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山东省淄博市2015届高三数学三模试卷(理科)


2015 年山东省淄博市高考数学三模试卷(理科)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知复数 z1=1﹣i,z2=1+i,则 A. 2i B. ﹣2i C. 2+i D. ﹣2+i 等于( )

2.设集合 A={x|x ﹣2x﹣3<0},B={y|y=e ,x∈R},则 A∩B=( A. (0,3) B. (0,2) C. (0,1) D. (1,2)

2

x



3.已知函数 f(x)=2sin(2x+φ ) (|φ |< 的一个对称中心是( A. ) B. C.

的图象过点

,则 f(x)的图象

D.

4.下列四个结论:其中正确结论的个数是(



①命题“? x∈R,x﹣lnx>0”的否定是“? x0∈R,x0﹣lnx0≤0” ; ②命题“若 x﹣sinx=0,则 x=0”的逆否命题为“若 x≠0,则 x﹣sinx≠0” ; ③“命题 p∨q 为真”是“命题 p∧q 为真”的充分不必要条件; ④若 x>0,则 x>sinx 恒成立. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

5.已知函数 f(x)= x +cosx,f′(x)是函数 f(x)的导函数,则 f′(x)的图象大致是 ( )

2

A.

B.

C.

D.

6.如图是一个算法的流程图.若输入 x 的值为 2,则输出 y 的值是(



A. 0 B. ﹣1 C. ﹣2 D. ﹣3

7.已知函数 f(x)=(x﹣1)的三个零点值分别可以作为抛物线、椭圆、双曲线的离心率, 则 a +b 的取值范围是(
2 2

) )

A. 上恒成立,则实数 a 的取值范围是(

A. (﹣∞,﹣2) B. (﹣∞,0) C. (0,2) D. (﹣2,0)

10.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的半焦距为 c,过右焦点且斜率为 1 的直线与双曲

线的右支交于两点,若抛物线 y =4cx 的准线被双曲线截得的弦长是 心率) ,则 e 的值为( A. B. C. ) 或 3 D. 或

2

be (e 为双曲线的离

2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 25 分. 12.若函数 f(x)=x +2x+2a 与 g(x)=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值,则 dx= .
2

f(x)

13.设 、 、 都是单位向量且 ? =0,则( + ) ( + )的最大值为 ?



14.在实数集 R 中定义一种运算“*” ,对任意 a,b∈R,a*b 为唯一确定的实数,且具有性质: (Ⅰ)对任意 a∈R,a*0=a; (Ⅱ)对任意 Ra,b∈R,a*b=ab+(a*0)+(b*0) . 关于函数 f(x)=(e )*
x

的性质,有如下说法:①函数 f(x)的最小值为 3;②函数 f(x)

为偶函数;③函数 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,0].其中所有正确说法的序号 为 .

15. 已知函数 f (x) =

, 点 O 为坐标原点, 点 A( f (n) ) (n∈N ) , 向量 n n,

*

是向量 为

与 的夹角,则 .

的值

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.设向量 =(sin2ω x,cos2ω x) , =(cosφ ,sinφ ) ,其中|φ |< (x)= ,ω >0,函数 f ,

的图象在 y 轴右侧的第一个最高点(即函数取得最大值的点)为 .

在原点右侧与 x 轴的第一个交点为 (Ⅰ)求函数 f(x)的表达式;

(Ⅱ)在△ABC 中,角 A′B′C 的对边分别是 a′b′c′若 f(C)=﹣1, a+b=2 ,求边长 c.

,且

17.在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,E 是 PD 的中点,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠ CAD=60°,AC=AP=2. (Ⅰ)求证:PC⊥AE; (Ⅱ)求二面角 A﹣CE﹣P 的余弦值.

