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【2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习:1.2.1充分条件与必要条件


第一章

1.2

第 1 课时

一、选择题 1.(2013· 湖南文,2)“1<x<2”是“x<2”成立的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 [答案] A [解析] 因为“1<x<2”?“x>2”,而 x>2?/ “1<x<2”,故“1<x<2”是“x>2”的充分不必要条 件,故选 A. 2.(2014· 揭阳一中期中)设集合 M={x||x-1|<2},N={x|x(x-3)<0},那么“a∈M”是 “a∈N”的( ) B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.必要而不充分条件 C.充分必要条件 [答案] A

[解析] M={x|-1<x<3},N={x|0<x<3},∵N M,∴选 A. 3. (2014· 江西临川十中期中)已知平面向量 a, b 满足|a|=1, |b|=2, a 与 b 的夹角为 60° , 则“m=1”是“(a-mb)⊥a”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] C [解析] ∵|a|=1,|b|=2, 〈a,b〉=60° ,∴a· b=1×2×cos60° =1,(a-mb)⊥a?(a- mb)· a=0?|a|2-ma· b=0?m=1,故选 C. 4.(2013· 北京理,3)“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] A [解析] 本题考查充要条件及三角函数的性质. 当 φ=π 时,y=sin(2x+π)=-sin2x,此时图象过原点;而当函数图象过原点时,φ 可 以取其他值.选 A. x+1 5.(2014· 长春市调研)已知 p:|x-2|≤3,q: ≤0,则 p 是 q 的( x-5 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

[答案] B 6.“B=60° ”是“△ABC 三个内角 A,B,C 成等差数列”的( A.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 [答案] B [解析] 在△ABC 中,A+B+C=180° ,若 B=60° ,则 A+C=180° -60° =120° ,∴A +C=2B,∴△ABC 三个内角 A,B,C 成等差数列.若△ABC 三个内角 A,B,C 成等差数 列,则 A+C=2B,∴A+B+C=3B=180° ,∴B=60° .故选 B. 二、填空题 7.已知 a,b 是实数,则“a>0,且 b>0”是“a+b>0,且 ab>0”的________条件. [答案] 充要 [解析] ∵a>0,b>0,∴a+b>0,ab>0,∴充分性成立; ∵ab>0,∴a 与 b 同号, 又 a+b>0,∴a>0 且 b>0,∴必要性成立. 故“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的充要条件. 8.“lgx>lgy”是“ x> y”的________________________条件. [答案] 充分不必要 [解析] 由 lgx>lgy?x>y>0? x> y,充分条件成立. 又由 x> y成立,当 y=0 时,lgx>lgy 不成立,必要条件不成立. 三、解答题 9.求证:关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个负实根的充要条件是 m≥2. [证明] (1)充分性:∵m≥2,∴Δ=m2-4≥0, 方程 x2+mx+1=0 有实根, 设 x2+mx+1=0 的两根为 x1,x2, 由韦达定理知:x1x2=1>0,∴x1、x2 同号, 又∵x1+x2=-m≤-2, ∴x1,x2 同为负根. (2)必要性:∵x2+mx+1=0 的两个实根 x1,x2 均为负,且 x1· x2=1, 1? ∴m-2=-(x1+x2)-2=-? ?x1+x ?-2
1

)

B.充要条件 D.既不充分也不必要条件

x2 ?x1+1?2 1+2x1+1 =- =- ≥0. x1 x1 ∴m≥2.综上(1),(2)知命题得证. 10.指出下列各组命题中,p 是 q 的什么条件: (1)在△ABC 中,p;A>B,q:sinA>sinB;

(2)p:|x+1|>2,q:(x-2)(x-3)<0. [分析] 判断 p 是 q 的什么条件,要从两方面进行判断,一看由 p 能否推出 q,二看由 q 能否推出 p. [解析] (1)在△ABC 中,角 A,B 所对的边分别为 a,b,其外接圆的半径为 R,∵A>B, ∴ a>b , 又 a = 2RsinA , b = 2RsinB , ∴ 2RsinA>2RsinB , ∴ sinA>sinB. 反 之 , sinA>sinB,2RsinA>2RsinB,∴a>b,∴A>B,故 p 是 q 的充要条件. (2)p:|x+1|>2?x>1 或 x<-3,q:2<x<3,q 所对应的集合真包含于 p 所对应的集合. 故 p 是 q 的必要不充分条件.

