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高二数学上学期期末考试试题 文4


江苏省泰兴中学 2015~2016 学年度第一学期期末考试 高二数学试题(文科)
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题 线 上. ) 1、已知复数 z ? 3 ? 2i ,则复数 z 的虚部为 2、命题:“ ?x ? R, x2 ? x ?1 ? 0 ”的否定是 3、已知函数 f ? x ? ? 25x ?13x ? 2016x ? 5 ,则 f ? ? 0? ?
3 2

. . .

4、双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的渐近线方程为 9 4

. .

5、按如右图所示的流程图,输出的结果为

且A ?B , 则 命 题 “ p : x ? A ” 是 命 题 6 、 若 集 合 A, B 满 足 A ? B ? B
“ q : x ? B ”的 “充要”) 7、已知复数 z 满足 条件. (填“充分不必要”,“必要不充分”,

8、下列四个命题:①一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 ;②命题“设 a, b ? R ,若

i ? 2 ? i ,则 z ? z ?i



a ? b ? 6 ,则 a ? 3 或 b ? 3 ”是一个假命题;③“ x ? 2 ”是“

1 1 ? ”的充分不必要条件;④ x 2
. (写出所

一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真.其中不正确的命题是 有不正确命题的序号) 9、在 Rt ?ABC 中, AC ? BC, AC ? a, BC ? b ,则 ?ABC 的外接圆半径 r ?

a 2 ? b2 ;类比到空 2

间,若三棱锥 S ? ABC 的三条侧棱 SA, SB, SC 两两互相垂直,且长度分别为 a, b, c ,则三棱锥

S ? ABC 的外接球的半径 R ?



10、设函数 f ? x ? 的导数为 f ? ? x ? ,且 f ? x ? ? f ? ?

?? ? ?? ? ? sin x ? cos x ,则 f ? ? ? ? ?4? ?2?



11、过点 M ?1, 2? 作直线 l 交椭圆 的方程为 .

x2 y 2 ? ? 1 于 A, B 两点,若点 M 恰为线段 AB 的中点,则直线 l 25 16

1

12、若当 x ??0, ? ? 时,不等式 sin x ? kx 恒成立,则实数 k 的取值范围是



13、设 A, B 为抛物线 x2 ? 4 y 上的两动点,且线段 AB 的长为 6, M 为线段 AB 的中点,则点 M 到

x 轴的最短距离为
14、 过椭圆



x2 y 2 ? ? 1 的左顶点 A 作斜率为 k ? k ? 0? 的直线 l 16 12

交椭圆于点 C , 交 y 轴于点 D ,P 为 AC 中点, 定点 Q 满 足:对于任意的 k ? k ? 0? 都有 OP ? DQ ,则 Q 点的坐标 为 .

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. ) 15、 (本题满分 14 分) 已知复数 z ?

a 2 ? 7a ? 6 ? ? a 2 ? 5a ? 6 ? i ? a ? R ? .试求实数 a 分别为什么值时, z 分别为: (1)实 a ?1

数; (2)虚数; (3)纯虚数.

16、 (本题满分 14 分) 已知 p :| 3 x ? 4 |? 2, q :

1 ? 0, r : ? x ? a ?? x ? a ? 1? ? 0 . x ?x?2
2

(1) ? p 是 ? q 的什么条件? (2)若 ?r 是 ? p 的必要非充分条件,求实数 a 的取值范围.

17、 (本题满分 14 分) 根据统计资料,某工艺品厂的日产量最多不超过 20 件根据统计资料,每日产品废品率 p 与日产量 x

? 2 , 1? x ? 9x,? N * ? ?15 ? x (件 )之间近似地满足关系式 p?? 2 (日产品废品率 ? x ? 60 ,10 ? x ? 20, x ? N * ? ? 540
=

日废品率 ×100%) . 已知每生产一件正品可赢利 2 千元, 而生产一件废品则亏损 1 千元. (该 日产量

2

车间的日利润 y ? 日正品赢利额

日废品亏损额)

(1)将该车间日利润 y (千元)表示为日产量 x (件)的函数; (2)当该车间的日产量为多少件时,日利润最大?最大日利润是几千元?

18、 (本题满分 16 分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点, M 是 C 上一点,且 MF2 与 x 轴垂直, a 2 b2

C 的另一个交点为 N . 直线 MF 1与
(1)若直线 MN 的斜率为

3 ,求 C 的离心率; 4

(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5F1N ,求椭圆 C 的方程.

