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湖北省安陆市第一高级中学人教A版必修4课本例题习题改编


人教 A 版必修 4 课本例题习题改编 1.原题(必修 4 第十页 A 组第五题)改编 1 下列说法中正确的是( ) A.第一象限角一定不是负角 B.-831°是第四象限角 C.钝角一定是第二象限角 D.终边与 始边均相同的角一定相等 解: C. -330°=-360°+30°, 选 所以-330°是第一象限角,所以 A 错误; -831°=(- 3)×360°+249°,所以-831°是第三象限角,所以 B 错误;0°角,360°角终边与始边均 相同,但它们不相等,所以 D 错误. ? 改编 2 已知θ 为第二象限角,那么 是( )
3

A. 第一或第二象限角 C. 第二或四象限角

B. 第一或四象限角 D. 第一、二或第四象限角

? 解:选 D.? k 360? ? 90? ?? ? k ? 360? ? 180? , k ? z ,? k ? 120? ? 30? ? ? k ? 120? ? 60? , k ? z
3

(1)当 k ? 3n

? n ? z ? 时,

n ? 360 ? 30 ?

?

?

?
3

? n ? 360 ? 180 , n ? z , 此时

?

?

?
3

为第一象限角;

? ? (2)当 k ? 3n ? 1 ? n ? z ? 时, n ? 360? ? 150? ? ? n ? 360? ? 180? , n ? z , 此 时 为第二象限
3 3

? ? 角; (3)当 k ? 3n ? 2 ? n ? z ? 时, n ? 360? ? 270? ? ? n ? 360? ? 300? , 此时 为第四象限角。
3 3

2.原题(必修 4 第十页 B 组第二题)改编 时钟的分针在 1 点到 3 点 20 分这段时间里转过的 14 14 7 7 弧度数为( ) A. π B.- π C. π D.- π 3 3 18 18 1 解:选 B. 显然分针在 1 点到 3 点 20 分这段时间里,顺时针转过了两周又一周的3,用弧度制 1 14 表示就是-4π -3×2π =- 3 π .故选 B.
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

3.原题(必修 4 第十九页例 6)改编 (1)已知 sin ? (2)已知 sin ? = m (m ? 0, m ? ?1) ,求 tan ? 。 解: (1)? sin ? ?
1 3

?

1 3

,且 ? 为第二象限角,求 tan ? ;

,且 ? 为第二象限角,
2 2 3 sin ? cos ? 2 4

? cos ? ? ? 1 ? sin ? = ?
2

。? tan ? ?

??

( 2 ) ? sin ? ? m( m ? 0, m ? ?1) , ?? 为 象 限 角 。 当 ? 为 第 一 或 第 四 象 限 角 时 ,
cos ? ? 1 ? sin ? =
2

1? m

2

, tan ? ?

m 1? m
2

;当 ? 为第二或第三象限角时,

cos ? ? ? 1 ? m , tan ? ? ?
2

m 1? m
2

,综上, tan ? 的值为

m 1? m
2

或?

m 1? m
2

4.原题(必修 4 第十九页例 7)改编

若 a sin ? ? cos ? ? 1,

b sin ? ? cos ? ? 1,

则ab 的值

是(

)A. 0

B. 1

C. -1
b sin ? ? 1 ? cos ?

D. ;

2

解 : 由 已 知 有 : a sin ? ? 1 ? cos ? ,
ab sin ? ? ?1 ? cos ? ??1 ? cos ? ?
2

两 式 相 乘 得 :

? 1 ? cos ?
2

? sin ?
2

? ? ab ? 1? sin ? ? 0
2

又 sin ? ? 0

答案:B

? ab ? 1

5.原题(必修 4 第二十二页习题 1.2B 组第二题)改编 ( ) A. 2 tan x C. ?2 tan x
? ?? ? x ? ? k? ? , k? ? ? 4 4? ? ? 3? ? ? x ? ? k? ? , k? ? ? 4 4 ? ?

化简

1 ? sin 2 x 1 ? sin 2 x

?

1 ? sin 2 x 1 ? sin 2 x



B. ?2 tan x

D. 不能确定

? ? 2 tan 2 x ? 解:C .原式= ? ? ?2 tan 2 x ? ?

