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学生用等比数列 (2)

二 一、知识归纳???

等比数列

1、等比数列的概念: 概念:若数列{an}从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则数列{an}叫等 比数列. 数学表达式为:

an ?1 ? q ( q 为常数,叫这个数列 {an } 的公比) an

2、等比数列的通项公式: an ? a1q n?1 ,推广 an ? am ? qn?m 3、等比数列的分类:
? a ? 0 ?a1 ? 0 (1)当 ? 1 或? 时, {an } 是递增数列; ?q ? 1 ?0 ? q ? 1
a1 ? 0 或 ? a1 ? 0 时, {a } 是递减数列; (2)当 ? n ? ? ?0 ? q ? 1 ? q ? 1

(3)当 q ? 1 时, {an } 是常数列; (4)当 q ? 0 时, {an } 是摆动数列。 4、等比中项: 如果在 a , b 中间插入一个数 G ,使 a, G, b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,且

G 2 ? ab 或 G ? ? ab
5、等比数列的前 n 项和公式: 当 q ? 1 时, Sn ? na1 ;当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) 1? q

6、等比数列的主要性质:设 {an } 是等比数列,则有 (1) an ? ak q n?k (2)若 m ? n ? 2 p ( m, n, p ? N ) ,则 am ? an ? a p , (即 a p 是 am 与 an 的等比中项)
2
?

(3)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq 如: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?
2 (4)对于任意正整数 n ( n ? 1 )有: an ? an?1 ? an?1

(5)若为 {an } 、 {bn } 为等比数列,则数列 {an ? bn } 也为等比数列。

二、方法与规律???
1、等比数列的判断方法:
(1)定义法即证明

a n ?1 ? q 常数; an

2 (2)等比中项法即证明: an ,且 an ? 0 ? an?1 ? an?1 ( n ? 1 , n ? N )

(3)通项公式法: an ? a1q n?1 ,其中 q 即为公比。 2、等比数列的设项方法与技巧:三个数或四个数成等比数列,则三个数可设为

a 、a、aq, q

四个数可设为

a a 3 、 、aq、aq 为好. 3 q q

三、题型归纳???
1、等比数列的判断与证明 【例题 1】已知数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn , S n ?

1 ( an ? 1) (n ? N ? ) 3

(1)求 a1 , a2 ; (2)求证:数列 {an } 是等比数列。 (3)求出 Sn 关于 n 的表达式。 【例题 2】已知数列 {an } 满足 a1 ? 1,

an?1 ? 2an ? n ? 1

(1)设 bn ? an ? n ? 2 ,证明数列 {bn } 是等比数列; (2)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求 an 和 Sn 2、等比数列的基本运算及性质的运用 【例题】1、已知 ?an ? 为等比数列, a2 ? 2, a6 ? 162,则 a10 ? 2、 在各项都为正数的等比数列 {an } 中, 首项 a1 ? 3 , 前三项和为 21, 则 a3 ? a4 ? a5 ?( C ) A.33 B.72 C. 84 D.189 3、等比数列 {an } 中, a2 ? 9, a5 ? 243,则 {an } 的前 4 项和为( B ) A.81 B.120 C.168 D.192 . 4、⑴已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和,Sn ? 93 ,an ? 48 ,公比 q ? 2 ,则项数 n ?

⑵已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为 37 ,中间 两数之和为 36 ,求这四个数.

习题精选一???
1、设 ?an ? 是公比为正数的等比数列,若 a1 ? 1, a5 ? 16 ,则数列 ?an ? 前 7 项的和为( )

A. 63

B. 64

C. 127

D. 128

2、设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 , 前 n 项和为 Sn ,则

A. 2

B. 4

C.

