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2016-2017苏教版高中数学必修4检测:第2章2.3-2.3.1平面向量基本定理 Word版含解析


第2章 2.3 2.3.1

平面向量

向量的坐标表示 平面向量基本定理
A级 基础巩固

1.已知向量 a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中 e1,e2 不共线,则 a +b 与 c=6e1-2e2 的关系是( A.不共线 C.相等 ) B.共线 D.不确定

解析:因为 a+b=3e1-e2,且 c=6e1-2e2, 所以 c=2(a+b).所以 a+b 与 c 共线. 答案:B → → 2.已知 AD 是△ABC 的 BC 边上的中线,若AB=a,AC=b, → 则AD=( ) 1 B.- (a-b) 2 1 D. (a+b) 2

1 A. (a-b) 2 1 C.- (a+b) 2 解析:如图所示,

→ → → → 因为AE=AB+AC=2AD,

→ 1 所以AD= (a+b). 2 答案:D 3.如果 e1,e2 是平面 α 内所有向量的一组基底,那么下列说法 正确的是( )

A.若实数 λ1,λ2 使λ 1e1+λ2e2=0,则 λ1=λ2=0 B.对空间任意向量 a 都可以表示为 a=λ1e1+λ2e2,其中 λ1,λ2 ∈R C.λ1e1+λ2e2 不一定在平面 α 内,λ1,λ2∈R D.对于平面 α 内任意向量 a,使 a=λ1e1+λ2e2 的实数 λ1,λ2 有 无数对 解:B 错,这样的 a 只能与 e1,e2 在同一平面内,不能是空间任 一向量;C 错,在平面 α 内任意向量都可表示为 λ1e1+λ2e2 的形式, 故 λ1e1+λ2e2 一定在平面 α 内;D 错,这样的 λ1,λ2 是唯一的,而不 是有无数对. 答案:A → 4→ → 4. 已知 A, B, D 三点共线, 且对任一点 C, 有CD= CA+λ CB, 3 则 λ=( 2 A. 3 C.- 1 3 ) 1 B. 3 2 D.- 3

解析:因为 A,B,D 三点共线, → → → → → → 所以存在实数 t,使AD=tAB,则CD-CA=t(CB-CA). → → → → → → 所以CD=CA+t(CB-CA)=(1-t)CA+tCB.

?1-t=4, 3 解之得 λ=-1. 所以? 3 ?t=λ,
答案:C 5.已知向量 a,b 是一组基底,实数 x,y 满足(3x-4y)a+(2x -3y)b=6a+3b,则 x-y 的值为________. 解析:因为 a,b 是一组基底,所以 a 与 b 不共线. 因为(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,
? ? ?3x-4y=6, ?x=6, 所以? 解得? 所以 x-y=3. ?2x-3y=3. ?y=3, ? ?

答案:3 6.如果 3e1+4e2=a,2e1+3e2=b,其中 a,b 为已知向量,则 e1=________,e2=________.
?a=3e1+4e2, ?e1=3a-4b, ? ? 解析:由? 解得? ?b=2e1+3e2, ?e2=3b-2a. ? ?

答案:3a-4b 3b-2a 7.已知 e1,e2 不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λ e2,要使 a,b 能 作为平面内的一组基底,则实数 λ 的取值范围为___________. 解析:若能作为平面内的一组基底,则 a 与 b 不共线. a=e1+2e2,b=2e1+λe2,由 a≠k b 即得 λ≠4. 答案:(-∞,4)∪(4,+∞) → 1→ → → 8. △ABC 中, AE= AB, EF∥BC, 交 AC 于点 F.设AB=a, AC 5 → =b,试用 a,b 表示BF. 解:依题意作图,如图所示.

→ 1→ 因为AE= AB,EF∥BC, 5 → 1→ 所以EF= BC. 5 → → → → 1→ → 4→ 1 → → 所以BF=BE+EF=BE+ BC=- AB+ (AC-AB)=-AB+ 5 5 5 1→ 1 AC=-a+ b. 5 5 → → → → 9.向量OA,OB,OC的终点 A,B,C 在一条直线上,且AC= → → → → -3CB,设OA=p,OB=q,OC=r,则以下等式成立的是( 1 3 A.r=- p+ q 2 2 3 1 C.r= p- q 2 2 B.r=-p+2q D.r=-q+2q )

→ → → → → → 解析:由AC=-3CB,得OC-OA=-3(OB-OC), → → → → 1→ 3→ 2OC=-OA+3OB,OC=- OA+ OB, 2 2 1 3 即 r=- p+ q. 2 2 答案:A 10.如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线 → → → → 分别交直线 AB, AC 于不同的两点 M, N, 若AB=mAM, AC=nAN, 则 m+n 的值为________.

→ → → 1 → → → 1 1 解析:设AB=a,AC=b,则AO= (AB+AC)= a+ b,又AO= 2 2 2 → → → → → → → → → 1-λ AM+MO=AM+λMN=AM+λ(AN-AM)=(1-λ)AM+λAN= m λ a+ b. n λ 1 = , ?1- m 2 根据平面向量基本定理得? 消去 λ, λ 1 ?n=2 得 m+n=2. 答案:2 B级 能力提升

11.已知 e1,e2 是平面内两个不共线的向量,a=3e1-2e2,b= -2e1+e2,c=7e1-4e2,试用 a,b 表示 c. 解:设 c=x a+y b, 则 7e1 - 4e2 = x(3e1 - 2e2) + y( - 2e1 + e2) = (3x - 2y)e1 + ( - 2x + y )e 2 .
? ?3x-2y=7, 由平面向量基本定理知? ? ?-2x+y=-4, ? ?x=1, 解得? 所以 c=a-2b. ?y=-2. ?

→ → 12.如图所示,在△OAB 中,OA=a,OB=b,M,N 分别是边

→ 1 → 1 → → OA,OB 上的点,且OM= a,ON= b,设AN与BM相交于点 P,用 3 2 → 向量 a,b 表示OP.

→ → → → → → → → 解:因为OP=OM+MP,OP=ON+NP,设MP=mMB, → → → → → 1 ? 1 ? NP=nNA,则OP=OM+mMB= a+m?b-3a?= 3 ? ? 1 (1-m)a+mb. 3 → → → 1 ? 1 ? 1 OP=ON+nNA= b+n?a-2b?= (1-n)b+n a. 2 ? ? 2 因为 a,b 不共线, 1 ? ?3(1-m)=n, 1 2 所以? ?n= ,m= . 5 5 1 ? ( 1 - n )= m ?2 → 1 2 所以OP= a+ b. 5 5


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