念 递推公式 an与sn的关系

数列是特殊的函数

第 四 部 分 数 列 数 列

列表法

? S1,n ? 1 an ? ? ?Sn ? Sn?1,n ? 2

通项公式
特 殊 数 列 等差数列 求和公式 性质 等比数列

a n n?n ? 1? Sn ? na1 ?q ? 1时?;1 ?1 ? q ? ? a1 ? an ? q ?q ? 1 Sn ? ?a1 ? an ? ? na1 ? d 1? q 1? q 2 2 2
n

an ? a1 ? ?n ?1?d ? am ? ?n ? m?d

an ? a1 ? qn?1 ? am ? qn?m

am ? an ? a p ? aq ? 2am?n
an?1 ? an ? 常数
2

am ? an ? a p ? aq ? am?n
an?1 ? 常数 an
2

判断

q≠0,an≠0
① 常见递推类型 及方法

逐差累加法

2 等差中项: an?1 ? an ? an?
等比中项: 2 a
n?1

an?1 ? an ? f?n ?

逐商累积法
? q ? 构造等比数列 an ? ? ? p ? 1? ?

a ② n?1 ? f ?n ? an an?1 ? pan ? q ③


? an ? an?2

pan?1an ? an ? an?1

构造等差数列
化为

1 1 ? ? p a n ?1 an

n ⑤ an?1 ? pan ? q

an?1 p an ? ? n?1 ? 1转化为③ qn q q

上一页

公式法:应用等差、等比数列的前n项和公式 倒序相加法
自然数的乘方和公式:
n 1 1 n?n ? 1? ? k 2 ? n?n ? 1??2n ? 1? ; k ?1 k ?1 2 6 2 n ?1 ? ? k 3 ? ? n?n ? 1?? k ?1 ?2 ?

退出

常见的求和方法 数列应用

分组求和法 裂项相消法 错位相减法

?k ?

n

基本性质 不等关系与不等式 比较大小问题 求解范围问题 一元二次不等式及其解法 借助二次函数图象, 利用三个“二次”间的关系

作差或作商

第 五 部 分 不 等 式
不 等 式

二元一次不等式(组)与平面区域 可行域 简单的线性规划问题 目标函数 应用题 一次函数z=ax+b y ?b z 构造斜率:? x?a 构造距离 z ?

几何意义:z是直线 ax+by-z=0在x轴截距 的a倍,y轴上截距的 b倍.

?x ? a ?2 ? ? y ? b ?2

基本不等式 a?b ab ? 2

最值
变形

和为定值,积有最大值;积为定值,和有最小值.“一正二定三相等”

2ab a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? a?b 2 2

一元一次:ax>b 一元二次不等式

分a>0,a<0,a=0(b≥0,b<0)讨论
分a>0,a<0, Δ>0, Δ=0, Δ<0讨论 x系数化为正,“穿根法”,奇穿偶不穿
f ?x ? f ?x ? ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0; ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0且g ?x ? ? 0 g ?x ? g ?x ?
f ?x ? ? g ?x ? ? ? g ?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? f ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ?或f ? x ? ? ? g ? x ? f ?x ? ? g ?x ? ? f ?x ? ? g ?x ?
2 2

ax2+bx+c>0(a≠0)
上一页 解不等式 退出 解不等式组 一元高次不等式

?x ? x1 ??x ? x2 ?? ? ? ?x ? xn ? ? 0?? 0?
分式不等式 绝对值不等式

指数对数不等式

利用性质转化为代数不等式, 底数a的讨论

形如 x ? a ? x ? b ? c,可分段讨论或用 绝对值几何意义求解 .

第 六 部 分 立 体 几 何 与 空 间 向 量

结构 简单组合体的结构特征

柱、锥、台、球的结构特征

空间几何体

三视图 直观图 表(侧) 面积体积 点与线 点与面

三视图

长对正,高平齐,宽相等

S圆台 ? ? ?r ' 2 ? r 2 ? r 'l ? rl ?; V圆台 ? 1 ' s ? s ' s ? s ? h; 3 4 S 球 ? 4?R 2;V球 ? ?R 3; 3

直观图(斜二侧画法) 平行投影和中心投影

?