19、 (本题满分 16 分) 阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象,现象(1) :光线经平面镜反射满足入射角 i 与反射 角 r 相等 (如图 19-1) ; 现象 (2) : 光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点 (如 图 19-2) .试结合上述事实现象完成下 列问题: (1)有一椭圆型台球桌 2 a ,长轴长为短轴长为 2b .将一放置于焦点处的桌球击出,经过球桌边缘 的反射(假设球的反射完全符合现象(2) )后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为 S , 求 S 的值(用 a , b 表示) ;

(2)结论:椭圆

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1 上任一点 P ? x0 , y0 ? 处的切线 l 的方程为 02 ? 02 ? 1 .记椭圆 C 的 2 a b a b

方程为 C :

x2 ? y2 ? 1. 4

①过椭圆 C 的右准线上任一点 M 向椭 圆 C 引切线,切点分别为 A, B ,求证:直线 l AB 恒过一 定点; ②设点 P ? x0 , y0 ? 为椭圆 C 上位于第一象限内的动点, F1 , F2 为椭圆 C 的左右焦点,点 I 为

?PF1 F2 的内心,直线 PI 与 x 轴相交于点 N ,求点 N 横坐标的取值范围.

3

20、 (本题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? e 为l . (1)求实数 a , b 的值; (2)若在 y 轴右侧图像 C 恒在 l 的上方,求实数 k 的取值范围; (3)若图像 C 与 l 有两个不同的交点 A, B ,其横坐标分别是 x1 , x2 ,设 x1 ? x2 ,求证: x1 x2 ? 1 .
2 ax

? a ? R? 的图像 C 过点 P ?1, e? ,奇函数 g ? x? ? kx ? b ? k, b ? R, k ? 0? 的图像

4

江苏省泰兴中学 2015~2016 学年度第一学期期末考试 高二数学试题(文科)参考答案 一、填空题: 1、?2 ;2、?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ;3、2016 ;4、 y ? ? 8、①②;9、 R ?

3 1 ? 3i x ;5、11 ;6、必要不充分;7、? ; 5 2

a 2 ? b2 ? c 2 ;10、 ? 2 ;11、 8x ? 25 y ? 58 ? 0 ;12、 k ? 1 ;13、 2 ;14、 2

? ?3,0?
二、解答题: 15、解: (1)当 z 为实数时, ?

?a 2 ? 5a ? 6 ? 0 ?a ? 1 ? 0

,……………………………… [3 分]

? a ? 6,?当a ? 6时,z为实数.……………………………… [4 分]

?a 2 ? 5a ? 6 ? 0 (2)当 z 为虚数时, ? ,…………………[7 分] ?a ? 1 ? 0
? a ? ?1且a ? 6,?当a ? R,a ? ?1且a ? 6时,z为虚数. …………………… [8 分]
?a 2 ? 5a ? 6 ? 0 ? 2 (3)当 z 为纯虚数时, ?a ? 7 a ? 6 ? 0 ,……………………………… [13 分] ?a ? 1 ? 0 ?

? a ? ?1,?当a ? 1时,z为纯虚数. ……………………………… [14 分]
16、解 (1) p :| 3x ? 4 |? 2,?3x ? 4 ? 2或3x ? 4 ? ?2 ,

? x ? 2或x ?

2 2 ,??p : ? x ? 2 . 3 3

……………………………… [2 分]

q:

1 ? 0,即x 2 ? x ? 2 ? 0,? x ? ?1或x ? 2, x ?x?2
2

∴ ?q : ?x | ?1 ? x ? 2? ,………………………………………………[4 分] ∴ ? p 是 ? q 的充分不必要条件.……………………………………[6 分] (2) r : ? x ? a ?? x ? a ?1? ? 0,?a ? x ? a ? 1 . ∴ ?r : x ? a或x ? a ? 1 . ∵ ?r 是 ? p 的必要非充分条件.……………………………………… [8 分]
5

∴ 2 ? a或a ? 1 ?

2 1 ,? a ? 2或a ? ? . ……………………………… [12 分] 3 3

∴ a 的取值范围是 ?a | a ? 2或a ? ? ? . ………………………………[14 分]

? ?

1? 3?

? b2 ? 18 、 解 :( 1 ) 记 c ? a ? b , 则 F ? ,则 1 ? ?c,0? , F 2 ? c,0? , 由 题 设 可 知 M ? c, ? a?
2 2

b2 3 kMN ? kF1M ? a ? ? 2b2 ? 3ac ,……………………………… [4 分] 2c 4 c 1 c ? a 2 ? c 2 ? 3ac ? e ? ? , 或e ? ? ?2(舍去) ;……………………………… [6 分] a 2 a
(2)记直线 MN 与 y 轴的交点为 D ? 0,2? ,则 | MF2 |? 4 ?

b2 ? 4 ①,……… [8 分] a

? 3c ? MN ? 5F1 N ,? DF1 ? 2F1 N ? N ? ? , ?1? ,……………………………… [10 分] ? 2 ?

