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【创新方案】2015届高考数学(新课标版,文)二轮复习专题讲解课件:专题2 2、考前必会的 25 个规律、推论


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二、考前必会的25个规律、推论

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1.集合问题必须牢记的重要结论 (1)a 与{a}的区别:一般地,a 表示一个元素,而{a}表 示只有一个元素 a 的集合. (2)易混淆 0,?,{0}:0 是一个实数,?是一个集合,它 含有 0 个元素,{0}是以 0 为元素的单元素集合,但是 0??, 而??{0}. (3)?是任意一个集合的子集,是任意一个非空集合的真 子集.所以当两个集合之间存在子集关系时,不要忘记对空 集的讨论,即若 A?B,则应分 A=?和 A≠?两种情况进行分 析.
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(4)若集合是不等式的解集, 则在两个集合的交集与并集 以及集合的补集的求解过程中要注意端点值的取与舍,不能 遗漏,在利用数轴表示集合时,注意端点值的标注,区分实 点和虚点. (5)求解集合的补集时, 要先求出集合, 然后再写其补集, ? ? ? ? ? 1 ? 不要直接转化条件导致出错 , 如 A = ? x?x >0? 的补集是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? {x|x≤0},而不是?x?x ≤0? . ? ? ? ? (6)交集的补集等于补集的并集, 即?U(A∩B)=(?UA)∪(? UB) ;并集的补集等于补集的交集 , 即 ? U(A ∪ B) = ( ? UA)∩( ? UB).
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(7)对于含有 n 个元素的有限集合 M,其子集、真子集、 非空子集、非空真子集的个数依次为 2n,2n-1,2n-1,2n-2. (8)如图所示的 Venn 图中区域Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ依次表示集 合?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB),A∩(?UB),A∩B,B∩(?UA).

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2.常用逻辑用语的常用规律 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性. (2)两个命题为互逆命题或互否命题, 它们的真假性没有 关系. (3)在判断一些命题的真假时,如果不容易直接判断,可 转化为判断其逆否命题的真假.

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3.有关函数单调性和奇偶性的重要结论 (1)f(x)与 f(x)+c(c 为常数)具有相同的单调性. (2)当 k>0 时,函数 f(x)与 kf(x)的单调性相同;当 k<0 时,函数 f(x)与 kf(x)的单调性相反. (3)当 f(x),g(x)同为增(减)函数时,f(x)+g(x)则为增(减) 函数. (4)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性, 偶函数 在对称的两个区间上有相反的单调性.

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(5)f(x)为奇函数?f(x)的图像关于原点对称; f(x)为偶函数 ?f(x)的图像关于 y 轴对称. (6)偶函数的和、差、积、商是偶函数,奇函数的和、差 是奇函数,积、商是偶函数,奇函数与偶函数的积、商是奇 函数. 1 (7)函数 f(x)与 kf(x), (f(x)≠0)的奇偶性相同(其中 k 为 f?x? 非零常数). (8)定义在(-∞,+∞)上的奇函数的图像必过原点,即 有 f(0)=0.存在既是奇函数,又是偶函数的函数:f(x)=0. (9)f(x)+f(-x)=0?f(x)为奇函数;f(x)-f(-x)=0?f(x) 为偶函数.
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4.判断函数周期的几个重要结论 (1)若满足 f(x+a)=f(x-a),则 f(x)是周期函数,T=2a. (2)若满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x)是周期函数,T=2a. 1 (3)若满足 f(x+a)= ,则 f(x)是周期函数,T=2a. f?x? 1 (4)若满足 f(x+a)= ,则 f(x)是周期函数,T=2a. -f?x? (5)若函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称,且关于直 线 x=b 对称,则 f(x)是周期函数,T=2|b-a|(b≠a).
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5.函数图像对称变换的相关结论 (1)y=f(x)的图像关于 y 轴对称的图像是函数 y=f(-x) 的图像. (2)y=f(x)的图像关于 x 轴对称的图像是函数 y=-f(x) 的图像. (3)y=f(x)的图像关于原点对称的图像是函数 y= -f(-x)的图像. (4)y=f(x)的图像关于直线 y=x 对称的图像是函数 y=f-1(x)的图像.
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(5)y=f(x)的图像关于直线 x=m 对称的图像是函数 y= f(2m-x)的图像. (6)y=f(x)的图像关于直线 y=n 对称的图像是函数 y=2n -f(x)的图像. (7)y=f(x)的图像关于点(a,b)对称的图像是函数 y=2b -f(2a-x)的图像.