18.某单位要从甲、乙、丙、丁四支门球队中选拔两支参加上级比赛,选拔赛采用单循环制 (即每两个队比赛一场) ,并规定积分前两名的队出线,其中胜一场积 3 分,平一场积 1 分, 负一场积 0 分.在经过三场比赛后,目前的积分状况如下:甲队积 7 分,乙队积 1 分,丙和 丁队各积 0 分.根据以往的比赛情况统计: 乙队胜的概率 乙队平的概率 乙队负的概率 与丙 队比赛 与丁队比赛 注:各队之间比赛结果相互独立. (Ⅰ)选拔赛结束,求乙队积 4 分的概率; (Ⅱ)设随机变量 X 为选拔赛结束后乙队的积分,求随机变量 X 的分布列与数学期望; (Ⅲ)在目前的积分情况下,M 同学认为:乙队至少积 4 分才能确保出线,N 同学认为:乙队 至少积 5 分才能确保出线.你认为谁的观点对?或是两者都不对?(直接写结果,不需证明)

19.表是一个由正数组成的数表,数表中各列依次成等差数列,各行依次成等比数列,且公 比都相等.已知 a1,1=1,a2,3=8,a3,2=6. (Ⅰ)求数列{a2,n}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 和 Sn.

a1,1 a1,2 a1,3 a1,4 ?

a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 ? a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 ? a4,1 a4,2 a4,3 a4,4 ? ? ? ? ? ?

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)经过点 M(﹣2,﹣1) ,离心率为

.过点 M 作倾斜

角互补的两条直线分别与椭圆 C 交于异于 M 的另外两点 P、Q. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)证明:直线 PQ 的斜率为定值,并求这个定值; (Ⅲ)∠PMQ 能否为直角?证明你的结论.

21.已知函数 f(x)=ln(1+x)﹣



(Ⅰ)证明:当 a=1,x>0 时,f(x)>0; (Ⅱ)若 a>1,讨论 f(x)在(0,+∞)上的单调性; (Ⅲ)设 n∈N*,比较 与 n﹣ln(1+n)的大小,并加以证明.

2015 年山东省淄博市高考数学三模试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知复数 z1=1﹣i,z2=1+i,则 A. 2i B. ﹣2i C. 2+i D. ﹣2+i 等于( )

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 代入复数,利用复数的代数形式的乘除运算,求解即可. 解答: 解:∵复数 z1=1﹣i,z2=1+i, 则 = = = =﹣2i.

故选:B. 点评: 本题考查复数的代数形式的乘除运算,基本知识的考查.

2.设集合 A={x|x ﹣2x﹣3<0},B={y|y=e ,x∈R},则 A∩B=( A. (0,3) B. (0,2) C. (0,1) D. (1,2)

2

x



考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 中不等式的解集确定出 A,求出 B 中 y 的范围确定出 B,找出两集合的交集即 可. 解答: 解:由 A 中不等式变形得: (x﹣3) (x+1)<0, 解得:﹣1<x<3,即 A=(﹣1,3) , 由 B 中 y=e >0,得到 B=(0,+∞) , 则 A∩B=(0,3) , 故选:A.
x

点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

3.已知函数 f(x)=2sin(2x+φ ) (|φ |< 的一个对称中心是( A. ) B. C.

的图象过点

,则 f(x)的图象

D.

考点: 正弦函数的对称性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由题意可得 可解得:x=﹣ =2sinφ ,结合(|φ |< 可得φ 的值,由五点作图法令 2x+ =0,

,则可求 f(x)的图象的一个对称中心. 的图象过点 ,

解答: 解:∵函数 f(x)=2sin(2x+φ ) (|φ |< ∴ =2sinφ ,由(|φ |< ) , =0,可解得:x=﹣ ,可得:φ =

∴f(x)=2sin(2x+ ∴由五点作图法令 2x+ . 故选:B.

,则 f(x)的图象的一个对称中心是

点评: 本题主要考查了正弦函数的对称性,属于基本知识的考查.

4.下列四个结论:其中正确结论的个数是(



①命题“? x∈R,x﹣lnx>0”的否定是“? x0∈R,x0﹣lnx0≤0” ; ②命题“若 x﹣sinx=0,则 x=0”的逆否命题为“若 x≠0,则 x﹣sinx≠0” ; ③“命题 p∨q 为真”是“命题 p∧q 为真”的充分不必要条件; ④若 x>0,则 x>sinx 恒成立. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

考点: 复合命题的真假;命题的否定. 专题: 简易逻辑.

