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正弦定理(用).ppt_图文

必修5第1章

解三角形
课标领航
本章概述

本章内容与已学过的关于三角形的定性研究的结论相联系,

与平面几何中的三角知识以及三角函数的知识相联系,同时
也体现了向量及其运算的应用.高考中以正、余弦定理为框 架,以三角形为主要依托,来考查三角形的边角转化、三角

形形状的判定、三角形内的三角函数求值及三角恒等式的证
明、立体几何中的空间角及解析几何中有关角等问题.要特 别关注利用正弦定理、余弦定理来解实际问题.因为本章知 识在现实生活中有广泛的应用,通过本章的学习,能提高学 生的数学建模能力.

本章的中心内容是解三角形.主要包括正弦定理和余

弦定理、应用举例与实习作业三部分内容,教材以直
角三角形为例引出正弦定理,然后利用向量方法证明 了正弦定理、余弦定理,余弦定理揭示了任意三角形 边、角之间的客观规律,是解三角形的重要工具. 本章学习要求是:

(1)在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系 的探究,发现并掌握三角形中的边长与角之间的数量 关系,并可以运用它们解决一些与测量和几何计算有关

的实际问题.
(2)掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三 角形度量问题. (3)从处理解三角形的实际应用问题中,获得综合运用 解三角形的知识和方法,解决实际问题的经验,发展

创新意识.

学法指导
在学习本章内容时,要注意以下几个方面:
1.重视数学思想方法的运用.解三角形作为几何度量问 题,要突出几何背景,注意数形结合思想的运用,具体解 题时,要注意函数与方程思想的运用. 2.加强新旧知识的联系.本章知识与初中学习的三角形

的边、角关系有密切联系.同时,要注意与三角函数、
平面向量等知识的联系,将新知识融入已有的知识体系,

从而提高综合运用知识的能力.

3. 提高数学建模能力.利用解三角形解决相关的实际

问题,关键是读懂题意,找出量与量之间的关系,根
据题意作出示意图,将实际问题抽象成解三角形模 型. 4.通过本章学习,使学生掌握正弦定理、余弦定理, 并能够运用正弦定理和余弦定理等知识解决一些与测 量和几何计算有关的实际问题.

正弦定理及应用

创设情景

问题1:如图,江阴长江大桥全长2200m,在北 桥墩处A测得火车北渡口C与南桥墩B的张角为 o 75 ,在火车北渡口C处测得大桥南北桥墩的张 o 角为45 ,试求BC的距离。
C
C火车北渡口

450

450
北桥墩A

750
B南桥墩

750 A

B

问题2: △ABC中,根据刚才的求法写出 A 、 C 、 a 、 c 的关系式。并由此猜想与 B 、 b的关系式再给予证明。
C

b
D a

a c b ? ? sin A sin C sin B

A

c B

探究1: 上述关系式对钝角三角形、直角三 角形是否适用?

探索研究

直角三角形:已知一锐角和一边,求其余元素。

a sinA= c
所以 c=
a sin A

b sinB= c sinC= 1 。

A c B a

c=

b sin B

c=

c sin C

b C

a b c 结论 : ? ? sin A sin B sin C

猜想:对钝三角形此结论是否成立?

正弦定理及应用
正弦定理 在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即

a b c   ? ? sin A sin B sin C

还有别的证法?

二、正弦定理的证明
方法二:设三角形ABC的外接圆圆心为O, 连CO交圆与D,连BD. C 则如图所示,∠A=∠D

a a ? ? CD ? 2 R sin A sin D b c b =2R =2R 同理: sin C sin B a b c A ? ? ? 2 R 即: sin A sin B sin C

a
O B D

c

正弦定理及应用
正弦定理 在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即

a b c   ? ? ? 2R sin A sin B sin C

还有别的证法?

方法三:用向量知识证明正弦定理
向量的数量积的定义 a ? b ?| a || b | cos? 中 两向量的夹角是余弦关系而非正弦关系,这两者

之间能否转化呢? 可用由诱导公式:sinθ=cos(90??θ)转化。 这一转化产生了新角90??θ,为了方便证明, 就需要添加垂直于三角形一边的单位向量j 。 这时j与 AC 垂直, j与AB 的夹角为 B 90??A , j与 CB 的夹角为90??C , 这就为构造j与 AC 、AB 、 CB 的数 量积打下了基础.(图中的三角形为锐角三角形) j
A

C

1、在锐角三角形中证明 正弦定理
在锐角 ?ABC中,过A作单位向量j 垂直于AC, c 则有j 与 AB 的夹角为 90? ? A , j 与 CB
的夹角为 90 ? C. 由向量的加法可知:
?

B

a
b
C

j

AC ? CB ? AB ? j ? ( AC ? CB) ? j ? AB
?    j AC cos 90? ? j CB cos(90? ? C ) ? j AB cos(90? ? A) 怎样建立三角形中边和角间的关系? a c 即 ? ?  a sin C ? c sin A sin A sin C b c ? 同理,过C作单位向量j 垂直于 CB,可得 sin B sin C

A

a b c ?    ? ? sin A sin B sin C

2、在钝角三角形中证明正弦定理
在钝角 ?ABC中,不妨设A为钝角,过A作单位向量j B 垂直于 AC , a 则有j 与 AB 的夹角为 A ? 90? , j 与 c 可知 :