?

?或 ? 点在直线上或点不在直线上,
点在面内或点不在面内, 共面直线 异面直线 相交 线在面外 线在面内 相交 相交 平行

?或 ?
只有一个公共点 没有公共点 只有一个公共点 没有公共点

平面三公 理及推论

线与线

l ?? ? A

空间点、直 线、平面的 位置关系

线与面

平行

l ??

l // ?

面与面

平行

? ?? ?l ? // ?
线线 平行 线线 垂直 线面 平行 面面 平行 面面 垂直

上一页 平行关系的 相互转化 退出 垂直关系的 相互转化 线面 垂直

第 六 部 分 立 体 几 何 与 空 间 向 量

异面直线所成的角

范围;

?0 ,90 ?
0 0

空间的角

直线与平面所成的角

范围;

?0 , 90 ?
0 0 0

二面角 点到平面的距离

范围;

?0 ,180 ?
0

空间的距离

直线与平面所成的距离 平行平面之间的距离

相互之间的转化

? ? a ?b cos ? ? ? ? ; a?b ? ? a?n sin ? ? ? ? ; a?n ? ? n1 ? n2 cos ? ? ? ? ; n1 ? n2 ? ? a?n d? ? . n

A

l

a’ a

b θ

? ? n a
?
O

θ
直线与平面所成的角

?2? ?1
C
A

B

异面直线所成的角

cos?2 ? cos?1 ? cos?

上一页

B C

O

D

退出

二面角

垂线法
利用三垂线定理作出平面 角,解直角三角形求角

垂面法
通过做二面角的棱的垂面, 两条交线所成的角即为平面角

射影法
二面角?的大小为cos?= S`÷ S

第 六 部 分 立 体 几 何 与 空 间 向 量

共线向量 定理 空间向量的 加减运算 空间向量的 共面向量 定理

? ? ? ? a // b ? a ? ?b ?? ? R ?或 ? ? OP ? OA ? ta ?t ? R,a 为l方向向量 ?

? ? ? ? ? ? ? ? p与a,b 共面 ? p ? xa ? yb a,b 不共线

?

?

或 AP ? x AB ? y AC或OP ? OA ? x AB ? y AC

空间向量
及其运算

数乘运算 空间向量的 数量积运算 空间向量的 坐标运算

空间向量 基本定理 平行与垂 直的条件 向量夹角

? xOA ? yOB ? z OC ?其中x ? y ? z ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 空间任一向量 p ? xa ? yb ? zc a,b ,c 不共面

?

推论:设 OABC 是不共面四点,则对任 一点P有 OP ? xOA ? yOB ? zOC ? x,y,z ? R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a // b ? b ? ?a a ? 0, ? ? R ; a ? b ? a ? b ? 0 ? ? a ?b ? ? cos a , b ? ? ? ? ?坐标表示 ? a?b

空 间 向 量 与 立 体 几 何
立体几何中 的向量方法

?

?

向量距离 直线的方向向量与法向量 向量法证两直线平行与垂直 求空间角 求空间距离

AB ? AB ?

上一页

退出

? n ? MP 点到平面的距离: d ? ? n

? ? n 为平面?的法向量, ? ? ? ? M ?? , P ?? ? ? ? 线面距、面面距都可转 化为点面距.

? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ?z 2 ? z1 ? ? ? a ?b 1.求异面直线的夹角 ? : cos? ? ? ? a?b ? ? a,b 为方向向量 ; ? ? a?n 2.直线与平面的夹角 ? : cos? ? ? ? a?n ? ? ?a为直线方向向量, n为平面法向量 ?; ? ? n1 ? n2 3.二面角 ? : cos? ? ? ? n1 ? n2 ? ? ?n1,n2为两平面法向量 ?.
2 2 2 2 2

?x

?

