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河南五市2011届高三第二次联考数学(理)试题及答案


2011 年河南省五市高三第二次联考

理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考生作答时,将答案答在答 题卡上,在本试卷上答题无效。 注意事项: 1、答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上。 2、 选择题答案使用 2B 铅笔填涂, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案的标号, 非 选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卷面清洁,不折叠,不破损。

第Ⅰ卷
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 选择题: 合题目要求的. 合题目要求的. 1.若集合 M={y|y= x A. (1,+∞) 2.已知复数 Z=
-2

},P={y|y= x- },那么 M∩P= 1 C. (0,+∞) D. [0,+∞)

B.[1,+∞)

a+i (a 为实数) ,若 Z 为纯虚数,则 a 是 1-i

A.-1 B.1 C.-2 D.2 3.下列判断错误的是 A.命题“若 q 则 p”与命题“若非 p 则非 q”互为逆否命题 2 2 B. “am <bm ”是“a<b”的充要条件 C.对于命题 p: ? x∈R,使得 x +x+1<0,则 ? p 为 ? x∈R,均有 x +x+1≥0
2 2

D.命题“ φ ? {1,2}或 4 ? {1,2}”为真命题 4.点 P 是函数 f(x)=cosωx(ω>0)的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称 轴的距离最小值是π,则函数 f(x)的最小正周期是 A.π B.2π C.3π D.4π 5.给出 15 个数:1,2,4,7,11,…,要计算这 15 个数的和,现给出解决该 问题的程序框图(如右图所示) ,那么框图中判断框①处和执行框②处应分 别填入

A.i≤15?;p=p+i-1 B.i≤16?;p=p+i+1 C.i≤16?;p=p+i D.i≤15?;p=p+i

, , 6.已知平面向量 a =(sinθ,1) b =(- 3 ,cosθ) 若 a ⊥ b ,则θ可以为 A.θ= C.θ=

π π
6 3

5π 6 2π D.θ= 3
B.θ=

7.圆柱的底面直径与高都等于某个球的直径,则该球的表 面积与圆柱全面积的比是 A.

1 3

B.

2 3

C.

2 5
2 2

D.

3 5
2

8.斜率为 k 的直线 l 过点 P( 2 ,0)且与圆 C: x +y = 存在公共点,则 k ≤ 1 为 A.

4 的概率 9

2 3

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 3

9.从单词“equation”中选取 5 个不同的字母排成一排,含“qu”“qu”相连且顺序不变) ( 的不同排列方法有 A.120 种 B. 240 种 C.288 种 D.480 种 10. ( x+

2 n ) 展开式中仅有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是 x2

A.360 B.180 C.90 D.45 11.已知定义在 R 上的奇函数 f(x) ,满足 f(x-4)=-f(x) ,且在区间[0,2]上是增函 数, 则 A.f(33)<f(50)<f(-25) B.f(50)<f(33)<f(-25) C.f(-25)<f(33)<f(50) D.f(-25)<f(50)<f(33) 12.已知双曲线

x 2 y2 - =1 的两焦点为 F1、F2,点 P 在双曲线上,∠F1PF2 的平分线分线段 a2 b2
3 ) 2 5 ] 2 3 ,2] 2

F1F2 的比为 5 :1,则双曲线离心率的取值范围是 A. (1,

3 ] 2

B. (1,

C. (2,

D. (

第Ⅱ卷
小题, 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.共 20 分. 填空题: 13.一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示(单位:cm) ,该几何 体的体积为 3 __________cm

14.等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,a3=20,S3=36, 则

1 1 1 1 + + +…+ =______. S1-1 S 2-1 S3-1 S15-1

?2 x-y-6≥0 ? 15.已知 x,y 满足不等式组 ? x+y+3≥0 ,则 ?5 x+2y-6≤0 ?
2 x-y+4 的最大值为_____________. x+2
16.若双曲线

x 2 16y2 - 2 =1 的渐近线与抛物线 y2=2px(p>0)的准线相交于 A,B 两点,且 3 p

△OAB(O 为原点)为等边三角形,则 p 的值为___________ 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且(2a+c)cosB +bcosC=0. (Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)已知函数 f(x)=2cos(2x-B) ,将 f(x)的图象向左平移 的图象,求 g(x)的单调增区间. 18. (本小题满分 12 分)某班主任为了解所 带班学生的数学学习情况,从全班学生 中随机抽取了 20 名学生,对他们的数 学成绩进行统计,统计结果如图. (Ⅰ)求 x 的值和数学成绩在 110 分以 上的人数; (Ⅱ)从数学成绩在 110 分以上的学生 中任意抽取 3 人,成绩在 130 分 以上的人数为ξ,求ξ的期望. 19. (本小题满分 12 分)将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠,使得平面 ABD⊥平面 CBD,AE⊥平面 ABD,且 AE= 2 . (Ⅰ)求证:DE⊥AC; (Ⅱ)求 DE 与平面 BEC 所成角的正弦值; (Ⅲ)直线 BE 上是否存在一点 M,使得 CM∥平 面 ADE,若存在,求点 M 的位置,不 存在请说明理由.