分析: ①利用命题的否定定义即可判断出真假; ②利用逆否命题的定义即可判断出真假; ③利用复合命题真假的判定方法、充要条件的判定方法即可判断出真假; ④若 x>0,令 f(x)=x﹣sinx,则 f′(x)=1﹣cosx≥0,即可函数 f(x)在(0,+∞)上 的单调性,即可判断出真假. 解答: 解:①命题“? x∈R,x﹣lnx>0”的否定是“? x0∈R,x0﹣lnx0≤0” ,正确; ②命题“若 x﹣sinx=0,则 x=0”的逆否命题为“若 x≠0,则 x﹣sinx≠0” ,正确; ③“命题 p∨q 为真” ,则 p 与 q 中至少有一个为真命题,取 p 真 q 假时, “命题 p∧q 为真” 为假命题,反之:若“命题 p∧q 为真” ,则 p 与 q 都为真命题,因此“命题 p∨q 为真” ,∴ “命题 p∨q 为真”是“命题 p∧q 为真”的必要不充分条件,因此是假命题; ④若 x>0,令 f(x)=x﹣sinx,则 f′(x)=1﹣cosx≥0,因此函数 f(x)在(0,+∞)上 单调递增,∴f(x)>f(0)=0,则 x>sinx 恒成立,正确. 综上只有①②④是真命题. 故选:C. 点评: 本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性,考查了推理能力,属 于中档题.

5.已知函数 f(x)= x +cosx,f′(x)是函数 f(x)的导函数,则 f′(x)的图象大致是 ( )

2

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 由于 f(x)=x+cosx,得 f′(x)= x﹣sinx,由奇函数的定义得函数 f′(x)为奇 函数,其图象关于原点对称,排除 BD,取 x= 除 C,只有 A 适合. 解答: 解:由于 f(x)=x+cosx, ∴f′(x)= x﹣sinx, ∴f′(﹣x)=﹣f′(x) ,故 f′(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除 BD, 又当 x= 故选:A. 点评: 本题考查函数的图象,考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能 力,同时考查导数的计算,属于中档题. 时,f′( )= ﹣sin = ﹣1<0,排除 C,只有 A 适合, 代入 f′( )= ﹣sin = ﹣1<0,排

6.如图是一个算法的流程图.若输入 x 的值为 2,则输出 y 的值是(



A. 0 B. ﹣1 C. ﹣2 D. ﹣3

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 利用循环结构,直到条件不满足退出,即可得到结论. 解答: 解:执行一次循环,y=0,x=0;

执行第二次循环,y=﹣1,x=﹣2; 执行第三次循环,y=﹣2,满足条件,退出循环 故选 C 点评: 本题考查循环结构,考查学生的计算能力,属于基础题.

7.已知函数 f(x)=(x﹣1)的三个零点值分别可以作为抛物线、椭圆、双曲线的离心率, 则 a +b 的取值范围是( A. 解答: 解:令函数 f(x)=(x﹣1)=0, ∴x=1 是其中的一个根, 所以 f(x)=(x﹣1)的另外两个零点分别是一个椭圆一个双曲线的离心率, 故 g(x)=x +(1+a)x+a+b+1,有两个分别属于(0,1) , (1,+∞)的零点, 故有 g(0)>0,g(1)<0,即 a+b+1>0 且 2a+b+3<0, 利用线性规划的知识,可确定 a +b 的取值范围是(5,+∞) . 故选:D.
2 2 2 2 2



点评: 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系,简单线性规划,考查计算能力.

8.用 1,2,3,4,5,6 组成数字不重复的六位数,满足 1 不在左右两端,2,4,6 三个偶数 中,有且只有两个偶数相邻,则这样的六位数的个数为( A. 432 B. 288 C. 216 D. 144 )

考点: 排列、组合及简单计数问题.

