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【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第五节 三角恒等变换课件 理


第五节 三角恒等变换

考纲概述

考查 考查频次 备考指导 热点 (1)会用向量的数量积推导 三角 出两角差的余弦公式; 函数 ★★ (2)能利用两角差的余弦公 式的 近几年的高考中对三角函数恒等变换的考查 式导出两角差的正弦、正 化简 在各种题型中均会出现,一般是基础题,难度 切公式; 三角 不大,整个命题思想主要侧重于两角和与差的 (3)能利用两角差的余弦公 函数 ★★★★★ 三角函数公式,重在考查化简、求值,公式的正 式导出两角和的正弦、余 式的 用、逆用以及变式运用,通过这些应用把两角 弦、正切公式,导出二倍角 求值 和、差,倍角、半角、诱导公式等联系在一起, 的正弦、余弦、正切公式, 同时常与三角函数的图象、性质,向量等知识 了解它们的内在联系; 三角 综合考查,但难度控制在中低档,因此在复习 (4)能运用上述公式进行简 函数 中不要过度做一些难题,以中易档题为主要训 单的恒等变换( 包括导出积 的综 ★★★★ 练的方向. 化和差、和差化积、半角 合应 公式,但对这三组公式不要 用 求记忆).

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)两角和与差的余弦公式 cos(α-β)= cos αcos β+sin αsin β ; cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β . (2)两角和与差的正弦公式 sin(α-β)= sin αcos β-cos αsin β ; sin(α+β)= sin αcos β+cos αsin β . (3)两角和与差的正切公式 tan(α+β)= tan(α-β)=
tan+tan 1-tantan tan-tan 1+tantan

; .

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α= 2sin αcos α . (2)cos 2α= cos2α-sin2α =2cos2α-1=1-2sin2α. 2tan (3)tan 2α= . 2
1-tan

3.常用公式的变形
(1)tan α±tan β=tan(α±β)· (1?tan αtan β) (2)cos2α= (3)1+sin 2α=(sin α+
1+cos2 2

. sin α -cos α)2.

;sin2α=

cos α )2,1-sin 2α=(

1-cos2 2

.

4.形如 asin x+bcos x 的式子的化简
函数 f(x)=asin x+bcos x(a,b 为常数),可化为 f(x)= 2 + 2 sin(x+φ),其中 sin φ=
2 +
2

,cos φ=



2 +

2

.

5.常用的数学方法与思想
整体代入法、转化化归思想.

1.判断下列说法是否正确(打“ ”或“×”). (1)对一切实数 α,β,等式 sin(α+β)=sin α+sin β 恒成立. ( (1)× 1 (2)计算 sin 43° cos 13°+sin 47° cos 103°的结果等于 . ( 2 (2) (3)对任意实数 α,β,tan(α+β)=
tan+tan 与其变式 1-tantan

) )

tan α+tan ( ( ) )

β=tan(α+β)(1-tan α tan β)是等价的. π (3)× 【解析】第一个式子要求 α+β≠ +kπ,k∈Z.
2

(4)函数 y=sin x+cos x 的最大值为 2. (4)×

2. (2015· 新课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= ( ) A.3 2

B.

3 2

C.-

1 2

D.

1 2

2.D 【解析】原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 1 10°=sin(20°+10°)= . 3.化简 cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β 的结果为 ( ) A.sin(2α+β) B.cos(α-2β) C.cos α D.cos β 3.C 【解析】原式=cos(α-β+β)=cos α. π 4. (2015· 西北师范大学附中三诊) 已知 tan + =3,则 tan α 的值
4 2

为 A.2 B.
1 2

( C.-1
π + 4

)
1 2

D.-3
1+tan = 1-tan

4.B 【解析】由 tan

=3得

3, 解得 tan = .

