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二项式定理公式、各种例题讲解及练习


二项式定理例题讲解
分 类 计 数 原 理 做一件事,完成它有 n 类不同的办法。第一类办 做一件事, 完成它需要分成 n 个步骤。 第一步中有 m1 种方法, 法中有 m1 种方法,第二类办法中有 m2 种方 第二步中有 m2 种方法……,第 n 步中有 mn 种方法,则完成 法……,第 n 类办法中有 mn 种方法,则完成这件 这件事共有:N=m1 m2 … mn 种方法。 事共有:N=m1+m2+…+mn 种方法。 注意:处理实际问题时,要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理,这两个原理的标志是“分类”还是“分 步骤”。 排列 组合 分 步 计 数 原理

从 n 个不同的元素中取 m(m≤n)个元素,按照一定从 n 个不同的元素中,任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 的顺序排成一排,叫做从 n 个不同的元素中取 m 个元素的排列。 排列数 n 个不同的元素中取 m 个元素的组合。 组合数

从 n 个不同的元素中取 m(m≤n)个元素的所有排列 从 n 个不同的元素中取 m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫 的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,记为 Cnm 排列数,记为 Pnm 选排列数 全排列数

二项式定理

(1)项数:n+1 项

(2)指数: 各项中的 a 的指数由 n 起依次减少 1, 直至 0 为止; 的指出从 0 起依次增加 1, b 直至 n 为止。而每项中 a 与 b 的指数之和均等于 n 。 二项展开式的性质 (3)二项式系数:

各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和

例 1.试求: (1)(x3- (2)(2x2-
2 x
2

)5 的展开式中 x5 的系数; )6 的展开式中的常数项;

1 x

(3)(x-1)9 的展开式中系数最大的项; (4)在 ( 3 x ?
3

2)
r

100

的展开式中,系数为有理数的项的个数.
5? r

解: (1)Tr+1= C 5 ( x )

3

(?

2 x
2

) ? (?2) C 5 x
r r r

15 ? 5 r

依题意 15-5r=5,解得 r=2 故(-2)2 C 5 =40 为所求 x5 的系数
r

(2)Tr+1= C 6 (2x2)6
r

- r

(?

1 x

) =(-1) ·2
r

r

6- r

·C 6 x

r

12 ? 3 r

依题意 12-3r=0,解得 r=4 故 ( ? 1) ·22 C 6 =60 为所求的常数项.
4
2

(3)Tr+1= ( ? 1) C 9 x
r
r 4 5

9?r

∵ C 9 ? C 9 ? 126 ,而(-1)4=1,(-1)5=-1 ∴ T5=126x5 是所求系数最大的项 (4)Tr+1= C 100 ( 3 x )
r 100 ? r

( 3 2 ) ? C 100 ? 3
r r

50 ?

r 2

r

?23 x

100 ? r

,

要使 x 的系数为有理数,指数 50-

r 2



r 3

都必须是整数,

因此 r 应是 6 的倍数,即 r=6k(k∈Z) , 又 0≤6k≤100,解得 0≤k≤16
2 3

(k∈Z)

∴x 的系数为有理数的项共有 17 项. 评述 求二项展开式中具有某特定性质的项, 关键是确定 r 的值或取值范围. 应当注意的是二项式系数与二 项展开式中各项的系数不是同一概念,要加以区分.

例 2.试求: (1)(x+2)10(x2-1)的展开式中 x10 的系数; (2)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5 的展开式中 x2 的系数;
? ? 1 ? 2 ? 的展开式中的常数项. (3) ? x ? ? ? x ? ?
3

解: (1)∵ (x+2)10=x10+20x9+180x8+… ∴ (x+2)10(x2-1)的展开式中 x10 的系数是-1+180=179 (2)∵ (x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5 =
( x ? 1){1 ? [ ? ( x ? 1)] }
5

1 ? [ ? ( x ? 1)]

?

( x ? 1) ? ( x ? 1) x

6

∴所求展开式中 x2 的系数就是(x-1)6 的展开式中 x3 的系数 ? C 6 =-20
3

? ? ? 1 ? ? 2? = (3)∵ ? x ? ? ? ? x ? ? ?
3

x ?

? 1 ? ? x ?
3

6

∴ 所求展开式中的常数项是- C 6 =-20 评述 这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加,或扩展为简单的三项展开式,求解的关键 在于转化为二项展开式的问题,转化时要注意分析题目中式子的结构特征. 例 3. (1)已知(1+x)n 的展开式中,x3 的系数是 x 的系数的 7 倍,求 n 的值; (2)已知(ax+1)7(a≠0)的展开式中,x3 的系数是 x2 的系数与 x4 的系数的等差中项,求 a 的值; (3)已知(2x+ x
3
1 gx

)8 的展开式中,二项式系数最大的项的值等于 1120,求 x 的值.
1

解: (1)依题意 C n ? 7 C n ,即

n ( n ? 1)( n ? 2 ) 6

=7n

由于 n∈N,整理得 n2-3n-40=0,解得 n=8 (2) 依题意 C 7 a ? C 7 a ? 2 C 7 a
5 2 3 4 4 3

由于 a≠0,整理得 5a2-10a+3=0,解得 a=1± (3)依题意 T5= C 8 ( 2 x ) ( x 整理得 x4(1
+lgx)

10 5

4

4

lg x

) =1120,

4

=1,两边取对数,得

lg2x+lgx=0,解得 lgx=0 或 lgx=-1 ∴x=1 或 x=
n

1 10

评述 (a+b) 的展开式及其通项公式是 a,b,n,r,Tr+1 五个量的统一体,已知与未知相对的,运用函数

与方程的思想方法,应会求其中居于不同位置,具有不同意义的未知数. 例 4. (1)若(2x+ 3 )4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2 的值等于 (2)1+2 C 10 ? 4 C 10 ? ? ? 2 C 10 =
1 2 10 10

; .
3 ),
4

解(1)令 x=1,得 a0+a1+a2+a3+a4=( 2 ?

