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含参数的一元二次不等式的解法(专题)


含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种: 一、按 x 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0, a ? 0, a ? 0 ;
2

例 1 解不等式 ax2 ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0? 分析 因为 a ? 0 , ? ? 0 ,所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解

? a( x 2 ? 5x ? 6) ? a?x ? 2??x ? 3? ? 0

? 当 a ? 0 时,解集为 ?x | x ? 2或x ? 3?;当 a ? 0 时,解集为 ?x | 2 ? x ? 3?
二、按方程 ax ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x 2 的大小来分类,即 x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 ;
2 2 2 例 2 解不等式 x ? 5ax ? 6a ? 0 , a ? 0

分析 此不等式 ? ? ?? 5a? ? 24a 2 ? a 2 ? 0 ,又不等式可分解为 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,故只需比较两根
2

2 a 与 3a 的大小.
解 原不等式可化为: ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,对应方程 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 的两根为

x1 ? 2a, x2 ? 3a ,当 a ? 0 时,即 2a ? 3a ,解集为 ?x | x ? 3a或x ? 2a?;当 a ? 0 时,即 2a ? 3a ,解集为

?x | x ? 2a或x ? 3a?
三、按判别式 ? 的符号分类,即 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ; 例 3 解不等式 x ? ax ? 4 ? 0
2

分析 本题中由于 x 的系数大于 0,故只需考虑 ? 与根的情况。
2

解:∵ ? ? a ? 16
2

∴当 a ? ?? 4,4?即 ? ? 0 时,解集为 R ; 当 a ? ?4 即Δ =0 时,解集为 ? x x ? R且x ?

? ?

a? ?; 2?
? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 , x2 ? ,显然 x1 ? x 2 , 2 2

当 a ? 4 或 a ? ?4 即 ? ? 0 ,此时两根分别为 x1 ?

∴不等式的解集为 ? x x ?

? ? ? ?

? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? 或x〈 ? 2 2 ? ?

练习
1 1、若0 ? a ? 1, 则不等式(x ? a) ( x ? ) ? 0的解是( a )

A.a<x< B.

1 1 <x<a D.x< 或x>a a a
1 1 ) ? 0 ,令 a ? ,可得: a ? ?1 a a 1 1? ? ,故原不等式的解集为 ? x | a ? x ? ? ; a a? ?

1 1 C . x > 或x<a a a

解:原不等式可化为: ? x ? a ?( x ? ∴当 a ? ?1 或 0 ? a ? 1 时, a ? 当 a ? 1 或 a ? ?1 时, a ?

1 ,可得其解集为 ? ; a 1 ? 1 ? ,解集为 ? x | ? x ? a ? 。 a ? a ?

当 ? 1 ? a ? 0 或 a ? 1 时, a ?

2、 (1)解关于 x 的不等式: x2 ? (a ? 2) x ? 2a ? 0.

例 4 解关于 x 的不等式: ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0.
解:若 a ? 0 ,原不等式 ? ? x ? 1 ? 0 ? x ? 1.

1 1 )( x ? 1) ? 0 ? x ? 或 x ? 1. a a 1 若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? )( x ? 1) ? 0. (?) a 1 其解的情况应由 与 1 的大小关系决定,故 a (1)当 a ? 1 时,式 (?) 的解集为 ? ; 1 (2)当 a ? 1 时,式 (?) ? ? x ? 1 ; a 1 (3)当 0 ? a ? 1 时,式 (?) ? 1 ? x ? . a 1 综上所述,当 a ? 0 时,解集为{ x x ? 或x ? 1 };当 a ? 0 时,解集为{ x x ? 1};当 0 ? a ? 1 时,解集为 a 1 1 ? x ? 1 }. { x 1 ? x ? };当 a ? 1 时,解集为 ? ;当 a ? 1 时,解集为{ x a a
若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? 练习: (2)解关于 x 的不等式: ax ? ax ? 1 ? 0.
2

解: ax ? ax ? 1 ? 0.
2

(?) (1) a ? 0 时, (?) ? ?1 ? 0 ? x ? R. 2 (2) a ? 0 时,则 ? ? a ? 4a ? 0 ? a ? 0 或 a ? ?4 ,

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a , x2 ? . 2a 2a ? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a ①当 a ? 0 时, ? ? 0 ,? (?) ? ; ?x? 2a 2a ②当 ? 4 ? a ? 0 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? R ; 1 ③当 a ? ?4 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? R且x ? ? ; 2
此时两根为 x1 ? ④当 a ? ?4 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ?

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a . 或x? 2a 2a ? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a 综上,可知当 a ? 0 时,解集为( , ); 2a 2a 当 ? 4 ? a ? 0 时,解集为 R ; 1 1 当 a ? ?4 时,解集为( ? ?,? ) ? ( ? ,?? ); 2 2
当 a ? ?4 时,解集为( ? ?,

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a )?( ,?? ) 2a 2a

对于解含有参数的二次不等式,一般讨论的顺序是: (1)讨论二次项系数 (2) 讨论判别式 (3)判断二次不等式两根的大小. (4)把你遇到的每一个需要讨论的点按从小到大的顺序标在数轴上,然后按照从左到右的每一个 区间和端点进行讨论


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