CB 的夹角为 90? ? C . 又向量的加法

j
A

b

AC ? CB ? AB

?    j AC cos 90? ? j CB cos( 90? ? C ) ? j AB cos( A ? 90?) a c ?  a sin C ? c sin A 即 sin A ? sin C b c ? 同理,过C作单位向量j 垂直于 CB,可得 sin B sin C
a b c   ? ? 同样可证得:sin A sin B sin C

?

j ? ( AC ? CB) ? j ? AB

C

方法四:用等面积法证明正弦定理
A

分析:

c
B Da

b

C



S ?ABC

1 ? aha 2




1 S ?ABC ? ac sin B 2 c sin B ? b sin C a sin C ? c sin A
1 1 1 ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2


ha ? AD ? C ? sin B

S ?ABC

小结:正弦定理及应用
正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比

相等,即

a b c   ? ? ? 2R sin A sin B sin C
其中R为三角形外接圆的半径

在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 a b c ? ? ? 2 R?R为外接圆半径 ? sin A sin B sin C a b b c c a ? ; ? ; ? 变式: ?1? sin A sin B sin B sin C sin C sin A

?2?sin A : sin B : sin C ? a : b : c
4) S?ABC

3 )a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2 R sin C

1 1 1 ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

小结:正弦定理及应用
正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比

相等,即

a b c   ? ? ? 2R sin A sin B sin C

其中R为三角形外接圆的半径

正弦定理可以解什么类型的三角形问题? 1、已知两角和任意一边,可以求出其他两边 和一角。 2、已知两边和其中一边的对角,可以求出三 角形的其他的边和角。

三、 正弦定理的应用

例题讲解
例1 在 ?ABC 中,已知 c ? 10, A ? 45?, C ? 30? ,求b(保 留两个有效数字).
b c 且 B ? 180? ? ( A ? C ) ? 105? ? sin B sin C

解:∵

c ? sin B 10 ? sin 105? ?  b ? ? ? 19 sin C sin 30?

例⒉在△ABC中,已知a=2,b=2 2 ,A=45°, 求B和c。

变式1:在△ABC中,已知a=4,b=2 2 , A=45°,求B和c。

1 变式2:在△ABC中,已知a= , b= 2 2 2 ,A=45°,求B和c。
变式3、在△ABC中,已知a=20,b=28,A=40°, 求B(精确到1°)和c(保留两个有效数字)。

变式3:在△ABC中,已知a=20,b=28,A=40°, 求B(精确到1°)和c(保留两个有效数字)。

b sin A 28 sin 40 ? 解:∵ sin B ? ? ? 0.8999, a 20 ∴B1=64°,B2=116°, 当B1=64°时,C1=180°-(B1+A) =180°-( 64°+40°)=76° ? a sin C1 20 sin 76 ? ? 30. ∴ c1 ? ? sin A sin 40 当B2=116°时,C2=180°-(B2+A) =180°-(116°+40°)=24°

a sin C 2 20 sin 24? ? ? 13. ∴ c2 ? ? sin A sin 40

变式:4、在△ABC中,已知 a=28,b=20, A=120?,求B(精确到1?)和(保留两 个有效数字)。

C
b

a

120? A

B

? 深化探究:已知两边和其中 一边的对角解三角形,有两 解、一解或无解的情形,怎 样判断解的个数?

判断满足下列的三角形的个数: 两解 (1)b=11, a=20, B=30o (2)c=54, b=39, C=120o
一解 两解 无解

(3)b=26, c=15, C=30o (4)a=2,b=6,A=30o

三角形面积公式
三角形的面积等于任意两边 与它们夹角的正弦的积的一半。

s

1 1 1 = ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2

例3、已知在 ?ABC 中, a ? 2( 3 ?1), B ? 45 ,
0

C ? 30 , 求c 和面积S 。
0

例4 、在三角形

ABC 中 ,

一定成立的是 () A 、 a sin A ? b sin B B 、 a cos A ? b cos B C 、 a sin B ? b sin A

D 、 a cos B ? b cos A

ABC中, 例、在任一三角形 5 求a(sin B ? sin C ) ?
的值。

b(sin C ? sin A) ? c(sin A ? sin B)

四、练习
练习: 1、在?ABC 中,若
a A cos 2 ? b B cos 2 ? c C cos 2

,则?ABC 是(

)

A.等腰三角形 C.直角三角形

B.等腰直角三角形 D.等边三有形

D

五、小结
1、 正弦定理 的比 相等,即 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦

a b c   ? ? ? 2R sin A sin B sin C

2、正弦定理能解什么类型的三角形问题 。

课后反思
正弦定理的推导整整一节课,练习基本题型,判断解的个 数是难点。每种推导方法的切入有些生硬,学生想不到, 如何更好的铺垫台阶? 其实正弦定理、余弦定理就是研究边角之间的关系,让学 生自己探究有哪些情况可以解三角形,如何解?推导公式, 公式的作用,公式的应用

5.9 正弦定理、余弦定理

一、复习与引入
回忆一下直角三角形的边角关系? a a 2 ? b2 ? c 2 ? tan A A ? B ? 90? b a ? c sin A b ? c sin B 两等式间有联系吗? B
a b ? ?c sin A sin B
sin C ? 1

A c a b C

a b c ? ? sin A sin B sin C

这就是我们今天要学习的正弦定理,事实上定理对 任意三角形均成立. 下面我们来证明正弦定理对任意三角形均成立。

(1)A为锐角 C
b

C b A a a

a

A B a = bsinA C (一解) b
A

B2 bsinA<a<b

B1

( 两解) a B a≥b (一解)

(2)A为直角或钝角
C b A

C a
B b A

a
B a>b(一解)

a>b(一解)


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