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2.3.2圆的一般方程


2.3.2圆的一般方程
中国人民大学附属中学

一.圆的一般方程
把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,展 开整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0. 在这个方程中,令D=-2a,E=-2b, F=a2+b2-r2,则这个方程可以表示成 x2+y2+Dx+Ey+F=0, ① 其中D,E,F为常数。

方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0,
这是一个二元二次方程,把它同一般的 二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 ② 比较,发现它具有两个特点: (1)x2和y2项的系数相同且不为0; (2)没有xy项。

因为所有的圆的方程都可以表示成①的 形式,所以方程①的以上两个特点就成为 二元二次方程表示圆的必须具备的条件, 利用这两个条件,我们可以判定哪些二元 二次方程的曲线肯定不是圆。 例如可以断定方程x2+2y2-2x-3y+7=0 和x2+xy+y2-3x-4y+5=0所表示的曲线都 不是圆。 那么具备这两个条件的二元二次方程 是否一定表示圆呢?

将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得
D 2 E 2 D2 ? E 2 ? 4F (x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 4



(1)当D2+E2-4F>0时,将方程③与圆 的标准方程比较,可以看出方程①表示的
D E 是以为 (? 2 , ? 2 )

圆心,

1 2 2 D ? E ? 4 F 为半径的圆; 2

(2)当D2+E2-4F=0时,方程③只有实
D E 数解 x ? ? , y ? ? 2 2 点 (? D , ? E ) 2 2

,所以方程①表示一个

(3)当D2+E2-4F<0时,方程③没有实 数解,因而方程①不表示任何图形。 因此只有当D2+E2-4F>0时,二元二 次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0才表示一个圆, 这时这个方程叫做圆的一般方程。

二.圆的一般方程的应用 1.同圆的标准方程一样,求圆的一般方 程也是用待定系数法. 由于在圆的一般方 程中含有三个参变数,必须具备三个独立 的条件才能确定出一个圆的方程; 2.如果已知曲线是圆,并且已知条件和 圆心的坐标或半径都无直接关系,此时可 设圆的一般方程再用待定系数法求出D, E,F.

例1.将下列圆的方程化为标准方程,并 写出圆的圆心坐标和半径。 (1)x2+y2+4x-6y-12=0; (2)4x2+4y2-8x+4y-15=0。 解:(1)对方程左边配方,方程化为 (x+2)2+(y-3)2=25, 所以圆心坐标为(-2,3),半径为5.
15 2 2 (2)方程两边除以4,得x +y -2x+y-
1 2 2 =0,配方得(x-1) +(y+ ) =5, 2 1

4

所以圆心坐标为(1,- ),半径为 5 2

例2.求过三点A(0,5),B(1,-2), C(-3,-4)的圆的方程。 解:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

根据题设条件将A(0,5),B(1,-2), C(-3,-4)的坐标代入方程得到关于D, E,F的三元一次方程组,
? ? ? D ? 2E ? F ? 5 ? 0 ?3D ? 4 E ? F ? 25 ? 0 ? 5 E ? F ? 25 ? 0

解这个方程组得

? D?6 ? ? E ? ?2 ? F ? ?15 ?

得到的圆的方程是x2+y2+6x-2y-15=0.

例3.已知一曲线是与两个定点O(0,0), 1 A(3,0)距离的比为 的点的轨迹,求这 2 个曲线的方程,并画出曲线。

解:在给定的坐标系中, 设M(x,y)是曲线上任 意一点, 点M在曲线上的条件是
| MO | 1 ? | MA | 2

y M Ax C O 3

由两点间距离公式,上式用坐标表示为
1 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 2 x2 ? y 2

两边平方并化简,得曲线的方程是 y 2 2 x +y +2x-3=0. M 配方得(x+1)2+y2=4, 所以曲线是圆心为(-1,0), 半径为2的圆。
C O

Ax 3

例4.已知△ABC的边AB长为2a,若BC的 中线为定长m,求顶点C的轨迹方程.
解:由题意,以AB中点为原点,边AB所 在的直线为x轴建立直角坐标系, 如图,则A(-a,0),B(a,0),
x?a y , ) 则BC中点为E ( 2 2

设C(x,y),

因为|AE|=m,所以
x?a y 2 2 ( ? a) ? ( ) ? m 2 2

化简得(x+3a)2+y2=4m2. 由于点C在直线AB上时, 不能构成三角形,故去掉曲 线与x轴的两个交点, 从而所求的轨迹方程是 (x+3a)2+y2=4m2. (y≠0)

例5.圆C过点A(1,2),B(3,4)且在x轴上 截得的弦长为6,求圆C的方程. 解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 圆过A(1,4),B(-2,3), 所以 D+2E+F=-5, ① 3D+4E+F=-25, ② 令y=0 得x2+Dx+F=0,设圆C与x轴的两 个交点的横坐标分别是x1,x2, 由韦达定理,得x1+x2=-D,x1x2=F,

因为|x1-x2|=6,

所以(x1+x2)2-4x1x2=36, 即D2-4F=36,③
联立①②③ 解得
? D ? 12 ? ? E ? ?22 ? F ? 27 ?

? D ? 2 E ? F ? ?5 ? ?3D ? 4 E ? F ? ?25 ? D 2 ? 4 F ? 36 ?



? D ? ?8 ? ? E ? ?2 ?F ? 7 ?

所求圆的方程为x2+y2+12x-22+27=0或 x2+y2-8x-2y+7=0。

练习题: 1.圆x2+y2+4x+26y+b2=0与坐标轴相切, 那么b可以取的值是( A ) (A)±2或±13 (B)1或2 (C)-1或-2 (D)-1或1

2.若圆x2+y2=4和圆x2+y2+4x-4y+4=0关 于直线 l 对称,那么 l 的方程是( D )
(A)x+y=0 (B)x+y-2=0

(C)x-y-2=0 (D)x-y+2=0

3.如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切
于原点,则( C ) (A)D≠0,E≠0,F=0 (B)D≠0,E=0,F=0 (C)D=0,E≠0,F=0

(D)D=0,E=0,F≠0

4.圆C:x2+y2-2x-6y+9=0关于直线x
-y-1=0对称的曲线方程是( C ) (A)x2+y2+2x+6y+9=0 (B)x2+y2-6x+2y+9=0 (C)x2+y2-8x+15=0

(D)x2+y2-8x-15=0

5.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表
示圆,则a的取值范围是
2 ( ?2, ) 3



6.三角形△ABC的三个顶点A(1,4),

B(-2,3),C(4,-5),则△ABC的外接
圆方程是 x2+y2-2x+2y-23=0 .

7.方程x2+2xy+y2+x+y-2=0表示的曲线
是( B ) (A)两条相交直线 (B)两条平行直线 (C)不是圆也不是直线

(D)圆


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