专题: 概率与统计. 分析: 从 2,4,6 三个偶数中任意选出 2 个看作一个“整体” ,方法有 奇数:用插空法求得结果,再排除 1 在左右两端的情况,问题得以解决. 解答: 解:从 2,4,6 三个偶数中任意选出 2 个看作一个“整体” ,方法有 先排 3 个奇数,有 的 4 个空中, 方法有 =12 种. =6 种, =6 种.先排 3 个

=6 种,形成了 4 个空,将“整体”和另一个偶数中插在 3 个奇数形成

根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有 6×6×12=432 种. 若 1 排在两端,1 的排法有 ? =4 种, =6 种,

形成了 3 个空,将“整体”和另一个偶数中插在 3 个奇数形成的 3 个空中,方法有 根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有 6×4×6=144 种, 故满足 1 不在左右两端,2,4,6 三个偶数中有且只有两个偶数相邻, 则这样的六位数的个数为 432﹣144=288 种. 故选:B.

点评: 本题主要考查排列、组合、两个基本原理的应用,注意不相邻问题用插空法,相邻问 题用捆绑法,属于中档题.

9.已知 f(x)= a 的取值范围是( )

,不等式 f(x+a)>f(2a﹣x)在上恒成立,则实数

A. (﹣∞,﹣2) B. (﹣∞,0) C. (0,2) D. (﹣2,0)

考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据二次函数的单调性容易判断出函数 f(x)在 R 上单调递减,所以根据题意得到 x+a<2a﹣x,即 2x<a 在上恒成立,所以只需满足 2(a+1)<a,解该不等式即得实数 a 的取 值范围 解答: 解:当 x>0 时,f(x)=﹣x ﹣2x+3=﹣(x+1) +4 此时函数 f(x)单调递减,
2 2

∵不等式 f(x+a)>f(2a﹣x)在上恒成立 ∴x+a<2a﹣x 恒成立, 即 a>2x 恒成立, ∵x∈, ∴(2x)max=2(a+1)=2a+2, 即 a>2a+2, 解得 a<﹣2, 当 x≤0 时,f(x)=x ﹣4x+3=(x﹣2) ﹣1 此时函数 f(x)单调递减, ∵不等式 f(x+a)>f(2a﹣x)在上恒成立 ∴x+a<2a﹣x 恒成立, 即 a>2x 恒成立, ∵x∈, ∴(2x)max=2(a+1)=2a+2, 即 a>2a+2, 解得 a<﹣2, 综上所述:即实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣2) . 故选:A 点评: 考查二次函数的对称轴,二次函数的单调性,以及分段函数单调性的判断方法,函数 单调性定义的运用,以及一次函数的单调性.
2 2

10.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的半焦距为 c,过右焦点且斜率为 1 的直线与双曲

线的右支交于两点,若抛物线 y =4cx 的准线被双曲线截得的弦长是 心率) ,则 e 的值为( A. B. C. ) 或 3 D. 或

2

be (e 为双曲线的离

2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 抛物线 y =4cx 的准线:x=﹣c,它正好经过双曲线 C:

2



=1(a>b>0)的左焦

点,准线被双曲线 C 截得的弦长为: 出离心率的值.

,可得

=

be ,得出 a 和 c 的关系,从而求

2

解答: 解:∵抛物线 y =4cx 的准线:x=﹣c,它正好经过双曲线 C: 的左焦点, ∴准线被双曲线 C 截得的弦长为: ∴ 即:
4

2



=1(a>b>0)



=
2

be ,

2

c =3ab,
2 2 2

∴2c =9a (c ﹣a ) , ∴2e ﹣9e +9=0 ∴e= 或 ,
4 2

又过焦点且斜率为 1 的直线与双曲线的右支交于两点, ∴e= .

故选:A. 点评: 本题考查直线方程、椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系.由圆锥曲线的方程求焦点、 离心率、双曲线的三参数的关系:c =a +b 注意双曲线与椭圆的区别.
2 2 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 25 分. 12. 若函数 f (x) =x +2x+2a 与 g (x) =|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值, 则
2

f (x) dx=



考点: 定积分. 专题: 导数的综合应用. 分析: 首先由已知得到 a>1,然后利用最小值相等得到 a 的值,然后求定积分. 解答: 解:由已知 a>1,并且 f(x)=x +2x+2a=(x+1) +2a﹣1,它的最小值为 2a﹣1, g(x)=|x﹣1|+|x+a|的最小值为 1+a, 所以 2a﹣1=1+a 解得 a=2,
2 2

所以

f(x)dx= .

