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2017_2018学年高中数学第1章坐标系1.2极坐标系1.2.1极坐标系的概念学案北师大版选修4_42017102342

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1.2.1 极坐标系的概念

1.了解极坐标系,理解极坐标的概念.(重点) 2.能在极坐标系中用极坐标判定点的位置.(难点) 3.能进行点坐标和极坐标的互化.(易错易混点)

教材整理 极坐标系与极坐标 1.极坐标系的概念 如图 1?2?1 所示,在平面内取一个定点 O,叫作极点,从 O 点引一条射线 Ox,叫作极轴, 选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系,简 称极坐标系.
图 1?2?1 2.极坐标的概念 对于平面内任意一点 M,用 ρ 表示线段 OM 的长,θ 表示以 Ox 为始边、OM 为终边的角 度,ρ 叫作点 M 的极径,θ 叫作点 M 的极角,有序实数对(ρ ,θ )叫作点 M 的极坐标,记 作 M(ρ ,θ ). 特别地,当点 M 在极点时,它的极径 ρ =0,极角 θ 可以取任意值. 3.点与极坐标的关系 一般地,极坐标(ρ ,θ )与(ρ ,θ +2kπ )(k∈Z)表示同一个点,特别地,极点 O 的坐 标为(0,θ )(θ ∈R).和点的直角坐标的唯一性不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.
1

如果规定 ρ >0,0≤θ <2π ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ ,θ ) 表示;同时,极坐标(ρ ,θ )表示的点也是唯一确定的.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)极轴是以极点为端点的一条射线.( )

(2)极角 θ 的大小是唯一的.( )

(3)点???3,π6 ???与点???3,5π6 ???是同一个点.(

)

【解析】 (1)√ 极轴是以极点为端点的一条射线.

(2)× 因为极角是以极轴为始边,终边是过极点与目标点的射线,可正、可负,相差

2kπ .

(3)× 因为极角不相差 2π 的整数倍,故不表示同一个点.

【答案】 (1)√ (2)× (3)×

预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

根据点的位置确定点的极坐标
设点 A???2,π3 ???,直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线,分别求点 A 关于极轴、 直线 l、极点的对称点的极坐标(限定 ρ >0,0<θ ≤2π ).
【精彩点拨】 欲写出点的极坐标,首先应确定 ρ 和 θ 的值.
【自主解答】 如图所示,关于极轴的对称点为 B???2,53π ???. 关于直线 l 的对称点为 C???2,23π ???.
2

关于极点 O 的对称点为 D???2,43π ???. 四个点 A,B,C,D 都在以极点为圆心,2 为半径的圆上.
1.点的极坐标不是唯一的,但若限制 ρ >0,0≤θ <2π ,则除极点外,点的极坐标是唯 一确定的.
2.写点的极坐标要注意顺序:极径 ρ 在前,极角 θ 在后,不能颠倒顺序.
1.若使正六边形的一个顶点为极点且边长为 a,极轴通过它的一边,试求正六边形各顶 点的极坐标.
【导学号:12990004】 【解】 建立如图所示的极坐标系,则正六边形各顶点的极坐标为:
A(0,0),B(a,0),C??? 3a,π6 ???,D???2a,π3 ???,E??? 3a,π2 ???,F???a,23π ???.
极坐标确定点的位置
已知点 A 的极坐标是???6,5π3 ???,分别在下列给定条件下,画出点 A 关于极点 O 的对称点 A′的位置,并写出 A′的极坐标:
(1)ρ >0,-π <θ ≤π ; (2)ρ <0,0≤θ <2π ; (3)ρ <0,-2π <θ ≤0. 【精彩点拨】 本题以极坐标系中点的对称为载体,主要考查极坐标系中点的极坐标的 确定,同时考查应用极坐标系解决问题的能力. 【自主解答】 如图所示, |OA|=|OA′|=6, ∠xOA′=23π , ∠xOA=53π ,即 A 与 A′关于极点 O 对称,由极坐标的定义知:
(1)当 ρ >0,-π <θ ≤π 时,A′点的坐标为???6,23π ???;
3