15 2

S4 ?( ) a2 17 D. 2


3、在等比数列 {an } 中,前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 7, S6 ? 63,则公比 q 的值为(

A. 2 B. ? 2 C. 3 D. ? 3 4、成等差数列的三个正数的和等于 15,且这三个数分别加上 1,3,9 后又成等比数列,那 么这三个数的积是( ) A.210 B.105 C.70 D.35 5、已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3,a2 ? a3 ? 6 ,则 a7 ? ( )

C. 128 D. 243 6 、在等比数列 ?an ? 中 , a1 ? 2 , 前 n 项和为 Sn , 若数列 ?an ?1 ? 也是等比数列 ,则 Sn 等于
( )
n ?1

A. 64

B. 81

A. 2 ? 2 B. 3n C. 2 n D. 3 ? 1 ? 12 7、两个数的等差中项为 15 ,等比中项为 ,则这两个数为__________. 8、在等比数列中,已知 a9 ? a10 ? a(a ? 0) , a19 ? a20 ? b ,则 a99 ? a100 ?
n

.

9、在正项等比数列 ?an ? 中, a1a5 ? 2a3a5 ? a3a7 ? 25 ,则 a3 ? a5 ? ______ 10、已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和, Sn ? 54 , S 2 n ? 60 ,则 S 3n ? 11、已知等比数列 ?an ? 中, an ? 0, (2a4 ? a2 ? a6 )a4 ? 36 ,则 a3 ? a5 ? 为 . . .

12、如果将 20,50,100 依次加上同一个常数后组成一个等比数列,则这个等比数列的公比 13、等比数列 {an } 的公比 q ? 0 , 已知 a2 =1, an?2 ? an?1 ? 6an ,则 {an } 的前 4 项和 S4 = 14、等比数列 1,2,4,8,? 中从第 5 项到第 10 项的和_____. 15、已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和, an ? 1 ? 3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n?1 ,求 Sn 16、已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和, an ? (2n ? 1) ? 3n ,求 Sn . 17、已知递增的正项等比数列 {an } 中, a5 ? a1 ? 15 , a4 ? a2 ? 6 (1)求 an , Sn ; (2)求证: S7 , S14 ? S7 , S21 ? S14 成等比数列;

(3)若数列 {bn } 满足 bn ? 2an ,在直角坐标系中作出 bn ? f (n) 的图象; (4)若数列 {cn } 满足 cn ?

1 ,其前 n 项和为 Tn ,试比较 Tn 与 2 的大小。 an

习题精选二???
1、已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ?

A. 16(1 ? 4 ? n ) 32 C. (1 ? 4 ?n ) 3

1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 =( 4 B. 16(1 ? 2 ? n ) 32 D. (1 ? 2 ?n ) 3



2、在等比数列 {an } 中, a1 ? 1, a10 ? 3 ,则 a2 a3 ??? a8a9 的值是( ) A. 81 B. 27 5 27 C.

3

D. 243

3、数列 {an } 是各项都为正数的等比数列,公比 q 满足 q 2 ? 4 ,则

a3 ? a4 的值为( a4 ? a5
1 2




A.

1 4

B. 2

C. ?

1 2

D.

4、已知等比数列 ?an ? 的前三项依次为 a ? 1 , a ? 1 , a ? 4 ,则 an ? ( A. 4 ? ? ?

?3? ?2?

n

B. 4 ? ? ?

?2? ?3?

n

C. 4 ? ?

?3? ? ?2?

n ?1

D. 4 ? ?

?2? ? ?3?

n ?1

5、在等比数列 {an } 中, a1 ? a3 ? 10, a4 ? a6 ? A. an ? 24?n B. an ? 2n?4

5 ,则数列 {an } 的通项公式为( 4
D. an ? 23?n



C. an ? 2n?3

6、在等比数列 {an } 中, a5 ? a6 ? a(a ? 0) , a15 ? a16 ? b ,则 a25 ? a26 的值为(



b A. a
4 7

b 2 B. ( ) a
10 3n?10

b2 C. a

D.

b a2

7、设 f (n) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2

(n ? N ) ,则 f (n) 等于( ) 2 n 2 n ?1 2 n ?3 2 n?4 A. (8 ? 1) B. (8 ? 1) C. (8 ? 1) D. (8 ? 1) 7 7 7 7 8、设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 成等差数列.类
比以上结论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , 列. ,______,

T16 成等比数 T12

9、已知 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, a2 ? 3, a6 ? 243 , Sn ? 364,则 n ? 10、已知等比数列 ?an ? 中, a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是 .