9c 2 1 ? ? 1②……………………………… [12 分] 将 N 的坐标代入椭圆方程得 4a 2 b 2
6

由①②及 c 2 ? a 2 ? b2 得 a2 ? 49, b2 ? 28 ,……………………………… [13 分] 故所求椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .……………………………… [14 分] 49 28

19、解(1)记 c ? a2 ? b2 ,因为桌球第一次与球桌边缘的接触点可能椭圆长轴的两个端点及这两 个端点外的任一点三种情况,所以 S ? 2 ? a ? c ? 或S ? 2 ? a ? c ? 或S ? 4a ;[4 分] (2)①设 M ?

?4 3 ? ? 3 ,t ? ? ? t ? R ? , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则…………………………[5 分] ? ?

lMA :

x1 x xx ? y1 y ? 1, lMB : 2 ? y2 y ? 1 ,………………… …………… [6 分] 4 4

代入 M ? ?

?4 3 ? 3 3 ,得 lMA : ,t ? x ? ty ? 1, l : x2 ? ty2 ? 1 ,… ……………… [7 分] 1 1 MB ? 3 3 ? 3 ?

则点 A, B 的坐标均满足方程 所以,直线 AB 恒过定点 F

3 3 x ? ty ? 1,即l AB : x ? ty ? 1 ? 0 ,…………… [9 分] 3 3
3, 0 ;……………………………… [10 分]
x0 x ? y0 y ? 1 ,… [11 分] 4

?

?

②由(2)的结论知:椭圆 C 在 P ? x0 , y0 ? 处的切线 l 的方程为 由事实现象(2)知:直线 PI ? l ,? lPI : y ? 令 y ? 0 ,得点 N 的横坐标为 x N ?

4 y0 x ? 3 y0 ……………… [13 分] x0

3 x0 ,……………………………… [5 分] 4

? 3? x0 ? ? 0, 2 ? ,? xN ? ? 0, ? .……………………………… [16 分] ? 2?
20、解: (1)

f ?1? ? e,? e 2 a ? e ? a ?

1 ,……………… [2 分] 2

g ? x ? ? kx ? b 为奇函数,? b ? 0 ;……………………………… [4 分]
(2)由(1)知 f ? x ? ? e , g ? x ? ? kx , ……………………………… [5 分]
x
x 因为 y 轴右侧图像 C 恒在 l 的上方,所以当 x ? 0 时, e ? kx 恒成立,…[6 分]

?k ?

ex , x ? ? 0, +? ? ,……………… [7 分] x
7

记 h ? x? ?

ex x ?1 , x ? ? 0, +? ? ,则 h? ? x ? ? 2 e x ,由 h? ? x ? ? 0 ? x ? ?1, ??? , x x

? h ? x ? 在 ? 0,1? 单调减,在 ?1, ?? ? 单 调增,…………………… [8 分] h ? x ? ??e, ??? , ?k ? ? ??, e? ,……………………………… [10 分]
(3)由(2)知 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,设 x2 ? tx1 ?t ? 1? ,……………………………… [11 分 ]

e x1 ? kx1 , e x2 ? kx2 ,? e x2 ? x1 ?

x2 ? e?t ?1? x1 ? t ,……………………………… [12 分] x1
2

ln t ? ln t ? 2 ,? x1 x2 ? tx1 ?t? ? t ? 1? x1 ? ln t ? x1 ? ? ,………………………… [13 分] t ?1 ? t ?1 ?
要证 x1 x2 ? 1,即证 t

ln t ? 1,令 ? ? t ? ? ? 1? , t ?1

即证 2? ln ? ? ? 2 ?1 ? 2? ln ? ? ? 2 ? 1 ? 0 , 令 ? ? ? ? ? 2? ln ? ? ? ?1? ? ? 1? , 即证 ? ? ? ? ? 0 ,
2

? ? ? ? ? ? 2ln ? ? 2? ? 2 ? ? ?? ? ? ? ?

2

?

?2 ?

2 ?1 ? ? ?

?



? ? 1,???? ? ? ? ? 0,??? ? ? ? 在 ?1, ?? ? 上单调减,
??? ? ? ? ? ?? ?1? ? 0,?? ? ? ? 在 ?1, ?? ? 上单调减, ?? ? ? ? ? ? ?1? ? 0 ,
所以, x1 x2 ? 1 ……………………………… [16 分]

8


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