tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第8课时课后达标检测


[基础达标] 一、选择题 1. (2012· 高考陕西卷)如图所示, 在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1, CA=CC1 =2CB,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为( )

5 5 B. 5 3 2 5 3 C. D. 5 5 解析:选 A.不妨令 CB=1,则 CA=CC1=2. 可得 O(0,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1), → → ∴BC1=(0,2,-1),AB1=(-2,2,1), → → 4-1 BC1· AB1 1 5 → → ∴cos〈BC1,AB1〉= = = = >0, 5 → → 5 × 9 5 |BC1||AB1| → → ∴BC1与AB1的夹角即为直线 BC1 与直线 AB1 的夹角, 5 ∴直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 . 5 2.已知正方体 ABCDA1B1C1D1,则直线 BC1 与平面 A1BD 所成的角的正弦值是( 6 1 A. B. 4 6 6 3 C. D. 3 2 解析: A.

)

选 C.建立空间直角坐标系如图所示. 设正方体的棱长为 1,直线 BC1 与平面 A1BD 所成的角为 θ, 则 D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1), → → → ∴DA1=(1,0,1),DB=(1,1,0),BC1=(-1,0,1). 设 n=(x,y,z)是平面 A1BD 的一个法向量, → ? DA1=x+z=0 ?n· 则? ,令 z=1,则 x=-1,y=1. → ? DB=x+y=0 ?n· ∴n=(-1,1,1),

6 → ? 1+1 ? ∴sin θ=|cos〈n,BC1〉|=? = . ? ? 3· 2? 3 二、填空题 3.(2014· 江苏徐州一模)在?ABCD 中,AB=AC=1,∠ACD=90° ,将它沿对角线 AC 折 起,使 AB 和 CD 成 60° 角,则 B,D 两点间的距离为________.

解析:如图所示. ∵AB=AC=1, → → → → ∴AD= 2,BC= 2,BD=BA+AC+CD, → → → → → → → ∴|BD|2=(BA+AC+CD)· (BA+AC+CD) → → → → → → → → → → → → → → → =BA2+BA· AC+BA· CD+AC· BA+AC2+AC· CD+CD· BA+CD· AC+CD2 → → → → → → → → → =BA2+AC2+CD2+2BA· AC+2AC· CD+2BA· CD. → → → → ∵AB⊥AC,CD⊥AC,∴BA· AC=0,AC· CD=0. → → 当 B,D 在 AC 两侧时,BA和CD成 60° 角; → → 当 B,D 在 AC 同侧时,BA和CD成 120° 角. →2 → → → ∴|BD| =BA2+AC2+CD2+2×1×1×cos 60° , → → → → 或|BD|2=BA2+AC2+CD2+2×1×1×cos 120° , → → ∴|BD|2=12+12+12+1=4,|BD|=2, → → 或|BD|2=1+1+1-1=2,|BD|= 2. 答案:2 或 2 4.(2014· 浙江温州质检)如图(1),在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别在线段 AB,AD 上, 2 AE=EB=AF= FD=4.沿直线 EF 将△AEF 翻折成△A′EF, 使平面 A′EF⊥平面 BEF, 则 3 二面角 A′FDC 的余弦值为________.

解析:取线段 EF 的中点 H,连接 A′H. ∵A′E=A′F,H 是 EF 的中点,∴A′H⊥EF. 又∵平面 A′EF⊥平面 BEF, ∴A′H⊥平面 BEF. 如图(2),可建立空间直角坐标系 Axyz, 则 A′(2,2,2 2),C(10,8,0),F(4,0,0),D(10,0,0), → → 故FA′=(-2,2,2 2),FD=(6,0,0). 设 n=(x,y,z)为平面 A′FD 的一个法向量,

?-2x+2y+2 2z=0, ∴? ?6x=0.
取 z= 2,则 n=(0,-2, 2). 又平面 BEF 的一个法向量 m=(0,0,1), n· m 3 3 故 cos〈n,m〉= = ,∴二面角的余弦值为 . |n|· |m| 3 3 3 答案: 3 三、解答题 5.(2013· 高考江苏卷) 如图,在直三棱柱 A1B1C1ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A =4,点 D 是 BC 的中点.