6.原题(必修 4 第二十二页 B 组第三题)改编 (2) sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ?
2 tan ? ? 1 tan ? ? 2 3 4

已知 tan ? ? 2 ,计算: (1)

2 sin ? ? cos ? sin ? ? 2 cos ?



解: (1)原式 ?

?

; (2)原式 ?

sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos ?
2 2

sin ? ? cos ?
2 2

?

tan ? ? tan ? ? 2
2

tan ? ? 1
2

?

4 5

7.原题(必修 4 第二十三页探究)改编 1 A. sin 2 ? cos 2 解:选 C B. cos 2 ? sin 2

化简 1 ? 2 sin( ? ? 2) ? cos( ? ? 2) 得( ) D.± cos 2 ? sin 2
2

C. sin 2 ? cos 2

1 ? 2 sin( ? ? 2) ? cos( ? ? 2) ?

[sin( ? ? 2) ? cos( ? ? 2)]

? |sin( ? ? 2) ? cos( ? ? 2)|=|sin2 ? cos2|

∵ sin2 ? 0 , cos2 ? 0 ,∴ sin2 ? cos2 ? 0 ,∴ 1 ? 2 sin( ? ? 2) ? cos( ? ? 2) =sin2 ? cos2 改编 2 设函数 f ( x ) ? a sin( ?x ? ? ) ? b cos( ?x ? ? ) ? 4 (其中 a、b、?、? 为非零实数),若 ) C.8 D.不能确定

f ( 2001) ? 5 ,则 f (2010) 的值是(

A.5

B.3

解:.B f (2001) ? a sin(2001? ? ? ) ? b cos(2001? ? ? ) ? 4 ? a sin( ? ? ? ) ? b cos( ? ? ? )
? ? a sin ? ? b cos ? ? 4 ? 5 ,? ? a sin ? ? b cos ? ? 1 ,
f (2010) ? a sin(2010? ? ? ) ? b cos(2010? ? ? ) ? 4 ? a sin ? ? b cos ? ? 4 ? ?1 ? 4 ? 3

8. 原 题 ( 必 修 4 第 二 十 七 页 例 4 ) 改 编
?? ? cos ? ? x ? sin ? ?? ? x ? ?2 ? 的值为 ? ? ? ?9 ? cos ? ? x ? sin ? ? ? x ? ?2 ? ?2 ?

已 知 角 x 终 边 上 的 一 点 P ( -4 , 3 ) 则 ,

.

?? ? cos ? ? x ? sin ? ?? ? x ? ? sin x ? sin x ?2 ? 解: ? ? ? tan x , 根 据 三 角 函 数 的 定 义 , 可 知 sin x ? cos x ?? ? ?9 ? cos ? ? x ? sin ? ? ? x ? ?2 ? ?2 ?
tan x ? y x ?? 3 4 , 所以原式=- tan x ? 3 4

9.原题(必修 4 第四十一页练习题 6)改编 为 .
? ? ? ? x 3 ?

函数 y ? log 1 ?cos ? ?
2

? ?

? ?

x 3

?

? ??

? ? 的单调递增区间 4 ??

解 : ? y ? log 1 ?cos ? ?
2

? ??

? ? x ? ?? ? ? ? log 1 ? cos ? ? ? ? , ∴ 所 求 的 递 增 区 间 就 是 使 4 ?? ? 3 4 ?? 2 ?
k?z 得 :

x ? ? ?x ? ? ? ? 2k? , y ? cos ? ? ? 的 值 为 正 值 的 递 减 区 间 , 由 2k? ? ? 3 4 2 ?3 4? ? 3 4

? ? 6 k? ? x ?

3 4

? ? 6 k? ,

k ? z.



















3 ? 3 ? ? ? ? 6 k? , ? ? 6 k? ? ? 4 4 ? ?

? k ? z ? 答案:

3 ? 3 ? ? ? ? 6 k? , ? ? 6 k? ? ? 4 4 ? ?

?k ? z?