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6.函数图像平移变换的相关结论 (1)把 y=f(x)的图像沿 x 轴左右平移|c|个单位(c>0 时向 左移,c<0 时向右移)得到函数 y=f(x+c)的图像(c 为常数). (2)把 y=f(x)的图像沿 y 轴上下平移|b|个单位(b>0 时向 上移, b<0 时向下移)得到函数 y=f(x)+b 的图像(b 为常数).

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7.函数图像伸缩变换的相关结论 (1)把 y=f(x)的图像上各点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(0 <a<1)到原来的 a 倍,而横坐标不变,得到函数 y=af(x)(a >0)的图像. (2)把 y=f(x)的图像上各点的横坐标伸长(0<b<1)或缩 1 短(b>1)到原来的b倍,而纵坐标不变,得到函数 y=f(bx)(b >0)的图像.

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8.正余弦定理及其推论 (1)正弦定理: a b c sin A=sin B=sin C=2R(2R 为△ABC 外接圆的直径). 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; a b c sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R; a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.

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(2)余弦定理: a2=b2+c2-2bccos A;b2=a2+c2-2accos B; c2=a2+b2-2abcos C. b2+c2-a2 a2+c2-b2 推论:cos A= 2bc ;cos B= 2ac ; a2+b2-c2 cos C= 2ab . 变形:b2+c2-a2=2bccos A;a2+c2-b2=2accos B;a2 +b2-c2=2abcos C.

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9.三角形四心的向量形式 设 O 为△ABC 所在平面上一点,角 A,B,C 所对边长 分别为 a,b,c,则

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10.等差数列{an}的常用性质 (1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d; p+q=m+n?ap+aq =am+an. (2){kan}也成等差数列. (3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?,仍成等差数列. n?a1+an? n?n-1? d 2 ? d? ? ? (4)Sn= , S d = n + n=na1+ ?a1-2?n. 2 2 2 ? ? (5)ap=q,aq=p(p≠q)?ap+q=0,Sm+n=Sm+Sn+mnd.

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11.等比数列{an}的常用性质 (1)an=a1qn-1=amqn-m;p+q=m+n?ap· aq=am· an. (2){an},{bn}成等比数列?{anbn}成等比数列. (3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?,成等比数列(q≠-1).
?na ,q=1, ? 1 ? n a a (4)Sn=? 1-anq 1?1-q ? ? = ,q≠1 ? 1-q 1 - q ? ?na ,q=1, ? 1 ? a1 n a1 =? ?- · q+ ,q≠1. ? 1 - q 1 - q ?

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12.等差数列与等比数列的区分与联系 (1)如果数列{an}成等差数列,那么数列{Aan}(Aan 总有 意义)必成等比数列. (2) 如 果 数 列 {an} 成 等 比 数 列 , 且 an > 0 , 那 么 数 列 {logaan}(a>0,a≠1)必成等差数列. (3)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列,那么数列 {an}是非零常数数列.数列{an}是常数数列仅是数列既成等 差数列又成等比数列的必要非充分条件.

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(4)如果两个等差数列有公共项, 那么由它们的公共项顺 次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是两个 原等差数列公差的最小公倍数. (5) 如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次 组成新数列 , 那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨 论,且以等比数列的项为主,探求等比数列中哪些项是它们 的公共项,构成什么样的新数列.

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13.常用常考的不等式 (1)|a|≥0,a2≥0(a∈R). (2)a,b∈R?a2+b2≥2 ab(当且仅当 a=b 时取等号). a+b (3)a>0,b>0? 2 ≥ ab(当且仅当 a=b 时取等号). a+b 2ab (4) ≤ ab≤ 2 ≤ a+ b 等号,且 a>0,b>0). a2+b2 2 (当且仅当 a=b 时取

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14.给定区间上,含参数的不等式恒成立或有解的条件 依据 (1)在给定区间(-∞,+∞)的子区间 L(形如[α,β],(- ∞,β],[α,+∞)等)上,含参数的不等式 f(x)≥t(t 为参数) 恒成立的充要条件是 f(x)min≥t(x∈L). (2)在给定区间(-∞,+∞)的子区间 L 上,含参数的不 等式 f(x)≤t(t 为参数)恒成立的充要条件是 f(x)max≤t(x∈L). (3)在给定区间(-∞,+∞)的子区间 L 上,含参数的不 等式 f(x)≥t(t 为参数)有解的充要条件是 f(x)max≥t(x∈L). (4)在给定区间(-∞,+∞)的子区间 L 上,含参数的不 等式 f(x)≤t(t 为参数)有解的充要条件是 f(x)min≤t(x∈L).

