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高中数学人教版选修1-1习题:第一章1.4全称量词与存在量词含答案

第一章 1.4 常用逻辑用语 全称量词与存在量词 A级 基础巩固 一、选择题 1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数 x,使 x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 1 D.存在一个负数 x,使 >2 x 解析: A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题; B 中 x=0 时, x2=0, 所以 B 既是特称命题又是真命题;C 中因为 3+(- 3)=0,所以 C 是假命题; ) 1 D 中对于任一个负数 x,都有 <0,所以 D 是假命题. x 答案:B 2.命题“?x∈R,x2≠x”的否定是( A.?x?R,x2≠x C.?x?R,x2≠x ) B.?x∈R,x2=x D.?x∈R,x2=x 解析:全称命题的否定是特称命题,所以命题“?x∈R,x2≠x”的否定是“?x∈R, x2=x”. 答案:D 3.下列特称命题中假命题的个数是( ) ①有一条直线与两个平行平面垂直; ②有一条直线与两个相交平面平行; ③存在两条相交直线与同一个平面垂直. A.0 B.1 C.2 D.3 解析:①②都是真命题,③是假命题. 答案:B 4.设函数 f(x)=x2+mx(m∈R),则下列命题中的真命题是( A.任意 m∈R,使 y=f(x)都是奇函数 B.存在 m∈R,使 y=f(x)是奇函数 C.任意 m∈R,使 x=f(x)都是偶函数 D.存在 m∈R,使 y=f(x)是偶函数 解析:当 m=0 时,f(x)=x2 为偶函数,故选 D. 答案:D ?1?x2-2ax ? ? 5.若? ? <33x+a2 恒成立,则实数 a 的取值范围是( 3 ? ? A.0<a<1 3 C.0<a< 4 3 B.a> 4 D.a< 3 4 ) ) 解析:由题意,得-x2+2ax<3x+a2,即 x2+(3-2a)x+a2>0 恒成立,所 3 以Δ=(3-2a)2-4a2<0,解得 a> . 4 答案:B 二、填空题 6.命题“?x0,y0∈Z,3x0-2y0=10”的否定是______________. 解析:特称命题的否定是全称命题,则否定为?x,y∈Z,3x-2y≠10. 答案:?x,y∈Z,3x-2y≠10 7.下列命题中,是全称命题的是________;是特称命题的是________. ①正方形的四条边相等; ②有两个角相等的三角形是等腰三角形; ③正数的平方根不等于 0; ④至少有一个正整数是偶数. 解析:①可表述为“每一个正方形的四条边相等”,是全称命题;②是全称 命题,即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形” ;③可表述为“所有正数的 平方根不等于 0”是全称命题;④是特称命题. 答案:①②③ ④ 8.下面四个命题: ①?x∈R,x2-3x+2>0 恒成立;②?x0∈Q,x2 0=2;③?x0∈R,x2 0+1=0;④ ?x∈R,4x2>2x-1+3x2. 其中真命题的个数为________. 解析:x2-3x+2>0,Δ=(-3)2-4×2>0,所以当 x>2 或 x<1 时,x2- 3x+2>0 才成立,所以①为假命题.当且仅当 x=± 2时,x2=2,所以不存在 x∈Q,使得 x2=2,所以②为假命题.对?x∈R,x2+1≠0,所以③为假命题.4x2 -(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,即当 x=1 时,4x2=2x-1+3x2 成立, 所以④为假命题.所以①②③④均为假命题. 答案:0 三、解答题 9.判断下列各命题的真假,并写出命题的否定. (1)有一个实数 a,使不等式 x2-(a+1)x+a>0 恒成立; (2)对任意实数 x,不等式|x+2|≤0 恒成立; (3)在实数范围内,有些一元二次方程无解. 解:(1)方程 x2-(a+1)x+a=0 的判别式Δ=(a+1)2-4a=(a-1)2≥0, 则不存在实数 a, 使不等式 x2-(a+1)x+a>0 恒成立, 所以原命题为假命题. 它的否定:对任意实数 a,不等式 x2-(a+1)x+a>0 不恒成立. (2)当 x=1 时,|x+2|>0,所以原命题是假命题. 它的否定:存在实数 x,使不等式|x+2|>0 成立. (3)由一元二次方程解的情况,知该命题为真命题. 它的否定:在实数范围内,所有的一元二次方程都有解. 10. 对于任意实数 x, 不等式 sin x+cos x>m 恒成立, 求实数 m 的取值范围. 解:令 y=sin x+cos x,则 y=sin x+cos x= ? 2 ? 2 ? ? 2? sin x+ cos x?= 2 ? 2 ? π? ? 2sin?x+ 4 ?. ? ? π? ? 2sin?x+ 4 ?≥- ? ? 2. π? ? 因为-1≤sin?x+ 4 ?≤1,所以 ? ? 因为?x∈R,sin x+cos x>m 恒成立, 所以只要 m<- 2即可. 2). 故实数 m 的取值范围是(-∞,- B级 能力提升 1.若命题 p:?x∈R,log2x>0,命题 q:?x0∈R,2x0<0,则下列命题为真命 题的是( ) B.p∧q D.p∨(綈 q) A.p∨q C.(綈 p)∧q 解析:命题 p:?x∈R,log2x>0 为假命题,命题 q:?x0∈R,2x0<0 为假命题, 所以 p∨(綈 q)为真命题,故选 D. 答案:D 1 2.已知命题“?x0∈R,2x2 0+(a-1)x0+ ≤0”是假命题,则实数 a 的取值范围 2 是________. 1 解析:由题意可得“对?x∈R,2x2+(a-1)x+ >0 恒成立”是真命题,令Δ 2 =(a-1)2-4<0,得-1<a<3. 答案:(-1,3) 3.已知命题 p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“?x0∈R,x2 0+2ax0+a +2=0”,若命题“p 或 q”是真命题,求实数 a 的取值范围. 解:p?a

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