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成都外国语学校高2013级高三第一次月考理科数学试题范文

成都外国语学校高 2013 级高三第一次月考试题 数 学 (理科) 试 题 试题分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考试务必先认真核对条形码上的姓名,准考证号和座位号,无误后将本人姓 名、准考证号和座位号填写在相应位置, 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号; 3.答题时,必须使用黑色签字笔,将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上; 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效; 5.考试结束后将答题卡交回,不得折叠、损毁答题卡。 第I卷 一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。在每小题给出的四个选项中。只 有一项是符合题目要求的。 1.若集合 A = {-1,1},B = {0,2},则集合 {z | z = x + y,x∈A,y∈B} 的子集的个数为 (A) 8 (B) 7 (C) 3 (D) 2 2.下列命题正确的是 (A) 若 a· b = a· c,则 b = c (B) a⊥b 的充要条件是 a· b=0 (C) 若 a 与 b 的夹角是锐角的必要不充分条件是 a· b>0 (D) a//b 的充要条件是 a = ?b 3. 已知三条不重合的直线 m、n、l,两个不重合的平面 ?、?,有下列命题: ① 若 m∥n,n ? ?,则 m∥? ② 若 l⊥?,m⊥?,且 l∥m,则 ?∥? ③ 若 m ? ?,n ? ?,m//?,n∥?,则 ?∥? ④ 若 ?⊥?,?∩? = m,n ? ?,n⊥m,则 n⊥? 其中正确命题的个数为 (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 4、如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点,若 M, O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是 (A) 3 (B) 2 (C) 3 (D) 2

5、如右图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 (A) 16 (B) 24 (C) 34 (D) 48 a2 a3 an 6 如果数列 a1, , ,…, ,…是首项为 1,公比 - 2 a1 a2 an-1

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的等比数列,则 a5 等于 (A) 32 (B) 64

(C) -32

(D) -64

7、某程序框图如右图所示,该程序运行后输出的 S 的值是 (A)-3 1 (B) - 2 (C) 1 3

(D)2 8. 曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2-2x = 0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 (A) ? = 2sin ? (B) ? = cos ? (C) ? 2 = 2cos ?


(D) ? = 2cos ?

9. 已知 f (x) = a x 2,g(x) = log a | x |(a > 0,a≠1),若 f (4)· g(-4) < 0,则 y = f (x),y = g(x) 在同一坐标系内的大致图象是

y 1 -1 o 1 2 x

y 1 -1 x o 1 2

y 1 x -1 o 1 2
C

y 1

-1

x o 1 2

A

B

D

→ → → 10. 在三棱锥 P-ABC 中,若 O 是底面 ABC 内部一点,满足 OA + 2 OB + 4 OC = 0, 则 (A) VP-AOB = VP-AOC 3 2 (B) 5 (C) 2 (D) 5 3

11. .设函数 f (x) 是定义在 (0,+?) 的非负可导的函数,且满足 x f ’(x) + f (x)≤0,对任意的 正数 a、b,若 a < b,则必有 (A) af (b)≤bf (a) (B) bf (a)≤af (b) (C) af (a)≤f (b) (D) bf (b)≤f (a) 12. 已知函数 f (x) = e x + x,对于曲线 y = f (x) 上横坐标成等差数列的三个点 A、B、C,给 出以下判断: ① △ABC 一定是钝角三角形 ② △ABC 可能是直角三角形 ③ △ABC 可能是等腰三角形 ④ △ABC 不可能是等腰三角形 其中,正确的判断是 (A) ①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④

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第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 题,每小题 4,共 16 分) 13.设 a、b∈R,a + b i = 14.已知 cos (? + ? ) = 11-7i (i 为虚数单位),则 a + b = = _______. 1-2i
5

1 1 ,cos (?-? ) = ,则 log 3 2

(tan ?·tan ?) = _________.

? ? 2x-y≥0 15.若实数 x、y 满足 ? y≥x ,且 z = 2x + y 的最小值为 4,则实数 b 的值为______ ? y≥-x + b ?

? 4-8 | x-2 |,1≤x≤2 16. 已知定义在 [1,+?) 上的函数 f (x) = ? ,给出下列结论: 1 x f ( ) , x > 2 ?2 2
① 函数 f (x) 的值域为 [0,4]; ② 关于 x 的方程 f (x) = (


3

1 n ) (n∈N*)有 2n + 4 个不相等的实根; 2

③ 当 [2 n 1,2 n],n∈N* 时,函数 f (x) 的图象与 x 轴围成的图形的面积为 S,则 S = 2; ④ 存在 x0∈[1,8],使得不等式 x0 f (x0) > 6 成立。 其中你认为正确的所有结论的序号为____. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 17、(本题满分 12 分)已知函数 f (x) = 2cos 2