(1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值. 解:

(1)以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,则 A(0,0,0),B(2,0,0), → → C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),所以A1B=(2,0,-4),C1D=(1,-1,-4). → → A1B· C1D → → 因为 cos〈A1B,C1D〉= → → |A1B||C1D| 18 3 10 = = , 10 20× 18 3 10 所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 . 10 → → → (2)设平面 ADC1 的法向量为 n1=(x,y,z),因为AD=(1,1,0),AC1=(0,2,4),所以 n1· AD → =0,n1· AC1=0,即 x+y=0 且 y+2z=0,取 z=1,得 x=2,y=-2,所以,n1=(2,-2,1) 是平面 ADC1 的一个法向量. 取平面 AA1B 的一个法向量为 n2=(0,1,0), 设平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的大小为 θ. n 1· n2 2 2 5 由|cos θ|=| |= = ,得 sin θ= . |n1|· |n2| 3 3 9× 1 5 因此,平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值为 . 3

6.(2014· 宜昌市模拟)如图,在底面是正方形的四棱锥 PABCD 中,PA⊥平面 ABCD, BD 交 AC 于点 E,F 是 PC 的中点,G 为 AC 上一点. (1)确定点 G 在线段 AC 上的位置,使 FG∥平面 PBD,并说明理由; 2π (2)当二面角 B-PC-D 的大小为 时,求 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值. 3 3 解:(1)当 G 为 EC 中点,即 AG= AC 时,FG∥平面 PBD,理由如下: 4 连接 PE(图略),由 F 为 PC 中点,G 为 EC 中点,知 FG∥PE, 而 FG?平面 PBD,PB?平面 PBD,故 FG∥平面 PBD. (2)作 BH⊥PC 于 H,连接 DH(图略). 因为 PA⊥面 ABCD,四边形 ABCD 是正方形, 所以 PB=PD,又因为 BC=DC,PC=PC, 所以△PCB≌△PCD, 所以 DH⊥PC,且 DH⊥BH. 2π 所以∠BHD 是二面角 B-PC-D 的平面角,即∠BHD= . 3 因为 PA⊥面 ABCD, 所以∠PCA 就是 PC 与底面 ABCD 所成的角. π 连接 EH,则 EH⊥BD,∠BHE= ,EH⊥PC, 3 BE 所以 tan∠BHE= = 3,BE=EC. EH EC EH 3 所以 = 3,所以 sin∠PCA= = , EH EC 3 2 所以 tan∠PCA= . 2 2 所以 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值是 . 2 [能力提升]

1. 如图,在正三棱柱 ABCA1B1C1 中,AB= 2AA1,点 D 是 A1B1 的中点,点 E 在 A1C1 上且 DE⊥AE.

(1)证明:平面 ADE⊥平面 ACC1A1;

(2)求直线 AD 和平面 ABC1 所成角的正弦值. 解: (1)证明: 由正三棱柱 ABCA1B1C1 的性质知 AA1⊥平面 A1B1C1.又 DE?平面 A1B1C1, 所以 DE⊥AA1. 而 DE⊥AE,AA1∩AE=A,所以 DE⊥平面 ACC1A1.又 DE?平面 ADE,故平面 ADE⊥ 平面 ACC1A1.