=(

)|

=



故答案为:

点评: 本题考查了二次函数、绝对值函数的最小值以及定积分的计算,关键是正确求出 a 值, 然后计算定积分.

13.设 、 、 都是单位向量且 ? =0,则( + ) ( + )的最大值为 ?



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 由已知中 、 、 都是单位向量且 ? =0,可设 =(1,0) , =(0,1) , =(cosθ , sinθ ) ,进而根据和差角公式可将( + ) ( + )的表达式转化为正弦型函数的形式,进而 ? 根据正弦型函数的性质得到( + ) ( + )的最大值. ? 解答: 解:∵ 、 、 都是单位向量且 ? =0 设 =(1, 0) , =(0,1) , =(cosθ ,sinθ ) , 则( + ) ( + )=(1,1) ? (cosθ ,1+sinθ )=cosθ +1+sinθ = ? 故( + ) ( + )的最大值为 ? 故答案为: 点评: 本题考查的知识点是平面向量数量积的运算,其中求出( + ) ( ? + )的表达式,是 解答本题的关键. sin(θ + )+1

14.在实数集 R 中定义一种运算“*” ,对任意 a,b∈R,a*b 为唯一确定的实数,且具有性质: (Ⅰ)对任意 a∈R,a*0=a; (Ⅱ)对任意 Ra,b∈R,a*b=ab+(a*0)+(b*0) . 关于函数 f(x)=(e )*
x

的性质,有如下说法:①函数 f(x)的最小值为 3;②函数 f(x)

为偶函数; ③函数 f (x) 的单调递增区间为 (﹣∞, 0]. 其中所有正确说法的序号为 ①② .

考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直线阅读新定义得出函数关系式函数 f(x)=(e )* 偶函数的定义判断即可. 解答: 解;根据得出:函数 f(x)=(e )* ∵e +
x x x

=1+e +

x

,利用基本不等式,

=1+e +

x

≥2(x=0 时等号成立)

∴函数 f(x)的最小值为 3,故①正确; ∵f(﹣x)=1+e
﹣x

=1+e

x

=f(x) ,

函数 f(x)为偶函数;故②正确; 运用复合函数的单调性判断函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞) . 故③不正确 故答案:①② 点评: 本题考查了新定义的题目,基本不等式的运用,符合函数的单调性,综合性较强,但 是难度不大.

15. 已知函数 f (x) =

, 点 O 为坐标原点, 点 A( f (n) ) (n∈N ) , 向量 n n,

*

是向量

与 的夹角,则

的值为



考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据题意, 子的值. 解答: 解:根据题意得, ﹣θ n 是直线 OAn 的倾斜角, ﹣θ n 是直线 OAn 的倾斜角,化简 为 ,从而求出要求式



=

=tan(

﹣θ n)=

=

=2( ﹣

) ,



=2(1﹣ + ﹣ + ﹣ +?+





=2(1﹣ 故答案:

)= .



点评: 本题考查了平面向量的应用问题,也考查了直线的倾斜角与斜率的应用问题以及求函 数值的应用问题,是综合性题目.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.设向量 =(sin2ω x,cos2ω x) , =(cosφ ,sinφ ) ,其中|φ |< (x)= ,ω >0,函数 f ,

的图象在 y 轴右侧的第一个最高点(即函数取得最大值的点)为 .

在原点右侧与 x 轴的第一个交点为 (Ⅰ)求函数 f(x)的表达式;

(Ⅱ)在△ABC 中,角 A′B′C 的对边分别是 a′b′c′若 f(C)=﹣1, a+b=2 ,求边长 c.

,且

考点: 余弦定理的应用;平面向量的综合题. 专题: 解三角形. 分析: (I)利用向量的数量积通过两角和与差的三角函数化简函数的解析式,利用已知条 件求解解析式即可. (II)求出 C,利用 ,以及余弦定理即可求出 c 的值.