?x
2

+ cos (?x +

?
3

),(其中 ? > 0)的最小正周期

为 ? (Ⅰ) 求 ? 的值,并求函数 f (x) 的单调递减区间; (Ⅱ) 在锐角 △ABC 中, a、 b、 c 分别是角 A、 B、 C 的 1 对边,若 f (A) = - ,c = 3,△ABC 的面积为 6 3 , 2 求 △ABC 的外接圆面积。 15 10 5 18、(本小题满分 12 分) 空气质量指数 PM2.5(单位:?g/m3)表示每立方米空气 中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污 染越严重: PM2.5 日均浓度 空气质量级别 空气质量类别 0~35 一级 优 35~75 二级 良 75~115 三级 轻度污染 115~150 四级 中度污染 O

天数

16

8 4 2 级别

150~250 五级 重度污染

>250 六级 严重污染

某市 2012 年 8 月 8 日——9 月 6 日(30 天)对空气质量指数 PM2.5 进行监测, 获得数据后得 到如下条形图: (I) 估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率; (II) 在上述 30 个监测数据中任取 2 个,设 X 为空气质量类别为优的天数,求 X 的分布 列和数学期望。

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19.(本小题满分 12 分) 如图, 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 各棱长都为 a, P 为线段 A1B 上的动点. B1 (Ⅰ) 试确定 A1P : PB 的值,使得 PC⊥AB (Ⅱ) 若 A1P : PB = 2 : 3,求二面角 P-AC-B 的大小.
P

A1 C1

20.(本小题满分 12 分)函数 f (x) = (x + 1) 2-ln (x + 1) 2 (1) 求函数 f (x) 的单调区间; (2) 当 x ? [ 1 -1,e-1] 时,不等式 f (x) < m 恒成立,求实数 m 的取 e
B

A C

值范围; (3) 若关于 x 的方程 f (x) = x 2 + x + a 在 [0,2] 上恰有两个零点,求实数 a 的取值范围。 21、(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C: x2 y2 2 = 1(a > b > 0)的右焦点为 F(1,0),且点 (-1, ) 在椭圆上. 2 + a b2 2

(I) 求椭圆 C 的标准方程; (II) 已知动直线 l 过点 F,且与椭圆 C 交于 A、B 两点,试问 x 轴上是否存在定点 Q, 7 → → 使得 QA · QB = - 恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标,若不存在,请说明理由。 16 3 x 1 ,M(x1,y1)、N(x2,y2) 是 f (x) 图像点的两点,横坐标为 的 2 1-x

22.己知函数 f (x) = log 3

点 P 是 M、N 的中点。 (1) 求证:y1 + y2 的定值; n-1 1 2 (2) 若 Sn = f ( ) + f ( ) + … + f ( )(n∈N*,n≥2),an = n n n

? 6,n = 1 ? 1 ? 4 (S + 1) (S
n

1

n+1 +

,n≥2 1)

(n∈N*),Tn 为数列 {an} 前 n 项和,若 Tn < m (Sn+1 + 1) 对一切 n∈N* 都成立,试求实数 m 的取值范围 (3) 在 (2) 的条件下, 设 bn = Bn < 17 52 1 , Bn 为数列 {bn} 前 n 项和, 证明: 4 (Sn+1 + 1) (Sn+2 + 1) + 1

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数学试题(理科)参考答案: 一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 13. 8 14. -2 三、解答题: 1 A 2 C 3 B 4 B 5 A 6 A 7 D 8 D 9 B 10 C 11 A 12 B

15. 3

16. ① ③ 1 3 3 3 cos ? x- sin ? x = 1 + cos ? x- sin ? x 2 2 2 2

17. 解:(I) f (x) = 1 + cos ? x + = 1- 3 sin (? x- ∴ T= 2?

?
3

)

?

=???=2 ≤2x-

由 2k?-

?
2

?
3

≤2k? +

?
2

5? ? ? k?- ≤x≤k? + 12 12

∴ f (x) 的单调递减区间为 [k?- (II) f (A) = 1- 3 sin (2A- 在锐角△ABC 中,0 < A < ∴ A= 又 S=

?
12

,k? +

5? ](k ? Z) 12

?
3

)= -

1 3 ? ? sin (2A- ) = 2 3 2

?
2

? -

?
3

< 2A-

?
3

<

2? 3

?
3 1 3 ? 3 3 bc sin A = b sin = b=6 3 2 2 3 4 ?b=8

∴ a 2 = b 2 + c 2-2bc cos A = 64 + 9-2×8×3 cos 由

?
3

= 49 ? a = 7

a a 7 7 3 = 2R ? △ABC 的外接圆半径 R = = = 3 sin A 2sin A 3 49? 3

则 △ABC 的外接圆面积等于

18.【解析】(Ⅰ)由条形统计图可知,空气质量类别为良的天数为 16 天, 所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为 (Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,则 P(X = 0) = C222 231 C81C221 176 C82 28 ,P(X = 1) = = ,P(X = 2) = 2 = 2 2 = C30 435 C30 435 C30 435 X P 0 231 435 1 176 435 2 28 435 16 8 = 30 15

