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2016年高考数学二轮复习分类与整合思想——求解数学问题最简便的技巧 -课件_图文

?第二部分 提能增分篇 突破一 数学思想方法的贯通应用 第3讲 分类与整合思想——求解数学 问题最简便的技巧 1.分类与整合思想的含义 所谓分类整合,就是当问题所给的对象不能进行统一研究 时, 我们就需要对研究的对象进行分类, 然后对每一类分别研究, 得出每一类的结论,最后综合各类的结果获得问题的解决,实质 上分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的策略. 应用分类讨论解题的一般步骤是: (1)明确讨论对象,确定对象的范围; (2)确定分类标准,进行合理分类,注意做到不重不漏; (3)逐类讨论,获得阶段性结果; (4)整合讨论. 2.中学数学中常见的引起分类讨论的原因 (1)由数学概念引起的分类.有的数学要领就是分类给出的, 如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等定义中包括了分 类.有的概念在定义时,明确了范围,也将引起讨论,如两直线 所成的角、直线与平面所成的角、二面角、向量的夹角等. (2)由性质、定理及公式引起的分类讨论.有的性质、定理及 公式是分类给出的,在不同的条件下有不同的结论,或在一定的 限制条件下才成立的,如等比数列的前 n 项和公式、指数函数和 对数函数的性质等. (3) 对于含有参数的问题要对参数的允许值进行全面的讨 论.这类题首先根据题目条件确定参数的取值范围,然后再由概 念去分类或由变形所需要的条件去分类或由运算性质、定理分 类,逐段讨论求解. (4)由变形所需要的限制条件引起的分类.如等式两边乘以 (或除以)一个代数式时,要考虑这个代数式是否为零;不等式两 边同乘(除)以一个代数式时,要考虑这个代数式的正、负情况; 将一个指数(或对数)不等式化为整式不等式时要分底数 a>1 和 0<a<1 等等.解决这类问题的关键是找出分类的动机,以及分 类的对策,即为什么分类,怎样分类. (5)由图形引起的分类讨论.有的图形的类型、位置关系要讨 论,如点、线、面的位置关系,圆锥曲线的类型分类等. 一、数学概念与运算引起的分类讨论 [典例 1] 函数 2 ? ?sin?πx ?,-1<x<0, f(x)=? x-1 ? ?e ,x≥0. 若 f(1)+f(a)= 2,则 a 的所有可能值为________. 2 答案:1 或- 2 解析:f(1)=e0=1,即 f(1)=1. 由 f(1)+f(a)=2,得 f(a)=1. 当 a≥0 时,f(a)=1=ea-1,∴a=1. 当-1<a<0 时,f(a)=sin(πa2)=1, π ∴πa =2kπ+2(k∈Z). 2 1 1 2 ∴a =2k+2(k∈Z),k 只能取 0,此时 a =2. 2 2 2 ∵-1<a<0,∴a=- 2 .故 a=1 或- 2 . 名师说法 (1)分段函数在自变量不同的取值范围内, 对应关系不同, 必 需进行讨论.由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决 定,解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延. (2)在数学运算中, 有时需对不同的情况作出解释, 就需要进 行讨论,如解二次不等式涉及到两根的大小等. [即时应用] 1.在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y).若对任意 x>2,不等 式(x-a)?x≤a+2 都成立,则实数 a 的取值范围是( A.[-1,7] C.(-∞,7] B.(-∞,3] D.(-∞,-1]∪[7,+∞) ) 答案:C 解析:由题意得不等式(x-a)?x≤a+2 化为(x-a)(1-x)≤a +2, 化简得 x2-(a+1)x+2a+2≥0, 故原题等价于 x2-(a+1)x+2a+2≥0 在(2, +∞)上恒成立. 由二次函数 f(x)=x2-(a+1)x+2a+2 的图象知,其对称轴 ?a+1 ? a+1 ≤2, 2 ? 为 x= 2 , 讨论得 ? ?f?2?≥0 或 3<a≤7.综上可得 a≤7. ? ?a+1>2, ? 2 或? ? ? ?a+1? ? f ≥0, ? ? ? 2 ?? ? 解得 a≤3 二、由图形或图象位置不同引起的分类讨论 [典例 2] 已知动圆过定点 P(1,0),且与定直线 l:x=-1 相 切,点 C 在 l 上. (1)求动圆圆心的轨迹 M 的方程; (2)设过点 P,且斜率为- 3的直线与曲线 M 相交于 A,B 两点. ①问△ABC 能否为正三角形?若能,求点 C 的坐标;若不 能,说明理由; ②当△ABC 为钝角三角形时,求这时点 C 的纵坐标的取值 范围. 解:(1)依题意,曲线 M 是以点 P 为焦点,直线 l 为准线的 抛物线,所以曲线 M 的方程为 y2=4x,如图. (2)①由题意得,直线 AB 的方程为 y=- 3(x-1). ? ?y=- 联立? 2 ? ?y =4x 3??x-1??, ? ? 消去 y,得 3x2-10x+3=0, 3), 解得 ?1 2 3? ? A? , ?3 ?,B(3,-2 3 ? ? 设 C(-1,y),若△ABC 能为正三角形,则|AC|=|AB|=|BC|, ?2 3 ? ?1 ? ? 1?2 ? ? ? ? 2 2 ? +1? +? ? ? 3 - = + - y ? ?2 3 3 ?3 ? ? ? ? ? ? 2 3? ? 3+ 3 ?2,① ? (3+1) +(2 3+y) 2 2 ? 1?2 ? =?3-3? +? ?2 ? ? ? 2 3? ? 3+ 3 ?2.② ? 14 3 14 3 解得 y=- 9 .但 y=- 9 不符合(1), 所以①②组成的方 程组无解. 因此直线 l 上不存在点 C 使△ABC 是正三角形. ②设 C(-1,y)使△ABC 成钝角三角形, 由 y=- 3(x-1)与 x=-1 联立,解得 y=2 3,即当点 C 的坐标为(-1,2 3)时,A,B,C 三点共线,故 y≠2 3. 又|AC| 2 ? 1?2 ? 2 3? ?

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