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2010体育单招数学考卷及答案


2010 年全国体育专业单独统一招生考试





一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 6 分,共 60 分。
(1)已知集合 M={x|- (A)? (2)函数 y= (B) {0}
1 4 - x2

3 3 <x< } ,N={x|x=2n,n∈Z} ,则 M∩N= 2 2





(C) {-1,1}

(D) {-1,0,1} ( )

+ x ? 1 +2 的定义域是 (B) (-2,1) (C) (-1,2)

(A) (-2,1]

(D) (-1,2)

(3)已知直线 4x-3y-12=0 与 x 轴及 y 轴分别交于 A 点和 B 点,则过 A,B 和坐标原点 O 的圆的圆心坐标是
3 (A) ,-2 ) ( 2 3 (C) (- ,2) 2 3 ,2) 2 3 (D) (- ,-2) 2

( (B) (



(4)已知a∈(0,π) ,tan a=-2,则 sin a+cos a = (A) 3 5 5

( (D)
5 5



(B)

3 3 5

(C) -

5 5

(5)等差数列{an}中,a1=2,公差 d=- (A)5 (B)9 (C)13

1 ,若数列前 N 项的和 Sn=0,则 N= 2





(D)17 ( )

(6)函数 y=| log2(1-x)|的单调递增区间是 (A) (-∞,0) (B) (2,+ ∞) (C) (1,2) (D) (0,1)

(7)下面是关于两条直线 m,n 和两个平面 a,β(m,n 均不在 a,β 上)的四个命题: P1:m//a,n//a=>m//n, P3:m//a.n//β,a //β=>m//n, (A)P1 ,P3 (B)P1 ,P4 p2:m//a,a//β=> m//β, p4:m//n,n⊥β. M⊥a=a//β,其中的假命题是 (C)P2 ,P3 (D)P2 ,P4 ( )

2010

1

x2 y2 (8)P 为椭圆 ? ? 1 上的一点,F1 和 F2 为椭圆的两个焦点,已知 PF1 ? 7 ,以 P 为中 25 16

心, PF2 为半径的圆交线段 PF1 于 Q,则 (A) 4F1Q - 3QP ? (C) 3F1Q - 4QP ?





0 0

(B) 4 F1Q ? (D) 3F1Q ?

3QP ? 0 4QP ? 0

(9)有下列三个不等式: ① x-1<(x-1)2, ② log 1 (x-1)>2log 1 (x-1),
2 2



4x<2x+1,其中





(A)①和②的解集相等 (C)①和③的解集相等

(B)②和③的解集相等 (D)①,②和③的解集各不相等

(10) 篮球运动员甲和乙的罚球命中率分别是 0.5 和 0.6, 假设两人罚球是否命中相互无影响, 每人各次罚球是否命中也相互无影响,若甲、乙两人各连续 2 次罚球都至少有 1 次未命中的 概率为 P,则 (A)0.4<p≤0.45 (C)0.50<p≤0.55 (B)0.45<p≤0.50 (D)0.55<p≤0.60 ( )

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 8 分,共 36 分。
(11)已知(x-2)4+3(x-2)3-2(x-2)=a4x4+ a3x3+ a2x2+ a1x+a0,则 a0= (12)a,b 为平面向量,已知|a|,|b|=2,a 与 b 夹角为 120° ,则|2a+b|= (13) n}是各项均为正数的等比数列,已知 a3=12,a3+a4+a5=84,则 a1+a2+a3= {a (14)若双曲线的两条渐近线分别为 x+2y=0,x-2y=0,它的一个焦点为(2 曲线的方程是 (15)4 位运动员和 2 位教练员排成一排照相,若要求教练员不相领且都不站在两端,则可 能的排法有 种, (写出数学答案)

5 ,0) ,则双

(16)已知一个圆锥的母线长为 13cm,高为 12cm,则此圆锥的 内切球的表面积 S= cm2(轴截面如图所示)

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2

三、解答题:本大题共 3 小题,共 54 分。 (17) (本题满分 18 分)已知函数,f(x)=sin2x+2 3 sinxcosxcos2x.
(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期和最小值; (Ⅱ)y= f(x)图像的对称轴方程为 x=a,求 a 所有可能的值; (Ⅲ)若 f(x0)= ? 2 ,x0∈( ?