一、选择题 1 11.(2014· 重庆市万州分水中学期中)“m= ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m 2 -2)x+(m+2)y-3=0 互相垂直”的( A.充分必要条件 C.必要而不充分条件 [答案] B [解析] (m+2)x+3my+1=0 与(m-2)x+(m+2)y-3=0 互相垂直的充要条件是(m+ 2)(m-2)+3m(m+2)=0,即(m+2)(4m-2)=0. 1 1 ∴m=-2,或 m= .故 m= 为两直线垂直的充分不必要条件. 2 2 a b 12.“b2=ac”是“ = 成立”的( b c A.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 [答案] C a b a b a b [解析] b2=ac?/ = ,如 b=0,c=0 时,b2=ac,而 , 无意义.但 = ?b2=ac, b c b c b c a b ∴“b2=ac”是“ = ”的必要不充分条件. b c 13.(2014· 武汉调研)已知条件 p:x2-3x-4≤0;条件 q:x2-6x+9-m2≤0,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 m 的取值范围是( A.[-1,1] C.(-∞,-4]∪[4,+∞) [答案] C [解析] p:-1≤x≤4,q:3-m≤x≤3+m(m>0)或 3+m≤x≤3-m(m<0), ) B.[-4,4] D.(-∞,-1]∪[1,+∞) ) B.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

m>0, ? ? 依题意,?3-m≤-1 ? ?3+m≥4

m<0, ? ? ,或?3+m≤-1, ? ?3-m≥4,

解得 m≤-4 或 m≥4.选 C. 14.(2014· 吉林市二模)若 x,y∈R,则 x、y≤1 是 x2+y2≤1 成立的( A.必要而不充分条件 C.充要条件 [答案] A [解析] x2+y2≤1?x,y≤1 而当 x=-5,y=-2 时,满足 x,y≤1,但 x2+y2≤1 不成 立,所以 x,y≤1?/ x2+y2≤1,故选 A. 二、填空题 15.直线 x+y+m=0 与圆(x-1)2+(y-1)2=2 相切的充要条件是________. [答案] m=-4 或 0 [解析] 直线 x+y+m=0 与圆(x-1)2+(y-1)2=2 相切?圆心(1,1)到直线 x+y+m=0 的距离等于 2 ? |1+1+m| = 2?|m+2|=2?m=-4 或 0. 2 B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

16.已知数列{an},那么“对任意的 n∈N+,点 Pn(n,an),都在直线 y=2x+1 上”是 “{an}为等差数列”的________条件. [答案] 充分不必要 [解析] 点 Pn(n,an)都在直线 y=2x+1 上,即 an=2n+1,∴{an}为等差数列, 但是{an}是等差数列却不一定就是 an=2n+1. 三、解答题 17.已知 p、q 都是 r 的必要条件,s 是 r 的充分条件,q 是 s 的充分条件,那么: (1)s 是 q 的什么条件? (2)r 是 q 的什么条件? (3)p 是 q 的什么条件? [分析] 可将 r,p,q,s 的关系用图表示,然后利用递推法结合图示作答. [解析] 由图示可知,

(1)因为 q?s,s?r?q,所以 s 是 q 的充要条件.

(2)因为 r?q,q?s?r,所以 r 是 q 的充要条件. (3)因为 q?s?r?p,? / q,所以 p 是 q 的必要不充分条件.


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