11、已知数列 {an } 是各项不相等且均为正数的等差数列, lg a1 , lg a2 , lg a4 也成等差数列, 又 bn ?

1 (n ? 1,2,3,?) a2 n

(1)证明: {bn } 是等比数列;

(2)如果数列 {bn } 的前 3 项的和为

7 ,求数列 {an } 的首项 a1 和公差 d 24

12、已知递增等比数列 {an } 满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项 (1)求 {an } 的通项公式 an ; (2)若 bn ? an log 1 an , Sn ? b1 ? b2 ? ?? bn ,求 Sn ? n ? 2n?1 ? 30成立的 n 的最小值。
2

13、已知 ?an ? 为等比数列, a1 ? a2 ? a3 ? 3, a6 ? a7 ? a8 ? 6 ,求 a11 ? a12 ? a13 的值. 14、已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和, an ? 0 , Sn ? 80 , S2n ? 6560,前 n 项中的数值 最大的项为 54,求 S100 . 15、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? a , an?1 ? Sn ? 3n , n ? N .
*

(1)设 bn ? Sn ? 3n ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)若 an?1 ? an , n ? N ,求 a 的取值范围.
*

16、等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N

?

,点 (n, Sn ) ,均在函数

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (2)当 b ? 2 时,记 bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn

17、设 {an } 是等比数列, Tn ? na1 ? (n ?1)a2 ? ?? 2an?1 ? an ,已知 T1 ? 1, T2 ? 4 (1)求 {an } 的首项与公比; (2)求数列 {Tn } 的通项公式。

习题精选三???

1、已知数列

?an ?和 ?bn ?满足: a1 ? ? , an?1 ? 2 an ? n ? 4 , bn ? (?1)n (an ? 3n ? 21) ,
3

其中 ? 为实数, n ? N ? .

⑴ 对任意实数 ? ,证明数列 ?an ? 不是等比数列;

⑵ 试判断数列 ?bn ?是否为等比数列,并证明你的结论. 2、已知数列 {an } 的首项 a1 ? 数列;

2 2an 1 , an ?1 ? , n ? 1, 2,3, ….证明:数列 { ? 1} 是等比 3 an ? 1 an
n

3、设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn
n ?1 ⑴证明:当 b ? 2 时, an ? n ? 2 是等比数列;

?

?

4、设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? a , an?1 ? Sn ? 3n , n ? N* . ⑴ 设 bn ? Sn ? 3n ,求数列 ?bn ? 的通项公式; ⑵ 若 an?1 ? an (n ? N ? ) ,求 a 的取值范围. 5、等差数列 ?an ? 中, a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列 ?an ? 前 20 项的和 S 20 . 6、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , S n ? ⑴求 a1 , a2 的值;

⑵求 ?an ? 的通项公式

1 (an ? 1) ? n ? N ? ? ; 3

⑵证明数列 ?an ? 是等比数列,并求 Sn . 7、已知数列 ?an ? 和 ?bn ?满足: a1 ? ? , a n ?1 ? 其中 ? 为实数, n ? N ? .

2 a n ? n ? 4 , bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21) , 3

⑴ 对任意实数 ? ,证明数列 ?an ? 不是等比数列; ⑵ 证明:当 ? ? ?18 ,数列 ?bn ?是等比数列; ⑶设 Sn 为数列 ?bn ?的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有

Sn ? ?12 ? 若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由.


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