解答: 解: (I)因为向量 =(sin2ω x,cos2ω x) , =(cosφ ,sinφ ) , 所以 ﹣﹣﹣﹣﹣1 分 由题意 ﹣﹣﹣﹣﹣3 分 将点 代入 y=sin(2x+φ ) ,得 , , ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ =sin2ω xcosφ +cos2ω xsinφ =sin(2ω x+φ ) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

所以 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣5 分 即函数的表达式为 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6 分 (II)由 f(C)=﹣1,即 又∵0<C<π ,∴ 由 ,知

,又因为

,∴

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8 分 ,

所以 ab=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10 分 由余弦定理知 c =a +b ﹣2abcosC=(a+b) ﹣2ab﹣ 2abcosC= 所以 c=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12 分. 点评: 本题考查余弦定理的应用,两角和与差的三角函数,三角形的解法,考查计算能力.
2 2 2 2

17.在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,E 是 PD 的中点,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠ CAD=60°,AC=AP=2. (Ⅰ)求证:PC⊥AE; (Ⅱ)求二面角 A﹣CE﹣P 的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)根据线面垂直的判定定理即可证明 PC⊥AE;

(Ⅱ)建立空间坐标系,利用向量法即可求二面角 A﹣CE﹣P 的余弦值. 解答: 证明: (Ⅰ)取 PC 的中点 F,连接 EF,AF, 则 EF∥CD. 因为 AC=AP=2 所以 PC⊥AF.?1 分 因为 PA⊥平面 ABCD,CD? 平面 ABCD 所以 PA⊥CD 又 AC⊥CD 所以 CD⊥平面 PAC?3 分 因为 PC? 平面 PAC,所以 CD⊥PC; 又 EF∥CD,所以 EF⊥PC; 又因为 PC⊥AF,AF∩EF=F; 所以 PC⊥平面 AEF?5 分 因为 AE? 平面 AEF,所以 PC⊥AE?6 分 (注:也可建系用向量证明)

(Ⅱ)以 B 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 B﹣xyz. 则 B(0,0,0) ,A(0,1,0) , P(0,1,2) ?8 分 设平面 ACE 的法向量为 =(x,y,z) ,则 , , , . , ,

所以

令 x=1.所以 =(1,

,﹣2

) . ?9 分

由(Ⅰ)知 CD⊥平面 PAC,AF? 平面 PAC, 所以 CD⊥AF. 同理 PC⊥AF.所以 AF⊥平面 PCE 所以平面 PCE 的一个法向量 = =( , ,1) . ?10 分

所以 cos<

>=

=

,?11 分

由图可知,二面角 A﹣CE﹣P 为锐角, 所以二面角 A﹣CE﹣P 的余弦值为 . ?12 分.

点评: 本题主要考查空间二面角的求解以及直线垂直的判断,建立空间坐标系,利用向量法 是解决本题的关键.

18.某单位要从甲、乙、丙、丁四支门球队中选拔两支参加上级比赛,选拔赛采用单循环制 (即每两个队比赛一场) ,并规定积分前两名的队出线,其中胜一场积 3 分,平一场积 1 分, 负一场积 0 分.在经过三场比赛后,目前的积分状况如下:甲队积 7 分,乙队积 1 分,丙和 丁队各积 0 分.根据以往的比赛情况统计: 乙队胜的概率 乙队平的概率 乙队负的概率 与丙 队比赛 与丁队比赛 注:各队之间比赛结果相互独立. (Ⅰ)选拔赛结束,求乙队积 4 分的概率; (Ⅱ)设随机变量 X 为选拔赛结束后乙队的积分,求随机变量 X 的分布列与数学期望; (Ⅲ)在目前的积分情况下,M 同学认为:乙队至少积 4 分才能确保出线,N 同学认为:乙队 至少积 5 分才能确保出线.你认为谁的观点对?或是两者都不对?(直接写结果,不需证明)

考点: 离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 概率与统计.

