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打印版 数学归纳法复数及周末练习卷

高二选修 2-2 数学复数与数学归纳法单元测试卷 0331
班级 姓名________ 座号____ 组卷人:刘天飞 一、选择题: (每小题 6 分,共 48 分) 1.复数 ? ?1 ? 3i ??1 ? i ? =( A. 2 ? i ) B. 2 ? i C. ?4 ? 2i D. 2 ? 2i i 2.复数 的共轭复数为( ) 1-i 1 1 1 1 1 1 1 1 A.- + i B. + i C. - i D.- - i 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3.在复平面内设 z=1+i(i 是虚数单位),则复数 +z 对应的点位于 ( )

z

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

4.设 i 是虚数单位,则 (1 ? i ) ? A.0 B. 4

2 等于( i
C. 2

) D. 2
2016

?( 5.已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 z (1 ? i) ? 1 ? i ,则 z ) A.1 B.-1 C. i D. ?i n n 6.用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,x +y 能被 x+y 整除”,在第二步的证明 时,正确的证法是( ) * A.假设 n=k(k∈N ),证明 n=k+1 时命题也成立 B.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+1 时命题也成立 C.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 时命题也成立 D.假设 n=2k+1(k∈N),证明 n=k+1 时命题也成立 7.用数学归纳法证明不等式
“1?

1 1 1 ? ??? n ? n n ? N * , n ? 2 ”时,由 n ? k ?k ? 2? 不等式成立,推证 2 3 2 ?1 n ? k ? 1 时,左边应增加的项数是( ) k k ?1 k k A. 2 B. 2 ? 1 C. 2 D. 2 ? 1
1 4 1 1 , 2 4

?

?

8.右表给出了一个“三角形数阵”:

依照表中数的分布规律,可猜得第 10 行第 6 个数是(



3 A 32

5 B 64

C

5 128

1 D 64

3 3 3 , , 4 8 16 1, 1 1 1 , , 2 4 8

??

二、填空题: (每小题 6 分,共 24 分) 9.复数 z 的模为 2,则 z ? 2 ? 3i 的最小值为 10.复数 z ? (m2 ? 3m ? 2) ? (m2 ? 2m ? 8)i 的共轭复数在复 平面上的对应点在第一象限内, 则实数 m 的取范围是 .

11.下列式子:13=(1×1)2,13+23 +33 =(2×3)2,l3+23 +33 +43 +53 =(3×5)2,l3 +23 +33+ 43 +53 +63 +73=(4×7)2,?由归纳思想,第 n 个式子为 12.已知复数 ( x ? 2) ? yi( x,y ? R) 的模为 3 ,则 。

y 的最大值为 x



三、解答题: (12 分+16 分) 13. (12 分)已知复数 z ? (1 ? i)m2 ? (5 ? 2i)m ? (6 ? 15i) ;当实数 m 取什么值时,复数
z 是:(1)实数;(2)纯虚数.

14. ( 16 分)给出四个等式: 1 ? 1 ; 1 ? 4 ? ?(1 ? 2) ; 1 ? 4 ? 9 ? 1 ? 2 ? 3 ;

1 ? 4 ? 9 ? 16 ? ?(1 ? 2 ? 3 ? 4) ? ? .猜测第 n(n ? N? ) 个等式,并用数学归纳法证明.

高二选修 2-2 数学周末练习卷 0331
姓名________ 座号____ ? 1. “指数函数 y ? a (a ? 1) 是增函数, y ? x (? ? 1) 是指数函数,所以 y ? x? (? ? 1) 是
x

班级

增函数”,在以上演绎推理中,下列说法正确的是( ) A.推理完全正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确

D.推理形式不正确 )

a ? 2i ? b ? i ? a, b ? R ? ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b ? ( 2、已知 i A.1 B. ?1 C. ? 2 D. ? 3 1? i (i为虚数单位 ) ,则 z 的共轭复数是( 3.已知复数 z ? ) 1? i A. i B. 1 ? i C. ? i
4.

D. 1 ? i

? ? (cosx ? e
?

0

x

)dx ? (


??

A. 1 ? e
5.函数 f ( x ) ?

??

B. 1 ? e

C. ?e )

??

D. ? e

?? ?1

1 2 x ? ln x 的单调递减区间是( 2
B.(0,1]
n

A.(-1,1)

C.(-∞,-1)∪(0,1)
*

D. ?0,1?

6.已知 f(n)=(2n+7)·3 +9,存在自然数 m,使得对任意 n∈N ,都能使 m 整除 f(n), 则最大的 m 的值为( ) A.30 B.26 C.36 D.6
' 7.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 的图象如图,则 ?1 ? x ? f ? x ? ? 0 的解

A? ??,0? ? ?1,2? C ? 2, ??
3

集为(



B ?1, 2 ? D ? ??,1? ? ? 2, ??

