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2.1曲线与方程(三个课时) - 上课用


2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程

复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程 为____________ 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的

y ? kx ? b

x-y=0 直线方程是______________
3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程
为_______________________.

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下 的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. y 那么,这个方程叫做曲线的方程; f(x,y)=0 这条曲线叫做方程的曲线.
0 x

练习1:下述方程表示的图形分别是下图 中的哪一个?

Y 1 O 1 X 1 O 1 X -1 O -1

x - y =0

② |x|-|y|=0
Y

③ x-|y|=0
Y 1 X Y 1 1 O -1 1 X

A

B

C

D

①表示 B

②表示 C

③表示 D

练习2:设圆M的方程为( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 2 ,直线l 的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( C )
2 2

A.点P在直线上,但不在圆上 B.点P在圆上,但不在直线上; C.点P既在圆上,也在直线上 D.点P既不在圆上,也不在直线上 练习3:已知方程 mx ? ny ? 4 ? 0 的曲线经过 4 4 点 A(1,?2), B(?2,1) ,则 m =_____, n =______.
2 2

5

5

2.1.2求曲线的方程

例 2. 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.

如何求曲线的方程?

法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求. 1 7 ? (?1) 解:∵ kAB ? ? 2 ,∴所求直线的斜率 k = ? 3 ? (?1) 2 ?1 ? 3 ?1 ? 7 , ) 即(1,3) 又∵线段 AB 的中点坐标是 (

2 2 1 ∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 1) . 2 法二:若没有现成的结论怎么办? 即 x+2y-7=0

──需要掌握一般性的方法

例2.设A、B两点的坐标是(-1,-1),(3,7), 求线段AB的垂直平分线的方程.
解法二:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点 ,也就是点M属于集合 P ? ?M | MA |?| MB |? 由两点间的距离公式,点M所适合条件可表示为:
.

( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? ( x ? 3)2 ? ( y ? 7)2

将上式两边平方,整理得: x+2y-7=0

1.求曲线的方程的一般步骤:

设(建系设点)

--- M(x,y)

找(找等量关系) --- P={M|M满足的条件} 列(列方程) 化(化简方程)

验(以方程的解为坐标的点都是曲线上的点)

例3.已知一条直线l和它上方的一个点A,点A到 l的距离是2,一条曲线也在l的上方,它上面的每 一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立 适当的坐标系,求这条曲线的方程.
解:取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy, 设点M(x,y)是曲线上任意一点, MB⊥x轴,垂足是B, 1)建系设点

? MA ? MB ? 2
2

2)列式
2

B 因为曲线在x轴的上方,所以y>0, 所以曲线的方程是

? ( x ? 0) ? ( y ? 2) ? y ? 2 3)代换 1 2 4)化简 ?y ? x 8

A(0, 2) ?

?M

1 2 y ? x ( x ? 0) 8

5)审查

通过上述两个例题了解坐标法的解题方法, 明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础; 同时,根据曲线上的点所要适合的条件列出等 式,是求曲线方程的重要环节,在这里常用到 一些基本公式,如两点间距离公式,点到直线 的距离公式,直线的斜率公式,中点公式等, 因此先要了解上述知识,必要时作适当复习.

课堂练习: 练习 1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4) 的距离相等,求点 M 的轨迹方程.
解:设点 M 的坐标为(x,y) ∵点 M 与 x 轴的距离为 y ,
FM ? x ? ( y ? 4)
2 2

建立坐标系 设点的坐标

限(找几何条件) 代(把条件坐标化

∴ y = x ? ( y ? 4)
2
2 2 2

2

∴ y ? x ? y ? 8 y ? 16 2 ∴ x ? 8 y ? 16 这就是所求的轨迹方程.

化简

课外练习: 1. “曲线 C 上的点的坐标都是方程 f ( x, y) =0 的解” 是“方程 f ( x, y) =0 是曲线 C 的方程”的(C )条 件. (A)充分非必要 (B)必要非充分 (C)充要 (D)既非充分也非必要 2.△ABC 的顶点坐标分别为 A(?4, ?3) , B(2, ?1) , C (5,7) , 则 AB 边上的中线的方程为___________.

3x ? 2 y ? 0(?1≤ x ≤ 5)


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