∴ X 的分布列为:

231 176 28 232 ∴ E(X) = 0× + 1× + 2× = 435 435 435 435

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19.【法一】(Ⅰ)当 PC⊥AB 时,作 P 在 AB 上的射影 D. 连结 CD.则 AB⊥平面 PCD, ∴ AB⊥CD,∴ D 是 AB 的中点, 又 PD//AA1,∴ P 也是 A1B 的中点,即 A1P:PB = 1 反之当 A1P:PB = 1 时,取 AB 的中点 D’,连接 CD’、 PD’. ∵ △ABC 为正三角形,∴ CD’⊥AB 由于 P 为 A1B 的中点时,PD’//A1A ∵ A1A⊥平面 ABC, ∴ PD’⊥平面 ABC,∴ PC⊥AB (Ⅱ)当 A1P:PB = 2:3 时,作 P 在 AB 上的射影 D. 则 PD⊥底面 ABC. 作 D 在 AC 上的射影 E,连结 PE,则 PE⊥AC ∴ ∠DEP 为二面角 P-AC-B 的平面角. 又∵ PD//AA1,∴ 又∵ BD BP 3 2 3 = = ,∴ AD = a.∴ DE = AD· sin60? = a, DA PA1 2 5 5 3 ,

PD 3 3 PD = ,∴ PD = a.∴ tan∠PED = = AA1 5 5 DE

∴ P-AC-B 的大小为 ∠PED = 60? 【法二】以 A 为原点, AB 为 x 轴,过 A 点与 AB 垂直的直线为 y 轴, AA1 为 z 轴,建 a 3a 立空间直角坐标系 A-xyz,如图所示,设 P(x,0,z),则 B(a,0,0)、 A1(0,0,a)、 C( , ,0). 2 2 a 3a a → → (Ⅰ)由 CP ·AB = 0 得 (x- ,- ,z)· (a,0,0) = 0,即 (x- )· a = 0, 2 2 2 ∴ x= 1 a,即 P 为 A1B 的中点,也即 A1P:PB = 1 时,PC⊥AB 2

2a 3a (Ⅱ)当 A1P:PB = 2:3 时, P 点的坐标是 ( ,0, ). 取 m = (3,- 3 ,-2). 5 5 2a 3a a 3a → → 则 m·AP = (3,- 3 ,-2)· ( ,0, ) = 0,m· AC = (3,- 3 ,-2)· ( , ,0) = 0. 5 5 2 2 ∴ m 是平面 PAC 的一个法向量. 又平面 ABC 的一个法向量为 n = (0,0,1). cos <m,n> = ∴ 二面角 P-AC-B 的大小是 60? 20. 解析:函数的定义域为 (-?,-1)∪(1,+?) f ’(x) = 2(1 + x)- 2 2x (x + 1) = 1+x 1+x m·n 1 = 2 | m |·| n |

(I)令 f ’(x) > 0 ? -2 < x < -1 或 x > 0 令 f ’(x) > 0 ? -1 < x < 0 或 x < -2 ∴ f (x) 的单调增区间为 (-2,-1) 和 (0,+?);单调减区间 (-1,0) 和 (-?,-2) 1 (II) 由 (I) 知,f (x) 在 [ -1,0] 上单调递减,在 [0,e-1]上单调递增 e 1 1 1 又 f ( -1) = 2 + 2,f (e-1) = e 2-2,且 e 2-2 > 2 + 2 e e e

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1 ∴ 当 x∈[ -1,e-1] 时,f (x) 的最大值为 e 2-2 e 因此可得:f (x) < m 恒成立时,m > f (x)max = e2-2 (III) 原题可转化为:方程 a = (1 + x)-ln(1 + x) 2 在区间 [0,2] 上恰好有两个相异的实根。 2 令 g(x) = (1 + x)-ln (1 + x) 2,则 g’(x) = 1- 1+x 令 g’(x) = 0,解得 x = 1 当 x∈(0,1) 时,g’(x) < 0,∴ g(x) 在 (0,1) 单调递减 当 x∈(1,2) 时,g’(x) > 0,∴ g(x) 在 (1,2) 单调递增. ∵ g(x) 在 x = 0 和 x = 2 点处连续 又∵g(0) = 1,g(1) = 2-ln 4,g(2) = 3-ln 9 且 2-ln4 < 3-ln9 < 1, ∴ g(x) 的最大值是 1,g(x) 的最小值是 2-ln 4 所以在区间 [0,2] 上原方程恰有两个相异的实根时实数 a 的取值范围是:(2-ln4,3-ln9] 21. 解:(Ⅰ)由题意知:c = 1 根据椭圆的定义得:2a = ∴ b 2 = 2-1 = 1 ∴ 椭圆 C 的标准方程为 x2 + y2= 1 2 (-1-1) 2 + ( 2 2 2 ) + ,即 a = 2 2 2