?

倾斜角与斜率

倾斜角α[00,1800) 和斜率k=tanα的变化 点斜式:y ? y0 ? k ?x ? x0 ?

第 七 部 分 解 析 几 何
直 线 的 方 程

斜截式:y 直线方程 两点式: 截距式:

? kx ? b

y ? y1 x ? x1 ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ? y 2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ? 1 a ? 0, b ? 0 a b Ax 一般式: ? By ? C ? 0? AB ? 0?
两直线平行 平面内两条 位置关系 两直线相交 两直线斜交 两直线重合 点点距 点线距 线线距
P P2 ? 1

?

?

注意(1)截距可 正,可负,也可 为0;(2)方程 各种形式的变化 和适用范围.

k1 ? k2,且b1 ? b2.或A1B2 ? A2 B1且A1C3 ? A2C1.
两直线垂直

k1 ? k2 ? ?1或A1 A2 ? B1B2 ? 0. k1 ? k2或A1B2 ? A2 B1.

k1 ? k2,且b1 ? b2.或A1B2 ? A2 B1且A1C3 ? A2C1.

?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 .
A2 ? B2
C1 ? C2 A2 ? B 2

距离

d?
d?

Ax0 ? By0 ? C

上一页

两直线夹角
退出

tan? ?

0 900 ? k1 ? k2 AB ? A B ? ? ? 0 , ? ? 1 2 2 1 .? 1 ? k1k2 A1 A2 ? B1B2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ? ? ?

?

?

第 七 部 分 解 析 几 何
圆 的 方 程

标准方程: 圆的方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 一般方程: x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)

以AB为直径圆方程:

?x ? x1 ??x ? x2 ? ? ? y ? y1 ?? y ? y2 ? ? 0
二元二次方程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件是:
2

2 点在圆内 ? d ? r ? ?x0 ? a? ? ? y0 ? b? ? r 2

点和圆的 位置关系

2 点在圆上 ? d ? r ? ?x0 ? a? ? ? y0 ? b? ? r 2 2 2 点在圆外 ? d ? r ? ?x0 ? a? ? ? y0 ? b? ? r 2 2

A?C ?0 ? ? B?0 ? 2 ?D ? E 2 ? 4 F ? 0 ?

相离 直线和圆的 位置关系 相切 相交 相离 圆和圆的位 置关系 相切 相交

? ? 0,或 d ? r ? ? 0,或 d ? r ? ? 0,或 d ? r

弦长公式:代数法: ? 1 ? k 2 x1 ? x2 AB ? 1? k 2

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1x2

几何法: ? 2 r 2 ? d 2 AB

(1)利用两圆方程组解的个 数是0,2; 1, (2) r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交; d ? r1 ? r2 ? 外切;d ? r1 ? r2 ? 内切; d ? r1 ? r2 ? 外离;? d ? r1 ? r2 ? 内含. 0
空间两点间距离、中点坐标公式

上一页 空间直角坐标系 退出

几种常见的直线系:
(1)共点P? x0,y0 ?直线系: y ? y0 ? k ( x ? x0 );特殊地 y ? kx ? b表示过点(0,b)的直线系,不包括 y轴. (2)平行直线系: y ? kx ? b(k为参数 )表示斜率为 k的平行直线系; Ax ? By ? ? (?为参数 )表示与已知

第 七 部 分 解 析 几 何

?? (3)过两直线交点的直线系 : 为参数 ?A1 x ? By1 ? C1 ? ? ? A2 x ? By 2 ? C2 ? ? 0?不包括 l2 ?;
A2 x ? By 2 ? C2 ? ? ? A1 x ? By1 ? C1 ? ? 0?不包括 l1 ?.

Ax ? By ? C ? 0平行的直线系; Bx ? Ay ? ? (?为参数 )表示与已知 Ax ? By ? C ? 0垂直的直线系.

