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山东省烟台2014届高三第二次模拟考试文数


山东省烟台 2014 届高三第二次模拟考试 文科数学 2014.5
注意事项: 1.本试题满分 150 分,考试时间为 120 分钟. 2.使用答题纸时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写,作图时,可用 2B 铅笔.要字迹工整,笔迹 清晰.超出答题区书写的答案无效;在草稿纸,试题卷上答题无效. 3.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 一、选择题:本大题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分.每小题给出四个选项,只有一个选项符合题目要 求,把正确选项的代号涂在答题卡上. 1.设复数 z ? 1 ? A. 4i

2 (其中 i 为虚数单位),则 z ? 3z 的虚部为 i B.4 C. ? 4i D. ?4

2. (2 ? a)(a ?1) (0 ? a ? 2) 的最大值为 A.0 B. 2 C.

3 2

D.

9 4

3.下列有关命题的说法正确的是 A.命题“若 x 2 ? 1, 则x ? 1”的否命题为:“若 x 2 ? 1, 则x ? 1 ”;
2 B.“ x ? ?1 ”是“ x ? 5x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件;

C.命题“ ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”;
2 2

D.命题“若 x ? y, 则sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. 4.已知 ? ? ( ?????? ) , sin(? ?

?

?

2

3 ) ? ,则 sin ? ? 4 5
C. ?

A.

2 10

B.

7 2 10

2 7 2 或 10 10

D. ?

7 2 10

5.已知向量 a ? ( x ? 1,2) , b ? (4, y) 且 a ? b ,则 9 x ? 3 y 的最小值为
A. 2 3
2

B.6
2

C.12
2

D. 3 2

6.若双曲线 C : 4 x ? y ? ? (? ? 0) 与抛物线 y ? 4 x 的准线交于 A, B 两点,且 AB ? 2 3 ,则 ? 的值 是 A. 1 B. 2 C. 4 7. 如果在一次试验中,测得( x, y )的四组数值分别是

D. 13

x
y
A. 6.9 B.

1 3 7.1

2 3.8

3 5.2 C. 7.04

4 6 D.7.2

? ? 1.04 x ? a ? ,据此模型预报当 x 为 5 时, y 的值为 根据上表可得回归方程 y

8.已知函数 g ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时 g ( x) ? ? ln(1 ? x) ,设函数

-1-

? x3 f ( x) ? ? ? g ( x)
A. (??,1) C.(1,2)

( x ? 0) ( x ? 0)

,若 f (2 ? x2 ) ? f ( x) ,则实数 x 的取值范围是 B. (??, ?2) D. (?2,1)

(2, ??)

(1, ??)

9.已知空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

4 3 C. 4
A.

8 3 D. 8
B.

10.已知函数 f ( x) ? ( x ? a)( x2 ? bx ? c), g ( x) ? (ax ? 1)(cx2 ? bx ? 1) ,集合

S ? ? x f ( x ) ? 0, x ? R? , T ? ? x g ( x ) ? 0, x ? R? ,记 cardS ,cardT 分别为集合 S , T
中的元素个数,那么下列结论不正确的是 A. cardS ? 1,cardT ? 0 B. cardS ? 1,cardT ? 1

C. cardS ? 2,cardT ? 2 D. cardS ? 2,cardT ? 3 二、填空题:本大题共有 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把正确答案填在答题卡的相应位置. 11. 执行如右图所示程序框图, 若输入 A 的值为 2, 则输出的 P ?

12.如上左图,目标函数 z ? ax ? y 的可行域为四边形 OACB (含 点 C (3, 2) 是该目标函数取最小值时的最优解,则 a 的取值范围是

边界) , 若

2 2 ) 最 长 弦 与 最 短 弦 分 别 为 AC 与 BD , 则 四 边 形 13. 在 圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 0 内 , 过 点 E ( 0 , 1的

ABCD 的 面 积 为 14.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 20 海里的速度沿南偏东 40°方向直线航行.30 分钟后到达 B 处.在 C
处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70°,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°, 那么 B 、 C 两点间的距离是 15.已知函数 f ( x) 的定义域[-1,5] ,部分对应值如表, f ( x) 的导函数 y ? f ' ( x) 的图象如图所示,下列 关于函数 f ( x) 的命题: ①函数 f ( x) 的值域为[1,2] ; ②函数 f ( x) 在[0,2]上是减函数;
-2-

③当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x) ? a 最多有 4 个零点; ④如果当 x ?[?1, t ] 时, f ( x) 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4. 其中正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答时写出必要的文字说 明过程或推理步骤. 16.(本小题满分 12 分) 某数学兴趣小组有男女生各 5 名.以下茎叶图记录了该 小组同学在一次数学测试中的成绩(单位:分).已知男生数 据的中位数为 125 ,女生数据的平均数为 126 .8 . (1)求 x , y 的值; (2) 现从成绩高于 125 分的同学中随机抽取两名同学, 求抽 取的两名同学恰好为一男一女的概率. 17.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? sin(2? x ? (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)若△ ABC 的内角为 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c (其中 b< c ) ,且 f ( A) ? 2 ,