5. (2015· 南通三模) 已知锐角 A,B 满足 tan(A+B)=2tan A,则 tan B 的最大值为 . 5.
2 4

【解析】由 tan( + ) = 2tan , 得
tan 1+2tan2

则 tan = 因此
1 2 2 2 . 4 1 + tan

= 1

1

tan+tan = 1-tantan

2tan ,

tan+2tan

, 因为为锐角, 所以 tan > 0,
tan = 1+2tan2

2tan ≥ 2 2, 所以 tan = tan =

1 +2tan ≤ tan

1

=

2 , 当且仅当 4

2 时, 等号成立, 即 2

tan 的最大值为

考点 1 三角函数式的化简
典例 1 (1)化简
1 1 ? = 1-tan 1+tan

.
1+tan-1+tan = 1-tan2

【解题思路】通分 ,逆向运用正切函数的二倍角公式.原式=
2tan =tan 1-tan2

2θ.
2 2 2 2

【参考答案】 tan 2θ (2)(2015· 枣庄模拟) 化简 sin α· sin β+cos α· cos

1 β- cos 2

2α· cos 2β=

.

【解题思路】利用倍角公式与 sin2α+cos2α=1 公式转 化.sin α· sin β+cos α· cos cos ·cos
2 2 2 2 2 2

1 ? 2 (cos2

1 β-2 cos 2

·cos 2 = sin2 ·sin2 +

? sin2 )(cos2 ? sin2) = sin2 ·
1 1 1

sin2 + cos2 ·cos2 ? 2 (cos2 cos2 ? cos2 sin2 ? sin2 cos2 + sin2 sin2) = 2 sin2 sin2 + 2 cos2 ·cos2 +
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 cos sin + sin cos = sin (sin + cos ) + 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 cos (cos + sin ) = sin + cos = . 2 2 2 2 1 【参考答案】 2

1.三角函数式的化简应遵守的三个原则 (1)看 “角 ”,通过看 “角 ”之间的差别与联系,把 “角 ”进行合理地拆 分 ,从而正确使用公式 ; (2)看 “函数名称 ”,看函数名称之间的差异性,从而确定使用的公 式 ,通常是 “切化弦 ”; (3)看 “结构特征 ”,分析结构特征 ,可以找到变形的方向,常见的有 “遇到分式要通分 ”“整式因式分解 ”“二次式配方 ”等. 2.三角函数式化简的方法 弦切互化,异名化同名 ,异角化同角,降幂或升幂 ;在三角函数式的 化简中 “次降角升 ”与 “次升角降 ”是基本的规律,根号中含有三角 函数式时,一般需要升次 .

【变式训练】
sin(+)-2sincos . 2sinsin+cos(+) sin· cos+cos· sin-2sin· cos 1.【解析】原式= 2sin· sin+cos· cos-sin· sin -sin· cos+cos· sin = cos· cos+sin· sin sin(-) =cos(-)

1.化简

=-tan(α-β).

2.化简 3 15sin x+3 5cos x. 2.【解析】原式=3 15sin + 3 5cos x =6 =6 =6
1 5 + cos 2 π π 5 sin· cos + cos· sin 6 6 π 5sin + . 6 3 sin 2

考点 2 三角函数式的求值、求角问题
命题角度 1:知角求值 典例 2 (2015· 四川高考)sin 15°+sin 75°的值是 . 【解题思路】sin 15°+sin 75°=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°+sin 45°cos 30°+cos 45°· sin 30°=2sin 45°cos
2 3 30°=2× × 2 2

=

【参考答案】

6 2

6 . 2

命题角度 2:知值求值 典例 3 为 (2015· 江苏高考) 已知 tan .

1 α=-2,tan(α+β)= ,则 7

tan β 的值

【解题思路】tan

+2 tan(+)-tan 7 β=tan[(α+β)-α]= = 2 =3. 1+tan(+)tan 1-

1

【参考答案】 3 命题角度 3:知值求角

7

1 1 π 2 典例 4 (2015· 庆阳一诊) 已知函数 f(x)= sin 2x sin φ+cos x cos φ- sin + 2 2 2 π π (0<φ<π),将函数 f(x)的图象向左平移 个单位后得到函数 g(x)的图象,且 g 12 4

= , )

则 φ= A.
π 6

1 2

B.
π 2 + - 6 1 cos 2 2 π 2 + - 6

π 4 π 4

C.