4

令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+a4= ( 3 ? 2 ) , 由此可得(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2 =(a0+a1+a2+a3+a4)( a0-a1+a2-a3+a4) =[ ( 3 ? 2 )( 3 ? 2 ) ]4=1 (2)在(1+x)10= ? C 10 x 中,
r r r ?0 10

令 x=2,得 1+2 C 10 ? 4 C 10 ? ? ? 2 C 10 ? 3
1 2 10 10

10

? 59049
n

评述 这是一组求二项式系数组成的式子的值的问题,其理论依据是(a+b)n= ? C n a
r r ? 10

n?r

b 为恒等式.
r

二项式定理练习题
1.在 ?x ? 3 ? 的展开式中, x 的系数为
10

6


6 C. ? 9 C 10



A. ?

27 C 10

6

4 B. 27 C 10

4 D. 9 C 10

2. 已知 a ? b ? 0 , b ? 4 a , ? a ? b ? n 的展开式按 a 的降幂排列,其中第 n 项与第 n+1 项相等,那么正整数 n 等于 A.4 3.已知( a ?
1
3 n

( B.9 C.10 D.11



a

2

) 的展开式的第三项与第二项的系数的比为 11∶2,则 n 是 (



A.10 B.11 C.12 10 4.53 被 8 除的余数是 A.1 B.2 C.3 6 5. (1.05) 的计算结果精确到 0.01 的近似值是 A.1.23 B.1.24 C.1.33 6.二项式 ? 2 ?
? x ? 1
4

D.13 ( D.7 ( D.1.34 ) )

? ? x ?

n

(n ? N)的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则此展开式有理项的项数是 ( ) D.4

A.1

B.2

C.3

1

1
n 2

7.设(3x 3 +x 2 ) 展开式的各项系数之和为 t,其二项式系数之和为 h,若 t+h=272,则展开式的 x 项的系数是 ( A. 1
2
2 6



B.1
5

C.2

D.3 ( )

8.在 (1 ? x ? x ) 的展开式中 x 的系数为 A.4 9. ( 3
1 x

B.5
5 1 x n

C.6

D.7

?

) 展开式中所有奇数项系数之和等于 1024,则所有项的系数中最大的值是

( A.330
4 5



B.462
4

C.680

D.790 ( D.45
5 2

10. ( x ? 1) ( x ? 1) 的展开式中, x 的系数为 A.-40 B.10 C.40



11.二项式(1+sinx)n 的展开式中,末尾两项的系数之和为 7,且系数最大的一项的值为 值为 ? ? A. 或
6

,则 x 在[0,2π ]内的

( B. D.
6 7



?
6

或 或

5? 6 5? 6

C.

?
3


5

3 2? 3

?
3

12.在(1+x) +(1+x) +(1+x) 的展开式中,含 x4 项的系数是等差数列 an=3n-5 的 A.第 2 项 B.第 11 项 C.第 20 项 D.第 24 项





二、填空题:本大题满分 16 分,每小题 4 分,各题只要求直接写出结果. 13. ( x ?
2

1 2x

) 展开式中 x 的系数是

9

9

.

14.若 ?2 x ?
3

3

?

4

4 2 2 ? a 0 ? a 1 x ? ? ? ? ? a 4 x ,则 ? a 0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a 1 ? a 3 ? 的值为__________.

15.若 ( x ? x ) 的展开式中只有第 6 项的系数最大,则展开式中的常数项是
n

?2

.

16.对于二项式(1-x)

1999

,有下列四个命题:
1000

①展开式中 T 1000 = -C 1999

x

999



②展开式中非常数项的系数和是 1; ③展开式中系数最大的项是第 1000 项和第 1001 项; ④当 x=2000 时,(1-x)
1999

除以 2000 的余数是 1.

其中正确命题的序号是__________. (把你认为正确的命题序号都填上) 三、解答题:本大题满分 74 分. 17. (12 分)若 ( 6 x ?
1
6

) 展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.

n

x

(1) 求 n 的值; (2)此展开式中是否有常数项,为什么?

18. (12 分)已知( 数.

1 4

? 2 x ) 的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37,求展式中二项式系数最大的项的系

n

19. (12 分)是否存在等差数列 ?a n ? ,使 a 1 C 0 ? a 2 C 1 ? a 3 C 2 ? ? ? ? ? a n ?1 C n ? n ? 2 n 对任意 n ? N * 都成立?若 n n n n 存在,求出数列 ?a n ? 的通项公式;若不存在,请说明理由.

20. 分) (12 某地现有耕地 100000 亩, 规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%, 人均粮食占有量比现在提高 10%。 如果人口年增加率为 1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少亩(精确到 1 亩)?

21. (12 分)设 f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n ? N ),若其展开式中,关于 x 的一次项系数为 11,试问:m、n 取何 值时,f(x)的展开式中含 x2 项的系数取最小值,并求出这个最小值.

22. (14 分)规定 C x ?
m

x ( x ? 1) ? ( x ? m ? 1) m!

,其中 x∈R,m 是正整数,且 C x ? 1 ,这是组合数 C n (n、m
0 m

是正整数,且 m≤n)的一种推广. (1) 求 C ? 15 的值;
Cx
1 x 3 2

3

(2) 设 x>0,当 x 为何值时, (3) 组合数的两个性质; ①Cn ? Cn
m n?m

(C )

取得最小值?

.
m

②Cn ? Cn
m

m ?1

? C n ?1 .
m

是否都能推广到 C x (x∈R,m 是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能, 则说明理由.


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