10.原题(必修 4 第五十三页例 1)改编 位后与原图象重合,则 ω 的最小值是( 2 A.3 4 B.3 3 C.2

π? 4π ? 设 ω>0,函数 y=sin ωx+3 的图象向右平移 3 个单 ? ? ) D.3

π? 4π ? 解 : 选 C. 函 数 y = sin ωx+3 的 图 象 向 右 平 移 3 个 单 位 所 得 的 函 数 解 析 式 为 y = ? ? π? 4π ? π? 4π ? ? 4π? π? ?? ? sin ω?x- 3 ?+3 =sin ?ωx+3?- 3 ω ,又因为函数 y=sin ωx+3 的图象向右平移 3 个单位

?

?

?

?

?

?

4π 3 3 后与原图象重合,∴ 3 ω=2kπ? ω=2k(k∈Z),∵ω>0,∴ω 的最小值为2,故选 C. 11.原题(必修 4 第五十六页练习题 3)改编 初相分别为 ______ , ______ 。 解:2
1

?? ? y ? sin ? 2 x ? ? 的振幅为 ______ ,频率和 4? ?

[来源:Zxxk.Com]

?

?

?
4

12.原题(必修 4 第六十页例 2)改编
y ? tan(2 x ? 2? 3

在函数 y ? sin x 、 y ? sin x 、 y ? sin( 2 x ? )

2? 3

)、

) 中,最小正周期为 ? 的函数的个数为(

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

解: y ? sin x 中,利用含绝对值函数和奇偶性的知识作出函 数图象如下,

可知 y ? sin x 不是周期函数; y ? sin x 的最小正周期为 ? ,课本上已有解答; 由公式可知
y ? sin( 2 x ? 2? 3 ) 的最小正周期为 ? , y ? tan(2 x ? 2? 3 ) 的最小正周期为

?
2

.故答案选 B

13.原题(必修 4 第六十九页复习参考题 A 组第八题)改编 程 x 2 ? kx ? k 2 ? 3 ? 0 的两个实根,且 3? ? ? ? 解 : ? tan ? ?
1 tan ?
2

已知 tan ? ,

1

tan ?
2

是关于 x 的方

7 2

? ,求 sin ? cos ? ? sin ? 的值.
7 2

? k ? 3 ? 1,? k ? ?2 , 而 3? ? ? ?

? , 则 tan ? ?
tan ? ? tan ?
2

1 tan ?

? k ? 2, 得

tan ? ? 1 ,则 sin ? cos ? ? sin ? ?
2

sin ? cos ? ? sin ?
2

cos ? ? sin ?
2 2

?

1 ? tan ?
2

?1。
1 x
2

14.原题 (必修 4 第七十一页复习参考题 B 组第六题) 改编 已知 x 2 ? y 2 ? 1, 的值域为 解:? x ? y ? 1,
2 2

则u ?

?

2y x

.

1 ? ? x ? sec? ? ? 可设 ? cos ? ? y ? tan ? ? ?u ? 1 sec ?
2

?

2 tan ? sec?
2

? cos ? ? 2 sin ? ? ? sin ? ? 2 sin ? ? 1
2 2

? ? ? sin ? ? 1? ? 2, 其中 ? 1 ? sin ? ? 1
u随 sin ? 的增大而增大。 又 ?当 sin ? ? ?1时,u ? ?2, 当 sin ? ? 1时,u ? 2

∴所 求值域为(-1,2).

[来源:学科网]

15. 原 题 ( 必 修 4 第 九 十 二 页 习 题 2.2B 组 第 四 题 ) 改 编 足: | a |? 3 , | b |? 4 , a ? b ? 0 .以 共点个数最多为 解 : 可 得
a?b ?
2

设 向 量 a, b 满

a , b , a?b

为边长构成三角形,则它的边与半径为 1 的圆的公

个.
a ? b ? 2a ? b ? 5
2

, 设 该 三 角 形 内 切 圆 的 半 径 为 r , 则

(4 ? r ) ? (3 ? r ) ? 5 ? r ? 1

,∴对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时

只有三个交点,对于圆的位置稍作移动,则能实现 4 个交点,但不能得到 5 个以上的交点.答案:4 16.原题(必修 4 第一百零二页习题 2.3B 组第四题)改编 1
? ? ?? ?

