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18学年高中数学第一章解三角形1.2应用举例(一)学案新人教B版必修5

1.2 应用举例(一) [学习目标] 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正、余弦 定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解 决问题的能力,并激发学生的探索精神. [知识链接] “遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢?”在古代, 天文学家没有先进的仪器就已经估 算出了两者的距离, 是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢?通过本节的学习, 我们将揭开 这个奥秘. [预习导引] 1.仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角, 目标视线在水平视线上方时叫 仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角,如图. 2.方位角和方向角 从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角,方位角的范围是[0,2π ]. 从指定方向线到目标方向线所成的小于 90°的水平角叫方向角,如北偏东 30°,南偏东 45°. 3.坡角与坡度 坡面与水平面所成的二面角叫坡角,坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度. 要点一 测量底部不能到达的建筑物的高度 例 1 如图所示,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 α ,在 塔底 C 处测得 A 处的俯角为 β .已知铁塔 BC 部分的高为 h, 求出山高 CD. 解 在△ABC 中, ∠BCA=90°+β , 1 ∠ABC=90°-α , ∠CAD=β ,∠BAC=α -β . 根据正弦定理得 = , sin∠ABC sin∠BAC 即 = , sin?90°-α ? sin?α -β ? AC BC AC BC BCcos α hcos α ∴AC= = . sin?α -β ? sin?α -β ? hcos α sin β 在 Rt△ACD 中,CD=ACsin∠CAD=ACsin β = . sin?α -β ? hcos α sin β 答 山的高度为 . sin?α -β ? 规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时, 要学会审题及根据题意画示意图, 要懂得从 所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素,进行适当的简化. 跟踪演练 1 某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 35°, 沿倾斜角为 20°的斜坡前进 1 000 m 后到达 D 处,又测得山顶的仰角为 65°,则山的高度为________ m(精确到 1 m,sin 35°≈0.574). 答案 812 解析 过点 D 作 DE∥AC 交 BC 于 E,因为∠DAC=20°, 所以∠ADE=160°,于是∠ADB=360°-160°-65°=135°. 又∠BAD=35°-20°=15°,所以∠ABD=30°. 在△ABD 中,由正弦定理,AB= ADsin∠ADB =1 000 2(m). sin∠ABD 在 Rt△ABC 中,BC=ABsin 35°≈812(m). 要点二 测量仰角求高度问题 例 2 如图所示,A、B 是水平面上的两个点,相距 800 m,在 A 点测得山顶 C 的仰角为 45°, ∠BAD=120°,又在 B 点测得∠ABD=45°,其中 D 点是点 C 到水平面的垂足,求山高 CD. 解 由于 CD⊥平面 ABD,∠CAD=45°, 所以 CD=AD. 在△ABD 中,∠BDA=180°-45°-120°=15°, 2 2 800× 2 由 = ,得 AD= = =800( 3+1) (m). sin 15° sin 45° sin 15° 6- 2 4 AB AD AB·sin 45° 即山的高度为 800( 3+1) m. 规律方法 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时,通常都根据题意,从实际问题中抽 象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得出实际问题的解.和高度有关的问题往 往涉及直角三角形的求解. 跟踪演练 2 如图, 测量河对岸的塔高 AB 时, 可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 和 D.现测得∠BCD=α ,∠BDC=β ,CD=s,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ ,求塔高 AB. 解 在△BCD 中,∠BCD=α ,∠BDC=β , ∴∠CBD=180°-(α +β ), ∴ BC sin β = ,即 = . sin[180°-?α +β ?] sin β sin?α +β ? s BC s ∴BC= sin β ·s. sin?α +β ? 在△ABC 中,由于∠ABC=90°,∴ =tan θ , sin β ·tan θ ∴AB=BC·tan θ = ·s. sin?α +β ? 要点三 测量两个不能到达点之间的距离问题 例 3 如图,为测量河对岸 A、B 两点的距离,在河的这边测出 CD 的长为 3 2 km,∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°, AB BC 求 A、B 两点间的距离. 解 在△BCD 中,∠CBD=180°-30°-105°=45°, 由正弦定理得 = , sin 30° sin 45° 则 BC= BC CD CDsin 30° sin 45° = 6 ( km). 4 在△ACD 中,∠CAD=180°-60°-60°=60°, 3 ∴△ACD 为正三角形. ∴AC=CD= 3 (km). 2 在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 45° 3 6 3 6 2 3 6 = + -2× × × = ,∴AB= (km). 4 16 2 4 2 8 4 所以河对岸 A、B 两点间距离为 6 km. 4 规律方法 测量两个不可到达的点之间的距离, 一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求 三角形的边长问题, 然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量 问题,运用正弦定理解决. 跟踪演练 3 要测量河对岸两地 A、B 之间的距离,在岸边选取相距 100 3米的 C、D

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