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全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高一) Word版含答案


2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案 (高一年级) 说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档;解答题的评阅,只 要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ) 1.已知集合 A ? {x | x ? a}, B ? {x | x ? b}, a, b ? N,且 A ? B ? N ? {1} ,则 a ? b ? 1 . [来源:学+ 科+网] 2. 已知正项等比数列 {a n } 的公比 q ? 1 , 且 a 2 , a 4 , a 5 成等差数列, 则 a1 ? a 4 ? a 7 ? a3 ? a6 ? a9 3? 5 . 2 3.函数 f ( x) ? x ?1 的值域 为 [0, x ? 4x ? 7 2 6 ]. 6 1 . 3 4.已知 3 sin2 ? ? 2 sin2 ? ? 1 ,3(sin? ? cos? ) 2 ? 2(sin ? ? cos ? ) 2 ? 1,则 cos 2(? ? ? ) ? ? 5.已知数列 {a n } 满足: a 1 为正整数, [来源:学+科+网 Z+X+X+K] ? an ? , a n 为偶数, a n ?1 ? ? 2 ? ?3a n ? 1, a n 为奇数, 如果 a1 ? a 2 ? a 3 ? 29 ,则 a1 ? 5 . 6.在△ ABC中,角 A, B, C 的对边长 a, b, c 满足 a ? c ? 2b ,且 C ? 2A ,则 sin A ? 7 . 4 7.在△ ABC 中, AB ? BC ? 2 , AC ? 3 .设 O 是△ ABC 的内心,若 AO ? p AB ? q AC , 则 3 p 的值为 . q 2 [来源:学_科_网] 5 5 5 ? x2 ? x3 8.设 x1 , x 2 , x3 是方程 x 3 ? x ? 1 ? 0 的三个根,则 x1 的值为 -5 . [来源:学*科*网] 二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分) 9 .已知正项 数列 {a n } 满足 2 an an ?1 ? an an ? 2 ? 4 an an ? 1 ? an ? 1 ? 3 an an ? 1 且 a1 ? 1 , a2 ? 8 ,求 {a n } 的通项公式. 解 在已知等式两边同时除以 a n a n ?1 ,得 1 ? a n?2 a ? 4 1 ? n ?1 ? 3 , a n ?1 an 所以 分 1? an ? 2 a ? 1 ? 4( 1 ? n ?1 ? 1) . an ?1 an ------------------------------------------4 令 bn ? 1 ? 列 a n ?1 ? 1 ,则 b1 ? 4, bn ?1 ? 4bn ,即数列 {b n } 是以 b1 =4 为首项,4 为公比的等比数 an , 所 以 bn ? b1 ? 4 n?1 ? 4 n . ------------------------------------------8 分 所以 1 ? 分 于是,当 n ? 1 时, a n ? [(4 n?1 ?1) 2 ? 1]a n?1 ? [(4 n?1 ?1) 2 ?1] ? [(4 n?2 ? 1) 2

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