几种常见的圆系:
? D,E为常数,F为参数, ? 2 ? ?x 2 (1)同心圆系: ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ?a,r为参数?或x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0? ? 且D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 ? ? ?
2

?x (2)圆心在x轴上的圆系: ? a ? ? y 2 ? r 2 ?a,r为参数?或x 2 ? y 2 ? Dx ? F ? 0 D,F为参数,且D 2 ? 4 F ? 0 ;
(3)圆心在x轴上的圆系: 2 ? ? y ? b ? ? r 2 ?b,r为参数?或x 2 ? y 2 ? Ey ? F ? 0 E,F为参数,且E 2 x
2

?

?

? ? 4 F ? 0? ;

?x (4)过原点的圆系: ? a ? ? ? y ? b ? ? a 2 ? b 2或x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? 0;
2 2

或x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? ? x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0?不含C1 ?.(其中?为参数)
上一页

(5)过两已知圆交点的圆系 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0?不含C2 ?; :

?

?

?

?

直线与圆锥曲线的位置关系:
? Ax ? By ? C ? 0 1.直线l:Ax ? By ? C ? 0,二次曲线 C: 的位置关系:交点个数 与方程组有几组解一一 对应, ? ? f ? x, y ? ? 0 其交点坐标就是方程组 的解;.弦长: ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ?k为直线l的斜率 ? 2 AB xx y y xx y y 3.椭圆上M ?x0 , y0 ?点处的切线为: 02 ? 02 ? 1;.双曲线上 M ? x0 , y0 ?点处的切线为: 0 2 ? 02 ? 1 4 a b a b

退出

第 七 部 分 解 析 几 何

求曲线的方程 曲线与方程 纯粹性与 完备性 画方程的曲线 求两曲线的交点

轨迹方程的求法:直接法、 定义法、相关点法、参数法

圆 锥 曲 线

椭圆 双曲线 抛物线

定义及标准方程 几何 性质 相交 弦长

范围、对称性、顶点、焦点、 长轴(实轴)、短轴(虚轴) 渐近线(双曲线)、准线、 离心率。(通径、焦半径)

直线与圆锥曲 线的位置关系

相切 相离

上一页

对 称 性 问 题

中心对称

曲线f ?x,y ? ?关于点?a??? ?曲线f ?2a ? x,b ? y ? ?? ,b 对称 ? 2
点?x1,y1 ?与点?x2,y2 ?关于 直线Ax ? By ? C ? 0对称
y1 ? y2 ? x1 ? x2 ?A? 2 ? B ? 2 ? C ? 0 ? ? y2 ? y1 ? A ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? x2 ? x1 ? B ? ?

点?x0,y0 ? ?关于点?a??? ?点?2a ? x0,b ? y0 ? ?? ,b 对称 ? 2

轴对称

退出

定 义 标准方程 图 形

MF1 ? MF2 ? 2a?常数 2a ? F1 F2 ? 2c ?
y2 x2 x2 y 2 2 2 x2 ? ? 1?a ? b ? 0 ? ? 2 ? 1?a ? b ? 0? a ? b时椭圆变成圆, ? y ? a a2 b2 a2 b y y M(x0,y0) M(x0,y0) F2 x F1 o F2 x F1

圆 锥 曲 线

中 心 顶 点

?0,0?
?? a,0?, ?0,?b? ?? c,0?
x轴,y轴;原点

?0,0?
?0,?a?, ?? b,0? ?0,?c?
x轴,y轴;原点

上一页

--------

焦 点 对称轴
范 围

椭 圆

? a ? x ? a;?b ? y ? b
a2 x?? c

? b ? x ? b;?a ? y ? a
a2 y?? c

准线方程 焦半径 离心率 长轴短轴

MF1 ? a ? ex0 ; MF2 ? a ? ex0 MF1 ? a ? ey0 ; MF2 ? a ? ey0 c e ? ?0 ? e ? 1, 其中c 2 ? a 2 ? b 2 ? e ? 1, 椭圆越扁; ? 0, 越圆 e a
2a叫做椭圆的长轴,a叫做长半轴长; 2b叫做椭圆的短轴,b叫做短半轴长;
2 过焦点垂直于长轴的椭圆的弦。通径长= 2b