π
12

后得到函数 g(x)

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C:

x 2 y2 6 + 2 =1 (a>b>0)的离心率为 ,其左、右焦 2 a b 3
10 1 , PF1 · PF2 = (点 2 2

点分别是 F1、F2,点 P 是坐标平面内的一点,且|OP|= O 为坐标原点) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)直线 y=x 与椭圆 C 在第一象限交于 A 点,若椭圆 C 上两点 M、N 使 OM + ON = λ OA ,λ∈(0,2)求△OMN 面积的最大值.

2l. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= e -x (e 为自然对数的底数) . (Ⅰ)求 f(x)的最小值; (Ⅱ)不等式 f(x)>ax 的解集为 P,若 M={x| 取值范围; (Ⅲ) 已知 n∈N﹡, Sn = 且 t≥0) 是否存在等比数列{ b ∫ [f ( x )+x ]dx(t 为常数, ,
n t n

x

1 ≤x≤2}且 M∩P≠ φ ,求实数 a 的 2
},

使得 b1+b2+… bn = Sn ?若存在,请求出数列{ bn }的通项公式;若不存在,请说 明理由.

22、 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 选题目的题号涂黑. 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1《几何证明选讲》 .已知 A、B、C、D 为圆 O 上的四点, 直线 DE 为圆 O 的切线,AC∥DE,AC 与 BD 相交于 H 点 (Ⅰ)求证:BD 平分∠ABC (Ⅱ)若 AB=4,AD=6,BD=8,求 AH 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5《不等式选讲》 .已知 a+b=1,对 ? a,b∈(0,+∞) , 使

1 4 + ≥|2x-1|-|x+1|恒成立,求 x 的取值范围. a b

★2011 年 5 月 6 日

2011 年河南省五市高中毕业班第二次联考 理科数学参考答案及评分标准
一.选择题: 选择题: 1—5 CBBDD 6—10 ABADB 11—12 CA 填空题: 二.填空题: (13)

7 2

(14)

15 31

(15)

10 3

(16)4

三.解答题: 解答题: (17) (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由正弦定理得 (2sin A + sin C ) cos B + sin B cos C = 0 , 即 2 sin A cos B + sin C cos B + cos C sin B = 0 得 2sin A cos B + sin( B + C ) = 0 ………3 分

因为 A + B + C = π ,所以 sin( B + C ) = sin A ,得 2 sin A cos B + sin A = 0 ,因为

sin A ≠ 0 , 1 2π ,又 B 为三角形的内角,所以 B = 2 3 2π 2π ( Ⅱ ) ∵ B= ∴ f ( x) = 2 cos(2 x ? ) 3 3 π 2π ∴ g ( x) = 2 cos[2( x + ) ? ] 12 3
所以 cos B = ? = 2 cos 2 x ? ( 由 2 kπ ………6 分 由 题 意 得 :

π

π

2

) 2 sin 2 x = ≤ 2 x ≤ 2 kπ +

………9 分

π
2

2

(k ∈ N * )

得 kπ -

π
4

≤ x ≤ kπ +

π
4

(k ∈ N * )
………12 分

故 f ( x ) 的单调增区间为: [ kπ (18)(本小题满分 12 分)

π

, kπ + ] ( k ∈ N * ) . 4 4

π

解: (Ⅰ)x=[1-(0.0025+0.005+0.0125+0.0125)×20]/20=0.0175 2分 数学成绩 110 分以上的人数为: (0.005+0.0125)×20×20=7 人 . 分 (Ⅱ)数学成绩在 130 分以上的人数为:0.005×20×20=2 人 ∴ ξ 的取值为:0,1,2
P ξ =0) ( = C C C 2 4 = , P ξ =1) ( = = , 3 C 7 C7 7
3 5 3 7 2 5 1 2