5 7 π, π) ,求 x0 的值。 12 12

(18) (本题满分 18 分)已知抛物线 C:y2=2px(p>0) l 为过 C 的焦点 F 且倾斜角为 a 的直 。 线,设 l 与 C 交于 A,B 两点,A 与坐标原点连线交 C 的准线于 D 点。 (Ⅰ)证明:BD 垂直 y 轴; (Ⅱ)分析 a 分别取什么范围的值时, OA 与 OB 的夹角为锐角、直角或纯角。

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3

(19) (本题满分 18 分)如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 A1C1 中点,已知 AB=BC=2, 二面角 A1-BD-C 的大小为 (Ⅰ)求 M 的长; (Ⅱ)证明:AE⊥平面 ABD; (Ⅲ)求异面直线 AE 与 BC 所成角的大小。

3π . 4

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4

数学试题参考答案和评分参考 评分说明: 1.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几中解法 供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分 参考制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未 改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该 部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再 给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 6 分,满分 60 分. (1)B (2)C (3)A (4)D (5)B (6)D (7)A (8)C (9)D (10)B 二.填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 6 分,满分 36 分. (11)-4 (13)21 (15)144 三.解答题 (17)解: (1)f(x)= 3 sin 2 x -cos2x (12)2

π2 y2 (14) - ? 1 16 4
(16)

400π 9

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5

2{

3 1 sin2x- cos2x} 2 2

=2sin{2x- } 所以 f(x)的最小正周期 T= π ,最小值为-2 (11)当 f(x)取到最大值或最小值时, 2x即

π 6

(4 分) (8 分)

π π = +k π ,k∈z 6 2
x= ?

π 3

kπ ,k∈z 3

a 所有可能的值为 a= ?

π 3

kπ ,k∈z 2

(12 分)

(Ⅱ)设 t=2x0- ,x0∈(-

π 6

5 7 ,则,t∈(- π , π ) π, π) 12 12
2 , 2

f(x0)=- 2 ,即 2sint=- 2 ,sint= 所以 t=- 和 t=- x0=-

π 4

3π 4
(18 分)

π 7π ,x0=- 24 24

(18)解: (1)已知 t 与 c 有两个交点,所以 a≠0 a∈(0 ,П) 焦点 F( ,0),设 A(x,y) B(x2,y2) 若 a≠ ,t 的斜率 K≠0,联立
? 2
p 2

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6

? y 2 ? 2 px ? ? ? ? p? ?y ? K ( x  )? ? 2 ? 2p y2 ? y ? p2 ? 0 得 k

所以 若a ?
?
2

y1 y 2 ? ? p 2


p ,不妨设 y1> ,  y 2>0 0 2

,则 x1 ? x2 ?

故有 y1 ? 2 p

p ? p , y 2 ? ? p ,故①也成立 2

由题意 x1 ? 0 ,直线 A0 方程式为 y ?

y1 x x1

C 的准线方程为 x=- ,所以 D (- , -

p 2

p 2

p py1 py ,)BD = ? - -x, - 1 -y2)2 2x 1 2x 1

py1 p2 p 2 ? y1 y2 -y2=- -y2=y1 y1 2x 1
由①式, BD 的纵坐标 0.故 BD 垂直于 y 轴。--------------------------10 分 (11) OA · OB =x1 x2 +y1y2 = y1y2( 由①式得 OA · OB =-
y1 y 2 +1) 4 p2

3 2 p 4

----------------------------14 分

又 OA · OB =︱ OA ︱︱ OB ︱cos< OA · OB >? ︱ OA ︱≠0,︱ OB ︱≠0,所以 cos< OA , OB > 0 无论 a 取(0, π )中的任何值, OA 与 OB 的夹角总为纯角。 (19)解: (Ⅰ)连结 AC 与 BD 交于点 F,F 为正方形 ABCD 的中心,所以 CF⊥BD, A1D= AA1 ? AD 2 ,A1B= AA1 ? AB 2 ,所以 A1D1=A1B.
2 2

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7

连结 A1F1,△A1BD 为等腰三角形,A1F 为其底边的中线,所以 A1F⊥BD. 故∠A1FC 为二面角 A1-BD-C 的平面角. 由已知,∠A1FC= AF= AC= ……3 分

π 3π ,所以∠A1FA= . 4 4
2

1 2

1 2

AB1 ? BC 2 = 2 ,所以 AA1= 2

…… 6 分

(Ⅱ)连结 EF,EF// AA1,所以 EF⊥平面 ABCD,故 EF⊥BD. 又 BD⊥AC,EF∩AC=F,所以 BD⊥平面 AEF,故 AE⊥BD. 四边形 A1AEF 是边长等于 2 的正方形,所以 AE⊥A1F BD, A1F 属于平面 A1BD,A1F∩BD=F,所以 AE⊥平面 A1BD. ……12 分 (Ⅲ)设 A1 B1 的中点为 G,连结 EG,AG.. EG//C1B1,所以 EG//BC。 EG⊥平面 AA1B1B,所以 EG⊥AG. ……15 分

在 Rt△AEG 中,∠EGA=90°,EG= BC=1, AG= AA1 ? AG 2 = ( 2 ) 2 ? 1 ?
2

1 2

3.

tan∠AEG=

AG ? EG

3,

所以∠AEG=60°. AE 与 BC 所成角为 60°。

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8


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