退出

通 径

a

特别提示:2a ? 2c时,轨迹是线段; ? 2c时,轨迹不存在; 1. 2a 2.焦点弦 AB ? AF1 ? BF1 ? 2a ? e?x1 ? x2 ?;椭圆的焦点永远在长轴 . 3. 上;

定 义 标准方程 图 形

MF1 ? MF2 ? 2a?常数2a ? 2c ? F1 F2 ?
x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? a2 b2
y M (x0,y0)

y2 x2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? a2 b2 y F2
M (x0,y0)

F1

圆 锥 曲 线

O

F2

中 心 顶 点

?0,0?
?? a,0? ?? c,0?

x

x

0

x

?0,0?
?0,?a? ?0,?c?
x轴,y轴;原点

F1

上一页

--------

焦 点 对称轴
范 围 准线方程 焦半径

双 曲 线

x轴,y轴;原点

x ? a, y ? R
x?? a c
2

y ? a, x ? R
y?? a2 c

M在右支上: 1 ? ex0 ? a; MF2 ? ex0 ? a; MF

M在上支上: 1 ? ey0 ? a; MF2 ? ey0 ? a; MF

渐近线
实轴虚轴

M在下支上: 1 ? ?(ey0 ? a ); MF2 ? ?(ey0 ? a ) MF M在左支上: 1 ? ?(ex0 ? a); MF2 ? ?(ex0 ? a) MF b a y?? x y?? x a b 2a叫做双曲线的实轴,a叫做实半轴长; 2b叫做双曲线的虚轴,b叫做虚半轴长;

退出

离心率

e?

c ?e ? 1, 其中c 2 ? a 2 ? b2 ? a

e>1,越大,e双曲线开口越大,e越小开口越小。

特别提示:2a ? 2c时,M点的轨迹是两条射线;a ? 2c时轨迹不存在;.双曲线焦点永远在实轴 上; 1. 2 2 3.等轴双曲线方程: x 2 ? y 2 ? a 2或y 2 ? x 2 ? a 2 , 其中e ? 同渐近线,四个焦点共 圆,且 x2 y2 y2 x2 2 , 渐近线y ? ? x;4.共轭双曲线: 2 ? 2 ? 1与 2 ? 2 ? 1 , a b b a

1 1 ? 2 ? 1;5.若直线与双曲线只有一 个交点,则直线与双曲 线相切或直线与渐近线 平行。 2 e1 e2

定 义 标准方程

平面与定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。即

MF ? d

y 2 ? 2 px? p ? 0? y 2 ? ?2 px? p ? 0?
y
M(x0,y0)

x 2 ? 2 py? p ? 0?
y M(x0,y0) x

x 2 ? 2 py? p ? 0?
y l O F M(x0,y0)

y M(x0,y0)
F O l x l

简 图

圆 锥 曲 线

O F l

x

F O

x

焦 点 顶 点 准线方程 通径端点 对称轴 范 围 焦半径

?p ? ? ,0 ? ?2 ?

? p ? ? ? ,0 ? ? 2 ?

? p? ? 0, ? ? 2?

p? ? ? 0,? ? 2? ?

上一页

--------

?0,0?
x??

?0,0?
x?

?0,0?
y??

?0,0?
y?