……… ……….4

……….5 分
………10

P ξ =2) ( =

CC 1 = 3 C7 7

1 5

2 2

分 ξ 的分布列为: i P ξ =i) ( 0 2 7 1 4 7 2 1 7 ………12

2 4 1 6 ∴ ξ 的期望为: Eξ = 0 × + 1× + 2 × = . 7 7 7 7

分 (19)解: (Ⅰ)以 A 为坐标原点 AB,AD,AE 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 则 E (0, 0, 2) , B(2, 0, 0) , D(0, 2, 0)
E

z
C

做 BD 的中点 F 并连接 CF,AF;由题意可得 CF⊥BD 且 AF = CF = 2 又∵平面BDA ⊥ 平面BDC ∴ CF ⊥ 平面BDA , 所以 C 的坐标为 C (1,1, 2)
A

y
D

∴ DE = (0, -2,2) , AC = (1,1,2) ∴ DE ? AC = (0, -2,2) ? (1,1, 2) = 0
故 DE⊥AC (Ⅱ)设平面 BCE 的法向量为 n = ( x, y,z ) 则
B

F x

………4 分

?n ? EB = 0 ? ? ?n ? CB = 0 ?

即?

?z = 2x ? ∴? ? ?x ? y ? 2z = 0 ? y = ?x ?

?2 x ? 2 z = 0 ?

令 x=1 得 n = (1, -1,2)

又 DE = (0, -2,2)

………6

分 设平面 DE 与平面 BCE 所成角为 θ ,则

sin θ = cos < n , DE > =

n ? DE n DE

=

6 . 3

………8 分

(III)假设存在点 M 使得 CM∥面 ADE,则 EM = λ EB

EB = (2, 0, 2) ,∴ EM = (2λ , 0, 2λ ) ? ?

得 M (2λ , 0,2 ? 2λ )

………10 分

又因为 AE ⊥ 平面ABD , AB ⊥ AD

所以 AB ⊥ 平面ADE

因为 CM∥面 ADE,则 CM ⊥ AB 即 CM ? AB = 0 得 2λ ? 1=0 ∴ λ =

1 2
………12 分

故 点 M 为 BE 的中点时 CM∥面 ADE.

(20)解: (Ⅰ)设 P( x0 , y0 ), F1 (?c, 0), F2 (c, 0), 则由 OP =

10 5 2 2 得 x0 + y0 = , 2 2
……… 2

由 PF1 ? PF2 = 分

1 1 1 得 (?c ? x0 , ? y0 ) ? (c ? x0 , ? y0 ) = ,即 x0 2 + y0 2 ? c 2 = 2 2 2
c 6 = ,所以 a 2 = 3, b 2 = 1 a 3

所以 c = 2 ,又因为 分

……… 3

x2 椭圆 C 的方程为: + y 2 = 1 ; 3

……….4


?y = x ? 3 3? ? (Ⅱ)解法一:由 ? x 2 得 A? 2 ? 2 , 2 ?, ? ? ? ? + y =1 ?3
? y = kx + m ? 设直线 MN 的方程为 y = kx + m ,联立方程组 ? x 2 2 ? + y =1 ?3

消去 y 得:(1 + 3k 2 ) x 2 + 6kmx + 3m 2 ? 3 = 0 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , 则 x1 + x2 = ? 分
∴ y1 + y2 = k ( x1 + x2 ) + 2m =
2m 1 + 3k 2 3 3 λ , y1 + y2 = λ 2 2 6km 3m 2 ? 3 , x1 x2 = 1 + 3k 2 1 + 3k 2

………5 分

……… 6

∵ OM + ON = λ OA ,∴ x1 + x2 =

得 k MN

1 3 3m 9m 2 ? 9 = ? ,m = λ ,于是 x1 + x2 = , x1 x2 = 3 3 2 4

………8 分

1 10 10 4 ? 3m 2 ∴| MN |= 1 + ( ? ) 2 | x1 ? x2 |= ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = , 3 3 2
………9 分

又 ∵ λ > 0, O(0, 0) 到直线 MN 的距离为 d =

3 10m 10 3 ? (4 ? 3m 2 )3m 2 3 ≤ , 4 2
………12 分

∴ S ?OMN
当m =

1 10 4 ? 3m 2 3 10 m = | MN | ?d = ? = 2 4 10

6 3 ,即 λ = 2 时等号成立, S ?OMN 的最大值为 3 2

?y = x ? 3 3? ? 解法二:由 ? x 2 得 A? ? 2 , 2 ?, ? + y2 = 1 ? ? ? ?3

? x12 + y12 = 1 ? ? 3 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) 则 ? 2 ? x2 + y 2 = 1 2 ? 3 ?