分析: (Ⅰ)设乙队胜、平、负丙队为事件 A1、A2、A3,乙队胜、平、负丁队为事件 B1、B2、 B3.利用独立事件求概率. (Ⅱ)列举随机变量 X 的可能取值,求出各自概率得到分布列. 解答: 解: (Ⅰ)设乙队胜、平、负丙队为事件 A1、A2、A3,乙队胜、平、负丁队为事件 B1、 B2、B3. 则 P(A1)=P(A2)= ,P(A3)= ;P(B1)=P(B2)=P(B3)= ;?2 分 设乙队最后积 4 分为事件 C, 则 P(C)=P(A1)P(B3)+P(B1)P(A3)= .?4 分

(Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为:7,5,4,3,2,1.?5 分 ; ; ; ; ; ; 随机变量 X 的分布列为:?8 分 X 7 5 4 3 2 1 P .?10 分 (Ⅲ)N 同学的观点对,乙队至少积 5 分才可以出线.?12 分 当乙队积 5 分时,丙队或丁队的得分可能为 4,3,2,1,乙队为小组第 2 出线; 当乙队积 4 分时,丙队或丁队均有可能为 6 分或 4 分,不能确保乙队出线. 点评: 本题主要考查了独立事件求概率的方法和随机变量的分布列期望值,属中档题型.

19.表是一个由正数组成的数表,数表中各列依次成等差数列,各行依次成等比数列,且公 比都相等.已知 a1,1=1,a2,3=8,a3,2=6. (Ⅰ)求数列{a2,n}的通项公式;

(Ⅱ)设 bn=

,求数列{bn}的前 n 和 Sn.

a1,1 a1,2 a1,3 a1,4 ? a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 ? a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 ? a4,1 a4,2 a4,3 a4,4 ? ? ? ? ? ?

考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析:(Ⅰ) 设第一行依次组成的等差数列的公差是 d, 等比数列的公比是 q>0, 可得 a2,3=qa1,
3

=q(1+2d)=8,a3,2=q a1,2=q (1+d)=6,解出 d,q 即可得到所求; + +?+

2

2

(Ⅱ)利用等差数列的通项公式可得 an,1,可得 bn,可得 Sn= (1﹣ + ﹣ 出. 解答: 解: (Ⅰ)设第一列依次组成的等差数列的公差为 d, 设第一行依次组成的等比数列的公比为 q(q≠0) , 则 , + ﹣
n

)﹣1+2﹣3+4﹣5+?+(﹣1) n,再利用裂项相消求和和对 n 分类讨论即可得

解得:

,因为等差数列是正数数列,

所以 d=1,q=2,a2,1=1+1=2, 即有 ;

(Ⅱ)因为 an,1=a1,1+(n﹣1)d=n, 所以

, 则 Sn= (1﹣ + + +?+ ﹣ + ﹣ )﹣1+2﹣3+4﹣5+?+(﹣1) n
n

= 当 n 为偶数时 当 n 为奇数时 ; .



点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式,裂项相消求和分类讨论方法,考查了推 理能力与计算能力,属于中档题.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)经过点 M(﹣2,﹣1) ,离心率为

.过点 M 作倾斜

角互补的两条直线分别与椭圆 C 交于异于 M 的另外两点 P、Q. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)证明:直线 PQ 的斜率为定值,并求这个定值; (Ⅲ)∠PMQ 能否为直角?证明你的结论.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)根据椭圆 C: + =1(a>b>0)经过点 M(﹣2,﹣1) ,离心率为 ,建立

方程可求 a,b 的值,从而可得椭圆的方程; (Ⅱ)设直线的倾斜角为α ,β ,则α +β =180°,α =β +∠PMQ,若∠PMQ=90°,则β =45°, α =135°,求出直线的方程与椭圆方程联立,验证即可得到结论; (III)设直线 MP 的斜率为 k,则直线 MQ 的斜率为﹣k,假设∠PMQ 为直角,则 k(﹣ ? k)=﹣1, k=±1,再验证即可求得结论. 解答: (Ⅰ)解:由题设,得 由①、②解得 a =6,b =3, 椭圆 C 的方程为 . ?3 分
2 2

=1,①且

=

,②

(Ⅱ)证明:记 P(x1,y1) 、Q(x2,y2) .由题意知,直线 MP、MQ 的斜率存在. 设直线 MP 的方程为 y+1=k(x+2) ,与椭圆 C 的方程联立,得

(1+2k )x +(8k ﹣4k)x+8k ﹣8k﹣4=0, ﹣2,x1 是该方程的两根,则﹣2x1= 设直线 MQ 的方程为 y+1=﹣k(x+2) , 同理得 x2= .?6 分 ,x1= .

