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高中数学奥林匹克训练题及答案


高中数学奥林匹克训练题 第一试 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 已知函数 y ? ? (A) 2 x?a 的反函数的图象关于点 (?1,3) 成中心对称图形,则实数 a 等于(A). x ? a ?1 (B)3 (C)-2 (D)-4 2. 我们把离心率等于黄金比 x2 y2 5 ?1 的椭圆称之为“优美椭圆” .设 2 ? 2 ? 1(a >b>0)为优美椭 2 a b 圆, F , A 分别是它的左焦点和右端点, B 是它的短轴的一个端点,则 ? ABF 等于(C). (A) 60 o (B) 75 o (C) 90 o (D) 120 o 3. 已知 ?ABC 三边的长分别是 a, b, c ,复数 z1 , z2 满足 z1 ? a, z2 ? b, z1 ? z2 ? c ,那么复数 定是(C). (A)是实数 z1 一 z2 (B)是虚数 (C)不是实数 (D)不是纯虚数 x 1 ? (?1)1?C2 x ? Px5? 2 4. 函数 f ( x) ? 6 2 的最大值是(D). 2 2 1 ? C3 ? C4 ? ? Cx ?1 (A) 20 (B) 10 (C) ?10 (D) ?20 5 . 以 O 为球心, 4 为半径的球与三条相互平行的直线分别切于 A, B, C 三点.已知 S ?BOC ? 4 , S?ABC ? 16 ,则 ?ABC 等于(B). (A) ? 12 (B) 5? 12 (C) 7? 12 (D) 11? 12 6. 在集合 M ? {1, 2,3,?,10} 的所有子集中,有这样一族不同的子集,它们两两的交集都不是空集, 那么这族子集最多有(B). (A) 2 个 10 (B) 2 个 9 (C) 10 个 2 (D) 9 个 2 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1.在直角坐标系中,一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴,且两直角边上的中线所在直线 方程分别是 y ? 3x ? 1 和 y ? mx ? 2 ,则实数 m 的值是 3 或12 4 . 2. 设 f ( x) ? ax (a ? 0, a ? 1) , [ m ] 表 示 不 超 过 实 数 m 的 最 大 整 数 , 则 函 数 1? ax {?1, 0} . 1 1 [ f ( x) ? ] ? [ f (? x) ? ] 的值域是 2 2 3 . 设 a, b, c 是 直 角 三 角 形 的 三 条 边 长 , c 为 斜 边 长 , 那 么 使 不 等 式 a 2 (b ? c) ? b 2 (c ? a) ? c 2 (a ? b) ? kabc 对所有直角三角形都成立的 k 的最 大值是 2?3 2 . A1 D C1 B1 4. 如图, 正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各条棱长都是 1, 截面 BCD1 在棱 AA1 上 的交点为 D ,设这个截面与底面 ABC 和三个侧面 ABB1 A 1 , BCC1B 1 , CAAC 1 1 C B 所成的二面角依次为 ?1 ,? 2 ,?3 ,? 4 ,若 cos?1 ? cos?2 ? cos?3 ? cos?4 ,则 A 截面的面积等于 3 3 8 . 5 . 已 知 f ( x ) 是 定 义 域 在 实 数 集 的 函 数 , 且 f ( x ? 2)[1 ? f ( x)] ? 1 ? f ( x).若f (1)

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