∴ ( x1 + x2 ) + 3 ( y1 + y2 ) ∵ OM + ON = λ OA , ∴ x1 + x2 =

y2 ? y1 = 0 …………① x2 ? x1

………5 分

3 3 1 λ , y1 + y2 = λ 代入①得 kMN = ? , 2 2 3
3 1 3 λ = ? (x ? λ ), 即x=-3y+ 3λ, 4 3 4

………6 分

设直线 MN 的方程为 y ?
代入 椭圆方程得

………7 分

4 y 2 ? 2 3λ y + λ 2 ? 1 = 0,

∴ y1 + y2 =

3 λ2 ?1 λ , y1 .y2 = , 2 4
……….9 分

4 ? λ2 ∴| MN |= 10 | y1 ? y2 |= 10 , 2

又 ∵ O(0, 0) 到直线 MN 的距离为 h =

3λ 10
………11 分

∴ S?OMN =
当λ =

1 3λ 4 ? λ 2 3 | MN | ?h = , ≤ 2 4 2 2 时等号成立, S ?OMN 的最大值为
3 2

………12 分

(21)(本题满分 12 分) 由 f ′( x ) = 0, 得 x = 0 当 x > 0 时 f ′( x ) > 0 .当 x<0 时, f ′( x ) < 0 解: (Ⅰ) f ′( x) = e x ? 1 …………1 分

∴ f ( x)在(0,+∞)上增, 在(?∞,0)上减 ∴ f ( x) min = f (0) = 1

…………4 分

(Ⅱ)∵ M ∩ P ≠ φ ,∴ f ( x ) > ax在区间[ ,2] 有解 由 f ( x ) > ax, 得e x ? x > ax 即 a <

1 2

ex 1 ? 1在[ ,2] 上有解 …………6 分 x 2 ex 1 ( x ? 1)e x 1 令 g ( x) = ? 1, x ∈ [ ,2] ∵ g ′( x) = ,∴ g ( x )在[ ,1] 上减,在[1,2]上增 2 x 2 x 2 2 1 e 1 e2 又 g ( ) = 2 e ? 1, g ( 2) = ? 1 ,且 g (2) > g ( ) ∴ g ( x) max = g (2) = ?1 2 2 2 2 e2 ∴a < ?1 …………8 分 2 (III)设存在等比数列 {bn } ,使 b1 + b2 + ? bn = S n
∵ Sn =



n t

[ f ( x) + x]dx = e n ? et
n ?1

∴ b1 = e ? et

…………10 分

n ≥ 2 时 bn = S n ? S n ?1 = (e ? 1)e n ?1
当 t=0 时, bn = (e ? 1)e 当 t ≠ 0 时, ,数列 {bn } 为等比数列

b2 b3 ≠ ,则数列 {bn } 不是等比数列 b1 b2
…………12 分

∴ 当 t=0 时,存在满足条件的数列 bn = (e ? 1)e n ?1 满足题意
1. (本小题满分 10 分)选修 4—1《几何证明选讲》 解: (Ⅰ)∵ AC DE ∴ ∠CDE = ∠DCA 又∵ ∠DBA = ∠DCA ∴ ∠CDE = ∠DBA ∵ 直线 DE 为圆 0 的切线 ∴ ∠CDE = ∠DBC 故 ∠DBA = ∠DBC . (Ⅱ)∵ ∠CAB = ∠CDB 且 ∠DBA = ∠DBC

…………5 分

∴ △ ABH ?△ DBC

AH AB = CD BD ∴ AD = DC 又 ∠EDC = ∠DAC = ∠DCA


…………8 分



…………10 分 (23)(本小题满分 10 分)选修 4—5《不等式选讲》 解:∵ a > 0, b > 0 且a +b =1

AH AB = AD BD 故 AH = 3 .

∵ AB = 4,AD = 6,BD = 8



1 4 1 4 b 4a + = (a + b)( + ) = 5 + + ≥9 a b a b a b
…………5 分

1 4 + 的最小值为9 a b 1 4 对 ?a, b ∈ R+ ,使 + ≥ 2 x ? 1 - x + 1 恒成立 a b
故 所以, 2 x ? 1 - x + 1 ≤ 9 当 x ≤ ?1 时, 2 ? x ≤ 9 当 ?1 < x < 当x≥

…………7 分

∴ ?7 ≤ x ≤ ?1 ∴ ?1 < x <
1 ≤ x ≤ 11 2
…………10 分

1 时, ?3 x ≤ 9 2


1 2

1 时, x -2 ≤ 9 2 ∴ -7 ≤ x ≤ 11

B

O A H C

D

E


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