明、证

?
6

) ? 2sin 2 ? x ( ? ? 0 ) ,其图象的两个相邻对称中心的距离为

? . 2

a ? 7 , ?ABC 面积为
18.(本小题满分 12 分)

3 3 ,求 b, c 的值. 2

o 如图, 四边形 PCBM 是直角梯形,?PCB ? 90 ,PM // BC ,PM ? 1 ,BC ? 2 .又 AC ? 1 ,

?ACB ? 120o , AB ? PC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角
为 60° . (1)求证: PC ? AC ; (2)求三棱锥 VB ? MAC 的体积. A C P M

B

19.(本小题满分 12 分) 在数列 {an } 中,已知 a1 ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {cn }满足cn ? an ? bn ,求 ?cn ? 的前 n 项和 S n .

1 a n ?1 1 , ? , bn ? 2 ? 3log 1 an (n ? N? ) . 4 an 4 4

20.(本小题满分 13 分)
-3-

已知向量 a ? x, 3 y , b = ?1 , 0? ,且 a ? 3b ? a ? 3b ? 0 . (1)求点 Q ? x,y ? 的轨迹 C 的方程; (2)设曲线 C 与直线 y ? kx ? m 相交于不同的两点 M 、N ,又点 A? 0, ?1? ,当 AM ? AN 时, 求实数 m 的取值范围.

?

?

?

??

?

21.(本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? x2 ? ax ? ln x(a ? R ). (1)若 a ? 0 时,求函数 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若函数 f ( x) 在 ?1,2? 上是减函数,求实数 a 的取值范围; (3)令 g (x) ? f (x) ?x 2 , 是否存在实数 a ,当 x ? (0,e](e 是自然对数的底)时,函数 g ( x) 的最小值是

3 .若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

参考答案 一、选择题: 二、填空题: 11. 4 12. ?2 ? a ? ?

BCDBB
2 3

ABDBD

13. 10 2

14. 5 2 海里

15. ① ② ③

三、解答题: 16.解:(1) 男生成绩为 119 , 122 , 120 ? x , 134 , 137 其中位数为 125 ,故 x ? 5 .?????????? 3 分 女生成绩为 119 , 125 , 120? y , 128 , 134
-4-

平均数为 126 .8 ?

119 ? 125 ? 120 ? y ? 128 ? 134 , 5

解之得 y ? 8 ?????????? 6 分 (2) 设成绩高于 125 的男生分别为 a1 、 a2 ,记 a1 ? 134 , a 2 ? 137 设成绩高于 125 的女生分别为 b1 、 b2 、 b3 ,记 b1 ? 128 , b2 ? 128, b3 ? 134 从高于 125 分同学中取两人的所有取法: (a1 , a2 ) , (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1 , b3 ) ,

(a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) , (b1 , b2 ) (b1 , b3 ) (b2 , b3 ) 共 10 种,?????? 8 分
其中恰好为一男一女的取法:

(a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1 , b3 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) 共 6 种,?????? 10 分 6 3 ? 因为 10 5 3 故抽取的两名同学恰好为一男一女的概率为 . ??????????? 12 分 5 ? 17.解: (1) f ( x) ? sin(2? x ? ) ? 1 ? cos 2? x 6
?

? 3 1 sin 2?x ? cos 2?x ? 1 ? sin( 2?x ? ) ? 1 ???? 3 分 6 2 2
2? ? ? ,? ? 1 2?

由题意知 T ? ? , 所以

f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? 1 ??????????? 6 分

(2)由 f ( A) ? 2 ,得 sin( 2 A ? 所以 A ?

?
6

) ?1 ,

0? A?? ,

?
3

,?

3 3 1 ? 3 ? S ?ABC ? bc sin ? bc 即 bc ? 6 , ?????? 8 分 2 2 3 4
2 2 2

又 a ? b ? c ? 2bc cos A ,将 a ? 7 , A ?

?
3

代入得

b 2 ? c 2 ? 13 ,?????????? 10 分
又b ? c 解?

?bc ? 6 ?b ? c ? 13
2 2

得?

?b ? 2 ?????????? 12 分 ?c ? 3

18. (1)证明:∵ PC ? BC , PC ? AB ,又 AB ? BC ? B ∴ PC ⊥平面 ABC , AC ? 平面 ABC, ∴ PC ? AC ?????? 5 分 (2)过 M 做 MN ? BC ,连接 AN ,
o 则 CN ? PM ? 1 ,MN⊥平面 ABC, ?AMN ? 60 ?????? 7 分

在 ?ACN 中,由余弦定理得,

AN 2 ? AC 2 ? CN 2 ? 2 AC ? CN c o 1 s2o 0? 3

在 Rt ?AMN 中, AN ? 3, ?AMN ? 60o , ∴ MN ? 1 ∴点 M 到平面 ACB 的距离为 1, P
-5-

M

C

B

而 S?ACB ?

1 3 ???? 10 分 AC ? CB sin120 ? 2 2 . 1 3 ???? 12 分 S?ACB ? MN ? 3 6

∴ VB ? ACM ? VM ? ACB ?