π 3

D.
1 2

2π 3

(

【解题思路】先将三角函数整理为 cos(2 ? ), 再将函数平移得到() =
1 cos 2

cos
1 cos 2

), ∵ 0 < <

1 1 , 且 = , 即可得到的值. ∵ () = sin 2 sin + 2 2 1 1 1 = sin 2 sin + cos cos 2 = cos(2 ? ), ∴ ( ) = 2 2 2 π 1 π π 2π , ∵ = , ∴ 2 × + ? = 2π( ∈ ), 即 = ? 2π( 4 2 4 6 3 2π π, ∴ = . 3



【参考答案】 D

知角求值、知值求值及知值求角问题要注意以下几点 (1)当 “已知角 ”有两个时,“所求角 ”一般表示为两个 “已知角 ”的和 或差的形式. (2)当 “已知角 ”有一个时,应着眼于 “所求角 ”与 “已知角 ”的和或差 的关系 ,然后应用诱导公式把 “所求角 ”变成 “已知角 ”. (3)①已知正切函数值,选正切函数 ;②已知正、 余弦函数值,选正弦 或余弦函数 ;若角的范围是
π 0, 2

,选正、余弦皆可 ;若角的范围是
π π - , 2 2

(0,π),选余弦较好 ;若角的范围为

,选正弦较好.

(4)对 asin x+bcos x 化简时,辅助角 φ 的值如何求要清楚.

【变式训练】
1. (2015· 洛阳统考) 已知 θ 为第二象限角,sin θ,cos θ 是关于 x 的方 程 2x2+( 3-1)x+m=0(m∈R)的两根,则 sin θ-cos θ 等于 ( ) A. C. 3
1+ 3 2 1- 3 2

B.

D.- 3

1.A 【解析】由已知得 sin θ+cos θ=
2

1- 3 ,则 2

2sin cos = ?
1- 3 2
2

3 , 又为第二象限角, 2 1+ 3 . 2

所以 sin ? cos = (sin + cos) -4sincos =

+ 3=

2.已知 0<β< <α< ,cos 2.
56 65

π 4

3π 4

【解析】cos
3π + 4

π - 4

π - 4

= ,sin

3 5

= sin
3π 4 π 4

3π 5 + = ,则 sin(α+β)= 4 13 π 3 π π + = , ∵ < + < π, ∴ cos 4 5 2 4 3π + 4

. +
π 4

= ? .∵

4 5

sin

=

5 3π , 13 4

< +

< π, ∴ cos cos +
3π 4

=?

12 .∴ 13

sin( + ) = ?sin +
3π 4

π + 4

+

3π 4

= ? sin +

+ cos +

π 4

sin +

=

56 . 65

考点 3 形如 f(x)=asin x+bcos x( a,b 为常数)形式的 函数的求值、求角等综合应用
典例 5 已知函数 f(x)=2sin
π 3

cos

π 3

+2 3cos

2

π 3

? 3.

(1)求函数 f(x)的最大值及取得最大值时相应的 x 的值; π (2)函数 y=f(2x)-a 在区间 0, 上恰有两个零点 x1,x2,求 tan(x1+x2)
4

的值.

【解题思路】 (1)通过和差角公式与降次,利用三角恒等变换化为 f(x)=asin x+bcos x 形式的函数 ;(2)利用零点 与两角正切公式求解. 【参考答案】(1)f(x)=sin 22sin 25π 12 π 3 2π 3

+ 3 1 + cos 2 ?
π π

2π 3

? 3 = sin 2-

2π 3

+ 3cos 2-

2π 3

=

,

∴函数 f(x)的最大值为 2,此时 2x-3 = 2 +2kπ,k∈Z,
即 x= +kπ,k∈Z. (2)f(2x)=2sin 4π 3 π 3

,
π 4

令 t=4x- , ∵ ∈ 0,

, ∴ ∈ - ,

π 2π 3 3

,
π 3 π 3 π 3 π 3

设 t1,t2 是函数 y=2sin t-a 的两个相应零点 即1 = 41 - ,2 = 42 由函数 y=2sin t 的图象性质知 t1+t2=π,即 4x1- + 42 ? =π,

,

∴x1+x2=4 + 6 , ∴tan(x1+x2)=tan
π π + 4 6

π

π

π π 3 1+ 4 6 = 3 = 2 + 3. = π π 3 1-tan ×tan 14 6 3
tan +tan

(1)重视函数的 “三变 ”,即 “变角、变名、变式 ”,也就是尽可能化为 同名、同角,化为整式 ,降次等,选准方向进行转化. (2)熟悉三角公式的整体结构,灵活变换,对公式要会正用、逆用、 变用 ,另外要善于对 “1”进行变式应用. (3)利用辅助角公式求最值、 单调区间、 周期等要正确化为 y=asin α+bcos α= 2 + 2 sin(α+φ) 其中 tan φ= (4)注意隐含条件的挖掘,合理使用公式.