8.函数 f ( x) ? x ? 3ax ? a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围为 ( ) A. 0 ? a ? 1 B. 0 ? a ? 1

C. ? 1 ? a ? 1 9.计算

D. 0 ? a ?

1 2

?

1 0

(1 ? 1 ? x2 )dx 的结果为


10.已知复数 z 满足|z+4﹣3i|=2(i 为虚数单位).则|z|的最大值为 11.由 y=x3 与 x=0,y=± 8 围成的图形的面积 ax2-1 12、若函数 f(x)= 的单调增区间为(0,+∞),则实数 a 的取值范围是________ x

13.把正整数排列成如图甲三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数, 若 an ? 2015,则 n ? ________.

得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列 ?an ? ,

m ? ln x x (1)当 m=-1 时, 求f ( x)在(1,f(1))处的切线方程 ;
14.已知函数 f ( x) ? ?

5 ,求 m 的值; 2 2 (3)设 g ( x) ? ln x ? m ,若 g ( x) ? x 在? 0,e? 上恒成立,求 m 的取值范围。
(2)若 f ( x)在?1 ,e? 上的最小值为

15.已知函数 f ( x) ? (2 ? a ) ln x ?

1 ? 2ax . x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ) 当 a ? 0 时,讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅲ)若对任意的 a ? (?3, ?2), x1, x2 ??1.3? 恒有 (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成 立,求实数 m 的取值范围.

高二选修 2-2 数学复数与数学归纳法单元测试卷答案

1—5

CDADA

6—8

CCB
2

9. 13 ? 2

1) ? (2, 4) 10. (?2,

3 3 3 3 11. 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) ? ? n(2n ? 1) ?
2 2

12.
2

3

13.解:z=(1+i)m +(5-2i)m+6-15i=(m +5m+6)+(m -2m-15)i ∵m∈R,∴z 的实部为 m2+5m+6,虚部为 m2-2m-15. (1)若 z 是实数,则

?m 2 ? 2m ? 15 ? 0 ? m=5 或 m=-3 ? ?m ? R
(2)若 z 是纯虚数,则
2 ? ? m ? 5m ? 6 ? 0 ? m=-2 ? 2 ? m ? 2 m ? 15 ? 0 ? 14.解:第 n 个等式为: 12 ? 22 ? 32 ? 42 ???? ? (?1)n?1 n2 = (?1)n?1 (1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n) 1? (1 ? 1) 0 ? 1, 证明: (1)当 n ? 1 时,左边=12=1,右边= ( ?1) ? 2

左边=右边,等式成立 (2)假设 n ? k (k ? N*) 时,等式成立 即 12 ? 22 ? 32 ? 42 ???? ? (?1)k ?1 k 2 = (?1) 则当 n ? k ? 1 时,
k ?1

(1 ? 2 ? 3 ? ??? ? k ) ? (?1) k ?1

k (k ? 1) . 2

12 ? 22 ? 32 ? 42 ???? ? (?1)k ?1 k 2 ? (?1)k (k ? 1)2 k ?1 k ( k ? 1) ? (?1) k (k ? 1) 2 = (?1) 2

= (?1)k (k ? 1) ?(k ? 1) ? = (?1)
k

k? ? 2? ? ? (k ? 1) ? (k ? 1) ? 1?

∴当 n ? k ? 1 时,等式也成立 根据(1) 、 (2)可知,对于任何 n∈N*等式均成立.

2

高二选修 2-2 数学周末练习卷答案 1—5
9. 1 ?

?

CDAAB
10. 7 11. 24

6—8

CCB
13. 1030

4

12、a≥0

14. 15.解析:(Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) .

1 1 ? 4 ,令 f ?( x) ? ? 2 ? 4 =0 , 2 x x 1 1 得 x1 ? ; x2 ? ? (舍去) . 2分 x 2 2 f ?( x) ? ?
当 x 变化时, f ? ? x ? , f ( x) 的取值情况如右:

1 (0, ) 2
— 减

1 2
0 极小值 4

1 ( , ??) 2

1 所以,函数 f ( x ) 的极小值为 f ( ) ? 4 , 2
无 极 大 值 .

f ? ? x?
f ( x)

?
增 分

所以,实数 m 的取值范围是 ? ??, ?

? ?

13 ? ?. 3?


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