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高中数学2-1-1《合情推理(类比推理)》课件新人教B版选修


2.1.1合情推理 (类比推理) (一)类比推理 在学习空间向量时,我们是这样推测空 间向量的基本定理的: 由于平面向量与空间向量都是既有大小 又有方向的量,并且两者具有类似(或一致) 的运算性质(如都具有加法的交换律和结合 律等),因此根据平面向量的基本定理,我 们推测空间向量也具有类似的性质: ? ?? 如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对于 ?? 空间任一向量 p ,存在一个惟一的有序 ? ? ? ? ? 实数组x,y,z,使 p ? xa ? yb ? zc 这种根据两类不同事物之间具有某些类 似(或一致)性,推测其中一类事物具有 与另一类事物类似(或相同)的性质的推 理,叫做类比推理(简称类比),类比属 于合情推理。 下面我们通过一个例子来得出类比的一 般步骤。 三角形与四面体有如下类似的性质: (1)三角形是平面内由直线段所围成的最 简单的封闭图形;四面体是空间由平面所 围成的最简单的封闭图形; (2)三角形可以看作平面上一条线段外一 点与这条线段上各点连线所形成的图形; 四面体可以看作三角形所在平面外一点与 这个三角形上各点连线所形成的图形。 根据三角形的性质,可以推测空间四面 体的性质如下: 三角形 三角形两边之和大 于第三边. 四面体 四面体任意三个面的面积之和大 于第四个面的面积 根据三角形的性质,可以推测空间四面 体的性质如下: 三角形 三角形两边之和大 于第三边. 三角形三条内角 平分线交于一点, 且这个点是三角形 内切圆的圆心。 四面体 四面体任意三个面的面积之和大 于第四个面的面积 四面体的六个二面角的平分面 交于一点,且这个点是四面体的 内切球的球心。 根据三角形的性质,可以推测空间四面 体的性质如下: 三角形 三角形两边之和大 于第三边. 三角形三条内角 平分线交于一点, 且这个点是三角形 内切圆的圆心。 三角形的中位线 等于第三边的一半, 且平行于第三边。 四面体 四面体任意三个面的面积之和大 于第四个面的面积 四面体的六个二面角的平分面 交于一点,且这个点是四面体的 内切球的球心。 四面体的中截面(以任意三条 棱的中点为顶点的三角形)的面 积等于第四个面的面积的一半, 且平行于第四个面。 一般地,如果类比的相似性越多,相似 的性质与推测的性质之间越相关,那么类 比得出的命题就越可能为真。 例1.找出圆与球的相似性质,并用圆的下 列性质类比球的有关性质: (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直 于弦; (2)与圆心距离相等的两弦相等; (3)圆的周长C=πd(d是直径); (4)圆的面积S=πr2. 解:圆与球有下列相似的性质: (1)圆是平面上到一定点距离等于定长的 所有点构成的集合;球面是空间中到一定 点距离等于定长的所有点构成的集合; (2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称 图形;球是空间中封闭曲面是围成的对称 图形。 通过与圆的有关性质类比,可以推测求 的有关性质: 圆 圆心与弦(非直 径)中点的连线垂 直于弦 球 球心与截面圆(不经过球心的 小截面圆)圆心的连线垂直于截 面 圆 圆心与弦(非直 径)中点的连线垂 直于弦 与圆心距离相等的 两弦相等 球 球心与截面圆(不经过球心的 小截面圆)圆心的连线垂直于截 面 与球心距离相等的两个截面圆的 面积相等 圆 圆心与弦(非直 径)中点的连线垂 直于弦 与圆心距离相等的 两弦相等 圆的周长C=πd 球 球心与截面圆(不经过球心的 小截面圆)圆心的连线垂直于截 面 与球心距离相等的两个截面圆的 面积相等

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