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2018版高中数学(人教A版)必修5同步教师用书:必修5 第1章 1.1.2 余弦定理

1.1.2 余弦定理 1.掌握余弦定理及其推论.(重点) 2.掌握正、余弦定理的综合应用.(难点) 3.能应用余弦定理判断三角形的形状.(易错点) [基础· 初探] 教材整理 1 余弦定理及其变形 阅读教材 P5~P6 完成下列问题. 1.三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的 夹角的余弦的积的两倍. 即 a2=b2+c2-2bccos_A,b2=a2+c2-2accos_B, c2=a2+b2-2abcos_C. 2.余弦定理的变形 b2+c2-a2 cos A= 2bc ; cos B= a2+c2-b2 ; 2ac a2+b2-c2 cos C= 2ab . 1.在△ABC 中,已知 a=4,b=6,C=120° ,则边 c=________. 【解析】 =76,c=2 19. 【答案】 2 19 根据余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C=16+36-2×4×6cos 120° 2.在△ABC 中,a=1,b= 3,c=2,则 B=________. 【解析】 【答案】 教材整理 2 c2+a2-b2 4+1-3 1 cos B= 2ac = =2,B=60° . 4 60° 余弦定理及其变形的应用 阅读教材 P6~P7,完成下列问题. 1.利用余弦定理的变形判定角 在△ABC 中,c2=a2+b2?C 为直角;c2>a2+b2?C 为钝角;c2<a2+b2?C 为锐角. 2.应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题. (1)已知三边,求三角. (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 1.在△ABC 中,若 a2=b2+bc+c2,则 A=________. 【解析】 ∵a2=b2+bc+c2, ∴b2+c2-a2=-bc, ∴cos A= b2+c2-a2 -bc 1 = =- 2bc 2bc 2, 又∵A 为△ABC 的内角, ∴A=120° . 【答案】 120° 2.以下说法正确的是________(填序号). ①在三角形中,已知两边及一边的对角,可用正弦定理解三角形,但不能用 余弦定理去解; ②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系, 因此, 它适应于任何三角形; ③利用余弦定理,可解决已知三角形三边求角问题; ④在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例. 【解析】 ①错误.由正、余弦定理的特征可知在三角形中,已知两边及一 边的对角,既可以用正弦定理,也可以用余弦定理求解. ②正确.余弦定理反映了任意三角形的边角关系,它适合于任何三角形. ③正确.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确. ④正确.余弦定理可以看作勾股定理的推广. 【答案】 ②③④ [小组合作型] 已知两边及一角解三角 形 在△ABC 中,已知 b=3,c=3 3,B=30° ,求角 A,角 C 和边 a. 【精彩点拨】 解答本题可先由正弦定理求出角 C,然后再求其他的边和 角.也可以由余弦定理列出关于边长 a 的方程,首先求出边长 a,再由正弦定理 求角 A,角 C. 【自主解答】 法一:由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, 得 32=a2+(3 3)2-2a×3 3×cos 30° , ∴a2-9a+18=0,得 a=3 或 6. 当 a=3 时,A=30° ,∴C=120° . asin B b = 3 =1. 1 6×2 当 a=6 时,由正弦定理 sin A= ∴A=90° ,∴C=60° . 1 3 3 法二:由 b<c,B=30° ,b>csin 30° =3 3×2= 2 知本题有两解. csin B 由正弦定理 sin C= b = 1 3 3×2 3 3 =2, ∴C=60° 或 120° ,当 C=60° 时,A=90° , 由勾股定理 a= b2+c2= 32+?3 3?2=6, 当 C=120° 时,A=30° ,△ABC 为等腰三角形, ∴a=3. 已知三角形的两边与一角解三角形, 必须先判断该角是给出两边中一边的对 角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若 是给出两边中一边的对角, 可以应用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第 三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边.) [再练一题] 1.在△ABC 中,边 a,b 的长是方程 x2-5x+2=0 的两个根,C=60° ,求 边 c. 【解】 由题意:a+b=5,ab=2. 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab =(a+b)2-3ab=52-3×2=19, ∴c= 19. 已知三边解三角 形 在△ABC 中,已知 a=7,b=3,c=5,求最大角和 sin C. 【精彩点拨】 (1)如何判断哪个角是最大角? (2)求 sin C 能否应用余弦定理? 【自主解答】 ∵a>c>b,∴A 为最大角, 由余弦定理的推论,得: b2+c2-a2 32+52-72 1 cos A= 2bc = =-2, 2×3×5 3 ∴A=120° ,∴sin A=sin 120° =2. a c 由正弦定理sin A=sin C,得: 3 5× 2 csin A 5 3 sin C= a = 7 = 14 , 5 3 ∴最大角 A 为 120° ,sin C= 14 . 1.本题已知的是三条边,根据大边对大角,找到最大角是解题的关键. 2.已知三边解三角形的方法:先用余弦定理求出一个角,再用正弦定理或 余弦定理求出另一角,最后用三角形的内角和定理求第三角. [再练一题] 2.在△ABC 中,a2-c2+b2=ab,求角 C. 【解】 ∵c2=a2+b2-2abcos C, ∴a2-c2+b2=2abcos C. ∴ab=2abcos C. 1 ∴cos C=2. ∴C=60° . [探究共研型] 正、余弦定理的综合应 用 探究 1 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若

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