19. 解: (1)∵

1 1 an ?1 1 ? , ∴数列 {an } 是首项为 ,公比为 的等比数列, 4 4 an 4

∴ a n ? ( ) (n ? N *) .????????????????? 6 分
n

1 4

(2)由(1)知, a n ? ( ) , bn ? 3n ? 2 ,
n

1 4

∴ cn ? (3n ? 2) ? ( ) , ????????????????????8 分
n

1 4

1 ?1? ?1? ?1? ∴ S n ? 1 ? ? 4 ? ? ? ? 7 ? ? ? ? ? ? (3n ? 5) ? ? ? 4 ? 4? ? 4? ? 4?

2

3

n ?1

?1? ? (3n ? 2) ? ? ? ? 4?

n

n ?1 n ?1 ? 1 ?2 ?1? ?1? ? ? ?1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? (3n ? 5) ? (3n ? 2)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4? ?4? ? ?4 ? 4 ? ? ?

??????????????????????????????10 分

1 1 [1 ? ( ) n ] n(1 ? 3n ? 2) 4 3n 2 ? n 1 1 1 n 4 ? ? ? ? ? ? ( ) ????????12 分 1 2 2 3 3 4 1? 4
20. 解:(1)由题意得 a ? 3b= x + 3, 3 y , a ? 3b= x ? 3, 3 y , ∵ a ? 3b ? a ? 3b ? 0 ,∴ x ? 3 化简得

?

??

?

?

?

?

?? x ? 3 ? ?

?

?

3y ? 3y ? 0 ,

x2 x2 ? y 2 ? 1,∴ Q 点的轨迹 C 的方程为 ? y 2 ? 1. ???4 分 3 3 y ? kx ? m ? ? 2 2 2 (2)由 ? x 2 得 ? 3k ? 1? x ? 6mkx ? 3 ? m ? 1? ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?3 2 2 由于直线与椭圆有两个不同的交点,∴ ? ? 0 ,即 m ? 3k ? 1 . ①??6 分
(i) 当 k ? 0 时 , 设 弦 MN 的 中 点 为 P ? xP,yP ? , xM、xN 分 别 为 点 M 、N 的 横 坐 标 , 则

xP ?

xM ? x N 3mk ?? 2 , 2 3k ? 1 m yP ? 1 m ? 3k 2 ? 1 , , ????8 分 k AP ? ?? 3k 2 ? 1 xP 3mk

从而 yP =kxP ? m ?

又 AM ? AN ,∴ AP ? MN . 则?

m ? 3k 2 ? 1 1 ? ? ,即 2m ? 3k 2 ? 1 , 3mk k
-6-



2 将②代入①得 2m ? m ,解得 0 ? m ? 2 ,由②得 k ?
2

2m ? 1 1 ? 0 ,解得 m ? , 3 2
????10 分
2

1 ? 故所求的 m 的取值范围是? ?2,2?. (ii)当 k =0 时, AM ? AN ,∴ AP ? MN , m ? 3k ? 1 ,
2

解得 ?1 ? m ? 1 . 1 ? 综上,当 k ? 0 时,m 的取值范围是? ?2,2?, 当 k =0 时,m 的取值范围是 ? ?1 , 1? .

????12 分

??13 分

21.解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? ln x

? f ?( x) ? 2 x ?

1 x

??? 1 分

? f ?(1) ? 1, f (1) ? 1 ,函数 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 0 ? 3 分
(2)函数 f ( x) 在 ?1,2? 上是减函数

? f ?( x) ? 2 x ? a ?

1 2 x 2 ? ax ? 1 ? ? 0 在 [1, 2] 上恒成立 ????? 4 分 x x

? a ? ?1 ?h(1) ? 0 ? 令 h( x) ? 2x ? ax ?1 ,有 ? 得? 7 ????????????? 6 分 ?h(2) ? 0 ? a ? ? ? 2
2

?a ? ?

7 ?????????????????????????????? 7 分 2

(3)假设存在实数 a ,使 g ( x) ? ax ? ln x 在 x ? (0, e] 上的最小值是 3

g ?( x ) ? a ?

1 ax ? 1 ? ???????????????????????? 8 分 x x

当 a ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,? g ( x) 在 (0, e] 上单调递减, g ( x)min ? g (e) ? ae ?1 ? 3

4 (舍去)????????????????????????????10 分 e 1 1 当 a ? 0 且 ? e 时 , 即 0 ? a ? , g ?( x) ? 0 在 (0, e] 上 恒 成 立 , ? g ( x) 在 (0, e] 上 单 调 递 减 a e 4 ? g ( x)min ? g (e) ? ae ?1 ? 3 , a ? (舍去)???????????? 11 分 e 1 1 1 1 当 a ? 0 且 ? e 时,即 a ? 时,令 g ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? ; g ?( x) ? 0 ,得 ? x ? e a e a a 1 1 ? g ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a 1 ? g ( x) min ? g ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e2 满足条件??????????????13 分 a a?
综上所述,存在实数 a ? e ,使 g ( x) ? ax ? ln x 在 x ? (0, e] 上的最小值是 3.?? 14 分
2

-7-


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