抛 物 线

?p ? ? ,? p ? ?2 ?

p 2

? p ? ? ? ,? p ? ? 2 ?

p 2

p? ? ? ? p, ? 2? ?

p 2

p? ? ? ? p, ? ? 2? ?

p 2

x轴
x ? 0, y ? R
MF ? x0 ? p 2

x轴
x ? 0, y ? R
MF ? p ? x0 2

y轴
y ? 0, x ? R
MF ? y0 ? p 2

y轴
y ? 0, x ? R
MF ? p ? y0 2

离心率
退出

e ?1

特别提示:1.抛物线定义中定点F不能在定直线l上,否则轨迹是过定点且垂直于l的直线;
2.p的几何意义是焦点到准线的距离,p越大,抛物线开口越大;3.直线与抛物线只有一个 公共点时,则直线与抛物线相切或直线与抛物线对称轴平行或重合。

第 八 部 分 排 列 、 组 合 、 二 项 式 定 理 、 推 理 与 证 明

分类加法计数原理 两个原理 分步乘法计数原理

N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn
Anm ? n?n ? 1??n ? 2 ? ? ? ? ?n ? m ? 1? ? n! ?n ? m ?!
规定: ? 1 0!

计 数 原 理

选择排列公式 排列 全排列公式

Ann ? n?n ? 1??n ? 2? ? ? ? 3 ? 2 ?1 ? n! Anm n! m ? m Cn ? 公式 m!?n ? m ? Am !
性质 两个 Cn 性质: m C
m

组合

组合数公式

? Cnn?m ? Cnm ? Cnm?1

二 项 式 定 理

n ?1

通项公式 二项式系 数性质

r Tr ?1 ? Cn an?r br

距首末等距离的两项的二项式系数相等
0 1 2 n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 2 n ; 1 3 5 0 2 4 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? 2n?1.

合情推理

类比推理 归纳推理

猜想 大前提、小前提、结论 由因导果 执果索因 反设,证矛盾,下结论 退出 上一页

推 理 与 证 明

推理 演绎推理 直接证明

三段论 综合法 分析法

证明

间接证明 数学归纳法

反证法

验初值,证递推,结论

概率的基本性质

互斥事件

对立事件

独立事件

P? A ? B? ? P? A? ? P?B?

第 九 部 分 概 率 与 统 计
概 率 与 统 计

古典概型 概 率 条件概率

P? A ? B? ? P? A? ? P?B?
P?B A? ? P? A ? B ? P ? A?

P?A ? ?1 ? P? A?
两点分布 二项分布 超几何分布

n次独立重复试验恰好 发生k次的概率: Pn ?k ? ? Cnk p k ?1 ? p ?
n?k

离散型随机变量的分布列 随机 变量 期望、方差 正态分布

X ~ B?1,p ?;E?x ? ? p;D?x ? ? p?1 ? p ? X ~ B?n,p?;E?x? ? np;D?x? ? np?1 ? p?
k n C M C N? kM ? P? X ? k ? ? ; n CN

若Y ? aX ? b,则 E ?Y ? ? aE? X ? ? b; D?Y ? ? a 2 D? X ?.
随机抽样

密度曲线及 3 σ 原则 抽签法 共同特点:抽样 过程中每个个体 被抽到的可能性 (概率)相等.

简单随机抽样 系统抽样 分层抽样

随机数表法

E ? X ? ? ? xi pi ;
i ?1 n

n

D? X ? ? ? ? xi ? EX ? pi .
2 i ?1

频率分布表和频率分布直方图 样本频率分布估计总体 统 计 用样本估 计总体 样本数字特征估计总体 总体密度曲线 茎叶图 期望、方差及标准差 众数、中位数和平均数

上一页

变量间的相关关系

两个变量的线性相关

散点图
n

线性回归

退出 独立性 检验

线性回归方程:? a ? b x;线性相关系数: ? y r

?

?

?

? ?x ? x ?? y
i ?1 i n 2 n i ?1 i i ?1

i

? y? ;
i

? ?x ? x ? ? ? y

? y?

2

r ? 0时,两变量正相关, ? 0,则负相关;越接近1,线性相关越强,越接 0,则越弱 r r 近 .