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15.直观图 (1)空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法. 对斜二 测画法的规则可以记忆为:“平行要保持,横长不变,纵长 减半”. (2)由直观图的画法规则可知: 任何一个平面图形的面积 S 与它的斜二测画法得到的直观图的面积 S′之间具有关系 2 S′= 4 S.用这个公式可以方便地解决相关的计算问题.

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16.三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画 三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高. (2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与 正视图一样; 侧视图放在正视图的右面, 高度和正视图一样, 宽度与俯视图一样. (3)一般地,若俯视图中出现圆,则该几何体可能是球或 旋转体;若俯视图是多边形,则该几何体一般是多面体;若 正视图和侧视图中出现三角形,则该几何体可能为锥体.
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17.两直线的位置关系的应用 (1) 讨论两条直线的位置关系应注意斜率不存在或斜率 为 0 的情况,当两条直线中的一条直线斜率不存在,另一条 直线斜率为 0 时,它们也垂直. (2)已知直线 l:Ax+By+C=0,则与直线 l 平行的直线 方程可设为 Ax+By+m=0(m≠C);与直线 l 垂直的直线方 程可设为 Bx-Ay+n=0.

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18.点与圆的位置关系 已知点 M(x0,y0)及圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), (1)点 M 在圆 C 外?|CM|>r ?(x0-a)2+(y0-b)2>r2; (2)点 M 在圆 C 内?|CM|<r ?(x0-a)2+(y0-b)2<r2; (3)点 M 在圆 C 上?|CM|=r ?(x0-a)2+(y0-b)2=r2.

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19.直线与圆的位置关系 直线 l:Ax+By+C=0 和圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r >0)有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断: (1)代数方法(判断直线与圆的方程联立所得方程组的解 的情况):Δ>0?相交;Δ<0?相离;Δ=0?相切; (2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小):设 圆心到直线的距离为 d,则 d<r?相交;d>r?相离;d=r ?相切 .

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20.圆与圆的位置关系 已知两圆的圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2,则 (1)当|O1O2|>r1+r2 时,两圆外离; (2)当|O1O2|=r1+r2 时,两圆外切; (3)当|r1-r2|<|O1O2|<r1+r2 时,两圆相交; (4)当|O1O2|=|r1-r2|时,两圆内切; (5)当 0≤|O1O2|<|r1-r2|时,两圆内含.

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21.圆锥曲线的对称问题 曲线 F(x, y)=0 关于原点 O 成中心对称的曲线是 F(-x, -y)=0;曲线 F(x,y)=0 关于 x 轴对称的曲线是 F(x,-y) =0;曲线 F(x,y)=0 关于 y 轴对称的曲线是 F(-x,y)=0; 曲线 F(x,y)=0 关于直线 y=x 对称的曲线是 F(y,x)=0; 曲线 F(x,y)=0 关于直线 y=-x 对称的曲线是 F(-y,-x) =0.

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22.有关事件关系的重要结论 (1)事件 B 包含事件 A: 事件 A 发生, 则事件 B 一定发生, 记作 A?B. (2)事件 A 与事件 B 相等:若 A?B,B?A,则事件 A 与 B 相等,记作 A=B. (3)并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生或事 件 B 发生,记作 A∪B(或 A+B). (4)交(积)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生且事 件 B 发生,记作 A∩B(或 AB). (5)事件 A 与事件 B 互斥:若 A∩B 为不可能事件(A∩B =?),则事件 A 与事件 B 互斥.
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23.概率的计算公式 (1)古典概型的概率计算公式: 事件A包含的基本事件数m P(A)= ; 基本事件总数n (2)互斥事件的概率计算公式: P(A∪B)=P(A)+P(B); (3)对立事件的概率计算公式:P( A )=1-P(A); (4)几何概型的概率计算公式: 构成事件A的区域长度?面积或体积? P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

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24.圆锥曲线的对称问题 (1)复数的乘法满足交换律、 结合律以及乘法对加法的分 配律,即对任意 z1,z2,z3∈C,有:z1· z2=z2· z1;(z1· z2)· z3= z1· (z2· z3);z1· (z2+z3)=z1z2+z1z3. (2)两个共轭复数 z, z 的积是一个实数,这个实数等于 每一个复数的模的平方,即 z· z =|z|2=| z |2.

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25.复数的几个常见结论 1+i 1-i 2 (1)(1± i) =± 2i;(2) =i, =-i; 1-i 1+i (3)i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3=-i, i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈Z); 1 3 (4)ω=-2± 2 i,且 ω0=1,ω2= ω ,ω3=1,1+ω+ω2
+ + +

=0.

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