的形式 .

【变式训练】
1. (2013· 新课标全国卷Ⅰ) 设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得 最大值,则 cos θ= . 1.2 5 5

【解析】 ∵ () = sin ? 2cos = 5 , 令 sin =
2 5 , cos 5

5 sin 5

?

2 5 cos 5

=

5 , 则() 5

=

5sin( ? ),

由题意知当 = 时, ()有最大值, 则 sin( ? ) = 1, 即 ? π π = + 2π( ∈ ), ∴ = + + 2π( ∈ ), ∴ cos =
2

cos

π + + 2π 2

= ?sin =

2 5 ? . 5

2

2. (2016· 成都石室中学摸底) 已知函数 f(x)= 3sin 2x+cos 2x,x∈R. (1)求 f(x)的单调递增区间; π (2)当 x∈ 0, 时,求 f(x)的取值范围.
4

2.【解析】(1)f(x)= 3sin 2 + cos 2 = 2sin 2
π 由- + 2 π π 2π ≤ ≤ + 2π 得 ? + π ≤ 2 3 π π ∴f(x)的单调递增区间为 - 3 + π, 6 + π ,k∈Z. π π π 2π (2)∵x∈ 0, , ∴ 2 + ∈ , . 4 6 6 3 1 π π ∴2 ≤ sin 2 + 6 ≤ 1, ∴ 1 ≤ 2sin 2 + 6 ≤2. π 2 + 6

π + , 6 π ≤ +kπ,k∈Z, 6

∴f(x)的取值范围是[1,2].

三角恒等变换中的“变角”技巧及其应用
三角恒等变换是高中重要内容,三角恒等变换的常用方法包括化弦、 化切、 变角、 升幂、 降幂等,其中“变角”既是三角恒等变换的关键,又是一个难点.下面通过典例来强化“变角” 的技巧. 典例 1 已知 cos(α+β)= ,cos β= ,α,β 均为锐角,则 sin α=
5 13 4 5

.

【解题思路】把 α 看作 α+β 与 β 的差 ,再运用两角差的正弦来求解.由 α,β 均为锐角,得 α+β∈(0,π),又 cos(α+β)= ,得 sin(α+β)= .由 cos β= ,得 sin β= ,所以 sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=
33 65

5 13

12 13

12 4 5 3 × ? × 13 5 13 5

4 5

=

3 5 33 . 65

【参考答案】

典例 2

sin7°+cos15°· sin8° 求 的值. cos7°-sin15°· sin8°

【解题思路】 式中出现了 7°,15°,8°三个角,则可将 7°表示为 15°-8°,然后化简求值 .

【参考答案】原式=
sin15°· cos8° = cos15°· cos8°

sin(15°-8°)+cos15°· sin8° cos(15°-8°)-sin15°· sin8°

=tan 15° =tan(60°-45°) =
tan60°-tan45° 1+tan60°· tan45°

=2- 3.

【针对训练】
1. (2016· 福建大田一中月考) 已知 cos(2α-β)=- ,sin(α-2β)= A.
π 6 11 14 4 3 π π ,0<β< <α< ,则 α+β 7 4 2 π 2π C. D. 2 3
π π 2 4 5 3 = .又 14 11 14

的值为

(

)

B.

π 3

1.B 【解析】由 0<β< < < , 知 < + < 2 ? < π, 因此 sin(2 ? ) 因此 cos( ? 2) =
1 , cos ( + ) 7

π 4

3π 11 π , 又 cos(2 ? ) = ? , 所以 4 14 2 4 3 π sin( ? 2 ) = , 所以 0 < ? 2 < , 7 2 1 5 3 4 3 + × 7 14 7 49 98 1 , 所以 2 π . 3

<

= cos[(2 ? ) ? ( ? 2)] = cos(2 ? )cos( ? × = = + =

2) + sin(2 ? )sin( ? 2 ) =

sin(2+) sin 2.求证: -2cos(α+β)= . sin sin sin[(+)+]-2cos(+)sin 2.【解析】左边= sin sin(+)cos-cos(+)sin = sin sin = =右边. sin sin(2+) 故 ? 2cos( sin

+ ) =

sin 成立. sin


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