数系的扩充 复数的分类 复数的概念 复数相等 共轭复数

共轭复数的性质:
实数 虚数 纯虚数

设z ? a ? bi,z ? a ? bi(a,b ? R)则 (1) z ? z; (2) z ? z ? z为实数; (3) z ? ? z且z ? 0 ? z为纯虚数; 1 (4) z ? ? z ? 1; z (5) Z1 ? Z 2 ? z1 ? z2; (6) Z1 ? Z 2 ? z1 ? z2; ?Z ? z (7)? 1 ? ? 1 ( z2 ? 0); ?Z ? z 2 ? 2?
n

提示:虚数不能比较大小;

第 十 部 分 复

模 z ? a 2 ? b2

复 数
复数的运算

复数的加法 复数的减法 几何意义及 性质应用

复数的乘法
复数的除法

(8) z n的共轭 ? ?z ? (n ? N ? ).
一一对应

复数的向量表示

复数z=a+bi

复平面内的点Z(a,b)


平面向量

OZ
复数模的运算性质:设1、z2 ? C有 z (1) z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? z1 ? z2 ; (2) z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? 2 z1 ? 2 z2 ;
2 2 2 2

1 3 结论:)设? ? ? ? (1 i,则有? 2 ? ?, 2 2
上一页
2 2

? 3 ? 1,? ?? ? ? ? ? ? 1,? ? ? ? 2 ? 0 ? ? n ? ? n?1 ? ? n?2 ?n ? N ?; 1
1 1 1? i 1? i 1? i ?1 (2)?1 ? i ? ? ?2i; ? i ??1 ? i ? ? 2; ? ?i; ? ; ? i; ? ?i; i 1? i 2 1? i 1? i ? 4n 4 n ?1 4 n? 2 4 n ?3 (3)如果n ? N ,有i ? 1;i ? i;i ? ?1;i ? ?i;
2

退出

(3) z1 z2 ? z1 z2 ; ) (4
n

(4)复平面内两点Z1、Z 2间距离d ? z2 ? z1 ? ? x2 ? y2i ? ? ? x1 ? y1i ? ? ?x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?i ; (5)圆的方程:? z0 ? r ?r ? 0?; )线段EF中垂线方程:? z1 ? z ? z2 ; z (6 z (7)椭圆方程:? z1 ? z ? z2 ? 2a; )双曲线方程:? z1 ? z ? z2 ? 2a. z (8 z

(5) z n ? z n ? N ? ; ) z ? z ? z ? z . (6
2 2

?

?

z z1 ? 1; z2 z2

算法的概念

算法特征:概括性、逻辑性、 有穷性、不唯一性、普遍性 程序框图 算法的基本 逻辑结构

循环体
顺序结构 条件结构 循环结构

第 十 一 部 分 算 法

算法的基本思想 和程序框图 算法的概念

循环体 否

满足条件?

满足条件?
否 当型



是 直到型


算法基本语句

输入、输出语句 赋值语句

INPUT“提示内容”;变量 PRINT“提示内容”;表达式 变量=表达式 IF 条件 THEN 语句体 END IF IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF



条件语句 循环语句

DO WHILE 条件 循环体 循环体 LOOP UNTIL 条件 WEND (直到型) (当型) 辗转相除法与 更相减损术 求最大公约数

上一页

算法案例

秦九韶算法
进位制

? ?? ??a0 x ? an?1 ?x ? an?2 ?x ? ? ? a1 ?x ? a0 求值时,从里到外计算 :v1 ? an x ? an?1; v2 ? v1 x ? an?2 ; v3 ? v2 x ? an?3 ? vn ? vn?1 x ? a0

f ? x ? ? an x n ? an?1 x n?1 ? ? ? a1 x1 ? a0

退出

k进制化十进制: an an?1 ? a1a0 ? k ? ? an ? k n?1 ? an?1 ? k n?2 ? ? ? a1 ? k ? a0 ; 十进制化k进制:除k取余法。


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