7 → → (Ⅱ)假设在 x 轴上存在点 Q(m,0),使得 QA · QB = - 恒成立. 16 当直线 l 的斜率为 0 时, A( 2 ,0),B(- 2 ,0). 则 ( 2 -m,0)· (- 2 -m,0) = - 5 解得 m = ± . 4 当直线 l 的斜率不存在时,A(1, 则 (1-m, 7 . 16 ① 2 2 ),B(1,- ). 2 2 ②

2 2 7 1 5 3 )·(1-m,- )= - ? (1-m) 2 = ?m= 或 m= 2 2 16 16 4 4 5 4

由 ①、② 得 m = 下面证明 m =

5 7 → → 时, QA · QB = - 恒成立. 4 16

7 → → 显然 直线 l 的斜率为 0 时, QA · QB = - 16 当直线 l 的斜率不为 0 时,设直线 l 的方程为:x = ty + 1,A(x1,y1),B(x2,y2).
2 ? x + y2= 1 由 ? 2 可得:(t 2 + 2) y 2 + 2ty-1 = 0. ? x = ty + 1

显然 △ > 0.

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? y + y = -t + 2 ? 1 ? y y = -t + 2
1 2 2 1 2 2

2t

∵ x1 = ty1 + 1, x2 = ty2 + 1, ∴ (x1- 5 5 1 1 1 1 ,y )· (x - ,y ) = (ty1- )(ty2- ) + y1y2 = (t 2 + 1)y1y2- t (y1 + y2) + 4 1 2 4 2 4 4 4 16 -2t 2-2 + t 2 1 1 2t 1 1 7 + t· 2 + = + = - t +2 4 t +2 16 2(t 2 + 2) 16 16
2

= -(t 2 + 1)

5 7 → → 综上所述:在 x 轴上存在点 Q( ,0),使得 QA · QB = - 恒成立. 4 16 22. (1)证:由 P 是 MN 的中点,有 x1 + x2 = 1 3x1 3x2 3x1 3x2 ∴ y1 + y2 = f (x1) + f (x2) = log 3 ( ) + log 3 ( ) = log 3 ( · ) 1-x1 1-x2 1-x1 1-x2 = log 3 3x1x2 3x1x2 3x1x2 = log 3 = log 3 =1 (1-x1)(1-x2) 1-(x1 + x2) + x1x2 1-1 + x1x2

(2) 由 (1) 知当 x1 + x2 = 1 时,y1 + y2 = f (x1) + f (x2) = 1 Sn = f ( Sn = f ( n-1 1 2 )+f( )+ … +f( ) n n n n-1 2 1 )+ … +f( )+f( ) n n n ① ②

① + ② 得 2Sn = [f (
?????????

n-1 n-2 n-1 1 2 1 )+f( )] + [f ( ) + f ( ) + … + [f ( ) + f ( )] n n n n n n

= 1 + 1 + … + 1 = n-1
n-1个

∴ Sn =

n-1 2 1 = 4 (Sn + 1) (Sn+1 + 1) 1 1 1 = - 6 2 3 1 1 1 = - n+1 n+2 n+1 n+2 4· · 2 2

当 n≥2 时,an =

又当 n = 1 时,a1 = ∴ an =

1 1 - n+1 n+2

1 1 1 1 1 1 n ∴ Tn = ( - ) + ( - ) + … + ( - )= 2 3 3 4 n+1 n+2 2(n + 2) ∵ Tn < m(Sn+1 + 1)对一切 n∈N*都成立 ∴ m> 又 Tn n = 恒成立 Sn+1 + 1 (n + 2) 2 1 1 1 ≤ = ,当且仅当 n = 2 时取" = " 4 4+4 8 n+ +4 n

n = (n + 2) 2

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∴ m>

1 8

1 ∴ m 的取值范围是( ,+?) 8 (3) 因为 Sn+1 = ∴ bn = n n+1 ,Sn+2 = 2 2

1 1 1 1 = < - 4(Sn+1 + 1)(Sn+2 + 1) + 1 (n + 2)(n + 3) + 1 n+2 n+3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 17 Bn = a1 + ( - ) + ( - ) + … + ( - )= + - < 4 5 5 6 n+2 n+3 13 4 n+3 52

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