(2)如图所示,设 O 是 AC 的中点,以 O 为原点建立空间直角坐标系.不妨设 AA1= 2, 3 1 则 AB=2, 相关各点的坐标分别是 A(0, -1,0), B( 3,0,0), C1(0,1, 2),D? ,- , 2?. 2 ?2 ? → → 易知AB=( 3,1,0),AC1=(0,2, 2), 3 1 → AD=? , , 2?. ?2 2 ? 设平面 ABC1 的一个法向量为 n=(x,y,z), → ? AB= 3x+y=0, ?n· 则有? → ? AC1=2y+ 2z=0. ?n· 3 y,z=- 2y.故可取 n=(1,- 3, 6). 3 → n· AD 2 3 10 → 所以 cos〈n,AD〉= = = . 5 → 10 × 3 |n|· |AD| 10 由此即知,直线 AD 和平面 ABC1 所成角的正弦值为 . 5 2.(2013· 高考湖北卷)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A,B 的点,直线 PC⊥平面 ABC,E,F 分别是 PA,PC 的中点. 解得 x=-

(1)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l,试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系,并加以 证明; → 1→ (2)设(1)中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D, 且点 Q 满足DQ= CP.记直线 PQ 与平面 2 ABC 所成的角为 θ,异面直线 PQ 与 EF 所成的角为 α,二面角 ElC 的大小为 β,求证:sin θ=sin αsin β . 解:(1)直线 l∥平面 PAC.证明如下: 连接 EF,因为 E,F 分别是 PA,PC 的中点,所以 EF∥AC. 又 EF?平面 ABC,且 AC?平面 ABC,所以 EF∥平面 ABC.而 EF?平面 BEF,且平面 BEF∩平面 ABC=l, 所以 EF∥l.因为 l?平面 PAC,EF?平面 PAC,所以直线 l∥平面 PAC. (2)法一(综合法):如图(1),连接 BD,由(1)可知交线 l 即为直线 BD,且 l∥AC. 因为 AB 是⊙O 的直径,所以 AC⊥BC,于是 l⊥BC.

已知 PC⊥平面 ABC,而 l?平面 ABC,所以 PC⊥l. 而 PC∩BC=C,所以 l⊥平面 PBC. 连接 BE,BF,因为 BF?平面 PBC,所以 l⊥BF. 故∠CBF 就是二面角 ElC 的平面角,即∠CBF=β. 1 1 → → 由DQ= CP,作 DQ∥CP,且 DQ= CP. 2 2 连接 PQ,DF,因为 F 是 CP 的中点,CP=2PF, 所以 DQ=PF,从而四边形 DQPF 是平行四边形,PQ∥FD. 连接 CD,因为 PC⊥平面 ABC, 所以 CD 是 FD 在平面 ABC 内的射影. 故∠CDF 就是直线 PQ 与平面 ABC 所成的角,即∠CDF=θ. 又 BD⊥平面 PBC,所以 BD⊥BF,所以∠BDF 为锐角. 故∠BDF 为异面直线 PQ 与 EF 所成的角,即∠BDF=α,于是在 Rt△DCF,Rt△FBD, Rt△BCF 中,分别可得 CF BF CF sin θ= ,sin α= ,sin β= , DF DF BF BF CF CF 从而 sin αsin β= · = =sin θ, DF BF DF 即 sin θ=sin αsin β.

1 → 1→ 法二(向量法):如图(2),由DQ= CP,作 DQ∥CP,且 DQ= CP.连接 PQ,EF,BE, 2 2 BF,BD. 由(1)可知交线 l 即为直线 BD. → → → 以点 C 为原点,向量CA,CB,CP所在直线分别为 x,y,z 轴,建立如图(2)所示的空间 直角坐标系,设 CA=a,CB=b,CP=2c,则有 C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),P(0,0,2c), 1 ? Q(a,b,c),E? ?2a,0,c?,F(0,0,c). 1 → → ? → 于是FE=? ?2a,0,0?,QP=(-a,-b,c),BF=(0,-b,c), → → |FE· QP| a 所以 cos α= = 2 , → → a + b2+c2 |FE||QP| b2+c2 从而 sin α= 1-cos2α= 2 . a +b2+c2 取平面 ABC 的一个法向量为 m=(0,0,1), → |m· QP| c 可得 sin θ= = 2 . → a + b2+c2 |m||QP| 设平面 BEF 的一个法向量为 n=(x,y,z). 1 → ? ? FE=0, ?n· ?2ax=0, 由? 可得? 取 n=(0,c,b). → ?n· ?-by+cz=0, BF=0, ? ?