设 Ox 、Oy 是平面内相交成 600
??? ? ? ? ?? ?

角的两条数轴, e1 、 e2 分别是与 x 轴、 y 轴正方向同向的单位向量,若向量 OP ? xe1 ? ye2 , 则把有序数对 ( x, y ) 叫做向量 OP 在坐标系 xOy 下的坐标。假设 OP ? 3e1 ? 2e2 , (1)计算
??? ? (2)由平面向量基本定理,本题中向量坐标的规定是否合理? | OP | 的大小;

??? ?

??? ?

? ?

?? ?

解: (1) | OP |? 19 ; (2)对于任意向量 OP ? xe1 ? ye2 , x , y 都是唯一确定的,分解唯 一,所以向量的坐标表示的规定合理。
??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

? ?

?? ?

改编 2

给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 90 .点 C 在以 O 为圆心的圆弧

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB 上变动,若 OC ? xOA ? yOB ,其中 x, y ? R ,则 xy 的范围是________.







??? ? ??? ? ??? ? ??? 2 ? ??? 2 ? ??? 2 ? ??? ??? ? ? 2 2 OC ? xOA ? yOB ? OC ? x OA ? y OB ? 2 xyOA ? OB

,



??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? OC ? OA ? OB ? 1, OA ? OB ? 0

,∴ 1 ? x ? y ? 2 xy ,得
2 2

xy ?

1 2 ,而点 C 在以 O 为圆心的圆

1 ??? ? 0 ? xy ? x, y ? [0,1] 2. 弧 AB 上变动,得 ,于是

17.原题( 必修 4 第一百零五页例 4)改编 已知 a ? ? cos x, sin x ? , b ? ? cos ? , sin ? ? , k a ? b ? 3 a ? kb (k>0) (1)求证: ? a ? b ? ? ? a ? b ? ; (2)将 a与b 数量积表示为关于 k 的函数 f(k)(3)求 f(k)的最 ; 小值及相应 a , b 夹角θ 解: (1) ? a ? ? co s ? , sin ? ? , b ? ? co s ? , sin ? ?
? ? ? ?2 ?2 ?2 ?2 ? a?b ? a?b ? a ?b ? a ? b ? 0 ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

?

? ? ? ? a?b ? a?b ? ? ? ? (2)? k a ? b ? 3 a ? kb
[来源:Zxxk.Com]

? ?

?

? ? ? ka ? b

?

?

2

? ? ? 3 a ? kb

?

?

2

? ? k 2 ?1 ?a ? b ? 4k

故f ? k ? ?

1? 1? ?k ? ? 4? k? 1 2

? k ?0?
1 k
?

[来源:Zxxk.Com]

( 3 ) ? f ?k ? ? 4? 2 k ?

1 k

?

当k ?

? k ?0?

k ?1

时,取等号,此时,

? ? a ?b 1 cos ? ? ? ? ,又∵ o ? ? ? ? 2 a b

?? ? 60 )
??? ? ??? ?

18.原题 (必修 4 第一百零六页练习 2) 改编 1 已知△ABC 中, 向量 AB ? ( x, 2 x), AC ? (3 x, 2) , 且∠BAC 是锐角,则 x 的取值范围是 。
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? AB ?AC ? 0 ? 解:本题容易忽视向量 AB, AC 方向相同的情况。由 ? ??? 可得 x 的取值范围 ? ??? ? AB ? ? AC (? ? 0) ? ?

是 (??, ? ) ? (0, ) ? ( , ??) .
3 3 3
??? ? ??? ?

