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高中数学第三单元导数及其应用习题课导数的应用教学案新人教B版选修1_1

第三单元 导数及其应用 学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、 最值与导数的关系.3.掌握 函数的单调性、极值与最值的综合应用. 知识点一 函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a,b)内的函数 y=f(x) f′(x)的正负 f′(x)>0 f′(x)<0 f(x)的单调性 单调递________ 单调递________ 知识点二 求函数 y=f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)=0,当 f′(x0)=0 时, (1)如果在 x0 附近的左侧________,右侧________,那么 f(x0)是极大值. (2)如果在 x0 附近的左侧________,右侧________,那么 f(x0)是极小值. 知识点三 函数 y=f(x)在[a,b]上最大值与最小值的求法 1.求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值. 2.将函数 y=f(x)的________与端点处的函数值________比较,其中________的一个是最大 值,________的一个是最小值. 类型一 函数与其导函数之间的关系 例 1 已知函数 y=xf′(x)的图象如图所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数), 则 y=f(x) 的图象大致是( ) 1 反思与感悟 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时, 注意抓住各自的关键要素, 对于原函数,要重点考查其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导 函数,则应考察其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并考察这些区间与原 函数的单调区间是否一致. 跟踪训练 1 设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 f(x)在 x=-2 处取得极 小值,则函数 y=xf′(x)的图象可能是( ) 类型二 构造函数求解 命题角度 1 比较函数值的大小 例 2 已知定义域为 R 的奇函数 y=f(x)的导函数为 y=f′(x), 当 x≠0 时, f′(x)+ f?x? x ) 1 1 1 1 <0, 若 a= f( ), b=- 2f(- 2), c=(ln )f(ln ), 则 a, b, c 的大小关系正确的是( 2 2 2 2 A.a<c<b C.a<b<c B.b<c<a D.c<a<b 反思与感悟 本例中根据条件构造函数 g(x)=xf(x),通过 g′(x)确定 g(x)的单调性,进而 确定函数值的大小,此类题目的关键是构造出恰当的函数. 跟踪训练 2 已知函数 f(x)在定义域[0, +∞)上恒有 f(x)>f′(x). 若 a= 则 a 与 b 的大小关系为________.(用“>”连接) f?2? e 2 , b= f?3? e 3 , 命题角度 2 求解不等式 例 3 定义域为 R 的可导函数 y=f(x)的导函数 f′(x)满足 f(x)<f′(x),且 f(0)=2,则不 等式 f(x)>2e 的解集为( x ) 2 A.(-∞,0) C.(0,+∞) B.(-∞,2) D.(2,+∞) 反思与感悟 根据所求结论与已知条件, 构造函数 g(x)= 调性,利用单调性得到 x 的取值范围. f?x? e x , 通过导函数判断 g(x)的单 跟踪训练 3 函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为( A.(-1,1) C.(-∞,-1) ) B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞) 命题角度 3 利用导数证明不等式 例 4 已知 x>1,证明不等式 x-1>ln x. 反思与感悟 利用函数的最值证明不等式的基本步骤 (1)将不等式构造成 f(x)>0(或<0)的形式. (2)利用导数将函数 y=f(x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出. (3)证明函数 y=f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立. 跟踪训练 4 证明:当 x>0 时,2+2x<2e . x 类型三 利用导数研究函数的极值与最值 例 5 已知函数 f(x)=x +ax +b 的图象上一点 P(1,0), 且在点 P 处的切线与直线 3x+y=0 平行. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在区间[0,t](0<t<3)上的最大值和最小值; (3)在(1)的结论下,关于 x 的方程 f(x)=c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根,求实数 c 的取值范围. 3 2 3 反思与感悟 (1)求极值时一般需确定 f′(x)=0 的点和单调性, 对于常见连续函数, 先确定 单调性即可得极值点,当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最值点. (2)求闭区间上可导函数的最值时, 对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断, 只需要直 接与端点的函数值比较即可获得. 跟踪训练 5 已知函数 f(x)=ax +(a-1)x +48(a-2)x+b 的图象关于原点成中心对称. (1)求 a,b 的值; (2)求 f(x)的单调区间及极值; (3)当 x∈[1,5]时,求函数的最值. 3 2 1.已知函数 f(x)=x +bx +cx 的图象如图所示,则 x1+x2等于( 3 2 2 2 ) A. 4 7 B. 3 3 8 C. 3 16 D. 3 2.设 f(x)、g(x)是定义在 R 上的恒大于 0 的可导函数,且 f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,则 当 a<x<b 时有( ) A.f(x)g(x)>f(b)g(b) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(b)>f(b)g(x) D.f(x)g(x)>f(a)g(a) 3.若函数 f(x)=(x-2)(x +c)在 x=2 处有极值,则函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线的斜 率为________. 4.函数 f(x)=x -3x-1,若对于区间[

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