(2)当 ρ <0,0≤θ <2π 时,A′点的坐标为???-6,53π ???; (3)当 ρ <0,-2π <θ ≤0 时,A′点的坐标为???-6,-π3 ???.
由极坐标确定点的位置的步骤: (1)取定极点 O; (2)作方向为水平向右的射线 Ox 为极轴; (3)以极点 O 为顶点,以极轴 Ox 为始边,通常按逆时针方向旋转极轴 Ox 确定出极角的 终边; (4)以极点 O 为圆心,以极径为半径画弧,弧与极角终边的交点即是所求点的位置.
2.在同一个极坐标系中,画出以下各点:
A???1,π4 ???,B???2,32π ???,C???3,-π4 ???,D???4,94π ???.
【解】 如图所示.
极坐标系的建立及应用 探究 1 建立极坐标系需要哪几个要素?这几个要素间有什么关系? 【提示】 建立极坐标系的要素是:(1)极点;(2)极轴;(3)长度单位;(4)角度单位和 它的正方向,四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线,它与极轴所在的直线是有区 别的;极角 θ 的始边是极轴,它的终边随着 θ 的大小和正负而取得各个位置;θ 的正方 向通常取逆时针方向,θ 的值一般是以弧度为单位的量数;点 M 的极径 ρ 表示点 M 与极点 O 的距离|OM|,因此 ρ ≥0.但必要时,允许 ρ <0. 探究 2 为什么点的极坐标不唯一?能用三角函数的概念解释吗? 【提示】 根据我们学过的任意角的概念:一是终边相同的角有无数个,它们相差 2π 的整数倍,所以点(ρ ,θ )还可以写成(ρ ,θ +2kπ )(k∈Z);二是终边在一条直线上且互 为反向延长线的两角的关系,所以点 (ρ ,θ )的坐标还可以写成(-ρ ,θ +2kπ +
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π )(k∈Z). 某大学校园的部分平面示意图如图 1?2?2 所示.
图 1?2?2 用点 O,A,B,C,D,E,F 分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花 园,建立适当的极坐标系,写出各点的极坐标.(限定 ρ ≥0,0≤θ <2π 且极点为(0,0)). 【精彩点拨】 解答本题先选定极点作极轴,建立极坐标系,再求出各点的极径和极角, 即可得出各点的极坐标. 【自主解答】 以点 O 为极点,OA 所在的射线为极轴 Ox(单位长度为 1 m),建立极坐 标系,如图所示.
由|OB|=600 m,∠AOB=30°,∠OAB=90°,得 |AB|=300 m,|OA|=300 3 m, 同样求得|OD|=2|OF|=300 2m, 所以各点的极坐标分别为 O(0,0),A(300 3,0),B???600,π6 ???,C???300,π2 ???, D???300 2,34π ???,E(300,π ),F???150 2,34π ???.
在极坐标系中,由点的位置求极坐标时,随着极角的范围的不同,点的极坐标的表示也 会不同,只有在 ρ >0,θ ∈
3.在极坐标系中,已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为 A???2 ,π3 ???,B(2,π ), C???2,53π ???.
(1)判断△ABC 的形状; (2)求△ABC 的面积. 【解】 (1)如图所示,由 A???2,π3 ???,B(2,π ),C???2,53π ???得|OA|
5

=|OB|=|OC|=2, ∠AOB=∠BOC=∠AOC=23π . ∴△AOB≌△BOC≌△AOC, ∴AB=BC=CA, 故△ABC 为等边三角形.

(2)由上述可知,AC=2OAsin

π 3

=2×2×

3 2 =2

3,

∴S△ABC=

3 4 ×(2

3)2=3

3.

1.在极坐标系中与点 P???2,π3 ???表示同一点的是( )

A.???-2,π3 ???

B.???2,-π3 ???

C.???-2,

4π 3

???

D.???-2,-π3 ???

【解析】 在极坐标系中将点 P 确定,再逐个验证知 C 正确.

【答案】 C

2.已知极坐标平面内的点 P???2,-53π ???,则 P 关于极点的对称点的极坐标为(

A.???2,π3 ???

B.???2,-π3 ???

C.???2,23π ???

D.???2,-23π ???

【解析】 点 P???2,-53π ???关于极点的对称点的极坐标为???2,-2π3 ???.

【答案】 D

)
6

3.若 A???3,43π ???,B???5,π6 ???,O 为极点,则△AOB 的面积为________. 【解析】 S△AOB=12×???3×5×sin???43π -π6 ??????=145.
15 【答案】 4 4.关于极坐标系的下列叙述: ①极轴是一条射线; ②极点的极坐标是(0,0); ③点(0,0)表示极点;
④点 M???4,π4 ???与点 N???4,54π ???表示同一个点.
其中,叙述正确的序号是________. 【导学号:12990005】
【解析】 设极点为 O,极轴就是射线 Ox,①正确;极点 O 的极径 ρ =0,极角 θ 是 任意实数,极点的极坐标应为(0,θ ),②错误;给定极坐标(0,0),可以在极坐标平面内确 定唯一的一点,即极点,③正确;点 M 与点 N 的极角分别是 θ 1=π4 ,θ 2=5π4 ,二者的终 边互为反向延长线,④错误.
【答案】 ①③ 5.已知边长为 2 的正方形 ABCD 的中心在极点,且一组对边与极轴 Ox 平行,求正方形的 顶点的极坐标(限定 ρ ≥0,0≤θ <2π ). 【解】 如图所示,由题意知|OA|=|OB|=|OC|=|OD|= 2, ∠xOA=π4 ,∠xOB=3π4 , ∠xOC=54π ,∠xOD=74π .
∴正方形的顶点坐标分别为 A??? 2,π4 ???,B??? 2,3π4 ???,C??? 2,5π4 ???,D??? 2,74π ???.
我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)
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