b |m· n| = 2 2, |m||n| b +c c 2 从而 sin β= 1-cos β= 2 2. b +c 于是|cos β|= a +b +c =sin θ,即 sin θ=sin αsin β. 3. (2014· 江西省七校联考)如图,ABCD 是边长为 3 的正方形,DE⊥平面 ABCD,AF∥ DE,DE=3AF,BE 与平面 ABCD 所成的角为 60° . 故 sin αsin β= b2+c2
2 2 2·

c c 2= 2 b +c a +b2+c2
2

(1)求证:AC⊥平面 BDE; (2)求二面角 FBED 的余弦值; (3)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的位置,使得 AM∥平面 BEF,并证明 你的结论. 解:(1)证明:∵DE⊥平面 ABCD, ∴DE⊥AC. ∵ABCD 是正方形, ∴AC⊥BD,又 DE∩BD=D, ∴AC⊥平面 BDE. (2)∵DE⊥平面 ABCD, ∴∠EBD 就是 BE 与平面 ABCD 所成的角, 即∠EBD=60° . ED ∴ = 3.由 AD=3,得 BD=3 2,DE=3 6,AF= 6. BD

如图, 分别以 DA, DC, DE 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系, 则 A(3,0,0), F(3,0, 6),E(0,0,3 6),B(3,3,0),C(0,3,0). → → ∴BF=(0,-3, 6),EF=(3,0,-2 6). → ? BF=0 ?n· 设平面 BEF 的一个法向量为 n=(x,y,z),则? , → ?n· EF=0 ?

?-3y+ 6z=0 即? .令 z= 6,则 n=(4,2, 6). ?3x-2 6z=0 ∵AC⊥平面 BDE, → ∴CA=(3,-3,0)为平面 BDE 的一个法向量.

→ n· CA 6 13 → ∵cos〈n,CA〉= = = . → 26×3 2 13 |n||CA| 13 故二面角 FBED 的余弦值为 . 13 → (3)依题意,设 M(t,t,0)(t>0),则AM=(t-3,t,0), → ∵AM∥平面 BEF,∴AM· n=0, 即 4(t-3)+2t=0,解得 t=2. → 2→ ∴点 M 的坐标为(2,2,0),此时DM= DB, 3 ∴点 M 是线段 BD 上靠近 B 点的三等分点.


推荐相关:

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第8课....doc

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第8课时课后达标检测 - [


2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第八章第8课....doc

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第章第8课时课后达标检测 - [


2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第6课....doc

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第6课时课后达标检测 - [


2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第八章第7课....doc

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第八章第7课时课后达标检测 - [


2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第1课....doc

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第1课时课后达标检测 - [基础达标] 一、选择题 1.(2014 恩施市高三检测考试)一个正方体被过其中三个顶点的...


2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第5课....doc

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第5课时课后达标检测 - [


2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第2课....doc

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第2课时课后达标检测 - [


2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第4课....doc

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第4课时课后达标检测 - [


2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第三章第5课....doc

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第章第5课时课后达标检测 - [


2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第3课....doc

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第3课时课后达标检测 - [


2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第二章第5课....doc

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第章第5课时课后达标检测 - [


2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第三章第8课....doc

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第章第8课时课后达标检测 - [


【优化方案】2015高考数学总复习(湖北理科)课后达标检....doc

优化方案2015高考数学总复习(湖北理科)课后达标检测:第3章 第8课时]


2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第八章第5课....doc

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第八章第5课时课后达标检测 - [


2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第三章第1课....doc

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第章第1课时课后达标检测 - [


2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第二章第11课....doc

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第章第11课时课后达标检测 -


2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第八章第9课....doc

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第八章第9课时课后达标检测 - [


2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第十章第2课....doc

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第章第2课时课后达标检测 - [


2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第八章第6课....doc

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第八章第6课时课后达标检测 - [


2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第八章第2课....doc

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第八章第2课时课后达标检测 - [

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com