2

2

2

2

因 y1+1=k(x1+2) ,y2+1=﹣k(x2+2) , 故 kPQ= = =1,

因此直线 PQ 的斜率为定值. ?9 分 (Ⅲ)解:设直线 MP 的斜率为 k,则直线 MQ 的斜率为﹣k, 假设∠PMQ 为直角,则 k? (﹣k)=﹣1,k=±1.?11 分 若 k=1,则直线 MQ 方程 y+1=﹣(x+2) , 与椭圆 C 方程联立,得 x +4x+4=0, 该方程有两个相等的实数根﹣2,不合题意; 同理,若 k=﹣1 也不合题意. 故∠PMQ 不可能为直角.?13 分 点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查直线斜率的计算,确定 椭圆方程,联立方程是关键.
2

21.已知函数 f(x)=ln(1+x)﹣



(Ⅰ)证明:当 a=1,x>0 时,f(x)>0; (Ⅱ)若 a>1,讨论 f(x)在(0,+∞)上的单调性; (Ⅲ)设 n∈N*,比较 与 n﹣ln(1+n)的大小,并加以证明.

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)当 a=1 时, ,利用导数研究函数的单调性即可证明;

(Ⅱ)由题设, 与 a ﹣2a>0,分类讨论即可得出; (III)有结论 方法一:上述不等式等价于 + +?+ 令 x= ,n∈N+,则 <ln ,证明如下:
2

.对 a ﹣2a≤0,

2

<ln(n+1) ,由(Ⅰ) ,可得 ln(1+x)>

,x>0.

.利用数学归纳法证明即可. <ln(n+1) ,由(Ⅰ) ,可得 ln(1+x)> ,x>0.

方法二:上述不等式等价于 + +?+ 令 x= ,n∈N+,则 ln >

.化为 ln(n+1)﹣lnn>

.利用“累加求和”即可证明. ,

解答: (Ⅰ)证明:当 a=1 时,

, ∴x>0 时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增, 又 f(0)=0,f(x)>f(0)=0; 结论得证. (Ⅱ)解:由题设,
2



①当 a ﹣2a≤0,即 1<a≤2 时,则 f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上是增函数. ②当 a ﹣2a>0,即 a>2 时,有 x∈(0,a ﹣2a)时,f′(x)<0,f(x)在(0,a ﹣2a) 上是减函数;x∈(a ﹣2a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(a ﹣2a,+∞)上是增函数. 综上可知:当 1<a≤2 时,f(x)在(0,+∞)上是增函数;当 a>2 时,f(x)在(0,a ﹣2a)上是减函数,在(a ﹣2a,+∞)上是增函数. (Ⅲ)解: 方法一:上述不等式等价于 + +?+ 由(Ⅰ) ,可得 ln(1+x)> 令 x= ,n∈N+,则 <ln ,证明如下: <ln(n+1) ,
2 2 2 2 2 2 2

,x>0. .

下面用数学归纳法证明.

①当 n=1 时, <ln 2,结论成立. ②假设当 n=k 时结论成立,即 + +?+ 那么,当 n=k+1 时, + +?+ 即结论成立. 由①②可知,结论对 n∈N+成立. 方法二:上述不等式等价于 + +?+ 由(Ⅰ) ,可得 ln(1+x)> 令 x= ,n∈N+,则 ln 故有 ln 2﹣ln 1> , ln 3﹣ln 2> , ? ln(n+1)﹣ln n> , , > <ln(n+1) , + <ln(k+1) . <ln(k+1)+ <ln(k+1)+ln =ln(k+2) ,

,x>0. .

上述各式相加可得 ln(n+1)> + +?+ 结论得证.

点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、数学归纳法、 “累加求和”方法,考查 了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于难题.


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