4

1

1

改编 2 已知△ABC 中,向量 AB ? ( x, 2 x), AC ? ( ?3 x, 2) ,且∠BAC 是钝角,则 x 的取值范围 是 。
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? AB ?AC ? 0 ? 解:本题容易忽视向量 AB, AC 方向相反的情况。由 ? ??? 可得 x 的取值范围 ? ??? ? ? ? AB ? ? AC (? ? 0)

是 (??, ? ) ? (? , 0) ? ( , ??) .
3 3 3

1

1

4

19.原题(必修 4 第一百零八页习题 2.4B 组第四题)改编
??? ??? ? ? AB ? AC 的值

如图,在圆 C 中,点 A, B 在圆上,





(A)只与圆 C 的半径有关;(B)只与弦 AB 的长度有关 (C)既与圆 C 的半径有关,又与弦 AB 的长度有关 (D)是与圆 C 的半径和弦 AB 的长度均无关的定值

解:答案为 B。

20.原题(必修 4 第一百二十页复习参考题 B 组第五题)改编

在△ABC 所在的平面内有一点 )

P,满足PA+PB+PC=AB,则△PBC 与△ABC 的面积之比是(
A. 1 3 B. 1 2 2 C. 3 D. 3 4



→ → →

→ → → → → → → → → → 解:由PA+PB+PC=AB,得PA+PB+BA+PC=0,即PC=2AP,所以点 P 是 CA 边上的三等分点, 如图所示.故

S△PBC PC 2 = = . S△ABC AC 3
如图,已知

21. 原 题 ( 必 修 4 第 一 百 二 十 页 复 习 参 考 题 B 组 第 六 题 ) 改 编

??? ? ? ??? ? ? ? ? 点 OA ? a, OB ? b,| a |? 2,| b |? 3, 任意点 M 关于点 A 的对称点为 S, S 关于点 B 的对称点为 N,

点 C 为线段 AB 中点,则 MN ? OC ? ___________ _. 解: OM ? OS ? 2OA , ON ? OS ? 2OB
???? ???? ???? ? ? ??? ??? ? ? ? MN ? ON ? OM ? 2(OB ? OA)

???? ??? ? ? ??? ?

M N A C B

???? ?

??? ?

??? ???? ?

??? ?

又 OC ?

? ? 1 ??? ??? OA ? OB 2 ???? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? 2 ??? 2 ? ? MN ? OC ? (OB ? OA) ? (OB ? OA) ? OB ? OA ? 5

??? ?

O

S

故答案为 5 22. 原 题 ( 必 修
cos? ? ? 4

4

第 一 百 二 十 七 页 例

2 ) 改 编

已 知

3 ? 1 ? ?? ? ,? ? ? ? , ? ? , tan ? ? ? , ? ?? ,? ? ,求 cos ?? ? ? ? 。 5 2 ? 3 ? ?2 ? ? ? 3 2 ? ?

解:? ? ? ? ? , ? ? , cos ? ? ?

4 5

, ? sin ? ? ?

3 5



3 10 10 1 ?? ? 。 , sin ? ? ? ? ? ? , ? ? , tan ? ? ? , ? cos ? ? ? 10 10 3 ?2 ?

3 10 10 3 10 ? 4? ? 3? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ( ? ) ? ? ? ?? ? 。 10 10 ? 5? ? 5 ? 10

23.原题(必修 4 第一百三十九页例 1)改编

化简: 2 1 ? sin 4 ?

2 ? 2 cos 4 的结果



.

解:2 sin2 24. 原 题 ( 必 修 4 第 一 百 四 十 七 页 复 习 参 考 题 B 组 第 六 题 ) 改 编 若函数 ? 2 f ( x ) ? 3 sin 2 x ? 2 cos x ? m 在区间 [0, ] 上的最小值为 3,求常数 m 的值及此函数当
2
x ? [ a, a ? ? ] (其中 a 可取任意实数)时的最大值.

解 :
2x ?

f ( x) ? ?[

3 sin 2 x ? cos 2 x ? m ? 1 ? 2 sin(2 x ? ] ,sin(2 x ?

?
6

) ? m ?1



x ? [0,

?
2

]

时 ,

?
6

? 7?
, 6 6

?
6

) ? [?

1 2

? ,1] , m ? 3 ,由于 f ( x ) 最小正周期为 ? ,所以当 a

取任意实数时, f ( x) 区间 [a, a ? ? ] 上的最大值是 6.


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2015 版人教 A 版必修 2 课本例题习题改编 湖北省安陆市第一高级中学


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湖北省安陆市第一高级中学人教A版选修2-3课本例题习题改编.doc

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