tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件新人教A版选修22_图文

第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念

学习目标:1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化 率的过程,了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化 率.(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.(重点、难点)4.理解函 数的平均变化率,瞬时变化率及导数的概念.(易混点)

[自 主 预 习·探 新 知]
1.函数的平均变化率 (1)函数 y=f(x)从 x1到 x2 的平均变化率为ΔΔyx=_f_?_xx2_?2_--__xf?_1x_1?_,其中 Δx=_x_2_-__x_1 _ 是相对于 x1 的一个“增量”,Δy=_f(_x_2_)-__f_(_x1_)_=_f_(_x1_+__Δ_x_)_-__f(_x_1_) 是相对于 f(x1) 的一个“增量”.

(2)平均变化率的几何意义

设 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲线 y=f(x)上任意不同的两 点,函数 y=f(x)的平均变化率ΔΔyx=f?xx22?--xf?1x1?=f?x1+ΔΔxx?-f?x1? 为割线 AB 的_斜__率__,如图 1-1-1 所示.
思考:Δx,Δy 的值一定是正值吗?平均变化率是否一定为

图1-1-1

正值? [提示] Δx,Δy可正可负,Δy也可以为零,但Δx不能为零.平均变化率ΔΔyx可

正、可负、可为零.

2.瞬时速度与瞬时变化率

(1)物体在__某__一__时__刻__的速度称为瞬时速度.

(2)函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是函数 f(x)从 x0 到 x0+Δx 的平均变化率

在 Δx→0 时的极限即lim
Δx→0

ΔΔyx=_Δl_ixm→_0__f_?x_0_+__ΔΔ_x_x?_-__f?_x_0?__.

3.导数的概念

函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数就是函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率,记 作__f′__(_x_0)_或__y_′__|_x=_x_0_,即 f′(x0)=__Δl_ix_m→_0_f_?_x0_+__Δ_Δx_x?_-__f_?x_0_?___.

[基础自测] 1.思考辨析 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx值的正、负无关.( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1,x2]上变化快慢的物理量.( ) (3)在导数的定义中,Δx,Δy都不可能为零.( ) 提示:(1)由导数的定义知,函数在x=x0处的导数只与x0有关,故正确. (2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量,故错误. (3)在导数的定义中,Δy可以为零,故错误.

2.函数y=f(x),自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数的改变量Δy为( )

【导学号:31062000】

A.f(x0+Δx)

B.f(x0)+Δx

C.f(x0)·Δx

D.f(x0+Δx)-f(x0)

D [Δy=f(x0+Δx)-f(x0),故选 D.]

3.若一质点按规律s=8+t2运动,则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是

A.4

B.4.1

()

C.0.41

D.-1.1

B [ v =ΔΔst=s?22.1.1?--2s?2?=2.102.-1 22=4.1,故选B.]

4.函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是________.

[解析] ∵f(x)=x2.∴在x=1处的瞬时变化率是

lim
Δx→0

ΔΔyx=Δlixm→0

f?1+ΔΔxx?-f?1?=Δlixm→0

?1+Δx?2-12 Δx

=lim (2+Δx)=2.
Δx→0
[答案] 2

5.函数f(x)=2在x=6处的导数等于________.

[解析] [答案]

f′(6)= lim
Δx→0

f?6+ΔΔxx?-f?6?=Δlixm→0

2Δ-x2=0.

0

[合 作 探 究·攻 重 难]
求函数的平均变化率

已知函数f(x)=3x2+5,求f(x): (1)从0.1到0.2的平均变化率; (2)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率.

【导学号:31062001】

[解] (1)因为f(x)=3x2+5, 所以从0.1到0.2的平均变化率为 3×0.22+0.25--03.×1 0.12-5=0.9. (2)f(x0+Δx)-f(x0)=3(x0+Δx)2+5-(3x20+5) =3x20+6x0Δx+3(Δx)2+5-3x20-5=6x0Δx+3(Δx)2. 函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为6x0Δx+Δx3?Δx?2=6x0+3Δx.

[规律方法] 1.求函数平均变化率的三个步骤

第一步,求自变量的增量Δx=x2-x1;

第二步,求函数值的增量Δy=f?x2?-f?x1?;

第三步,求平均变化率ΔΔyx=f?xx2?2--xf?1x1?

2.求平均变化率的一个关注点 f?x0+ΔΔxx?-f?x0?的形式.

求点x0附近的平均变化率,可用

[跟踪训练]

1.如图1-1-2,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化

率等于( )

A.1

B.-1

C.2

D.-2

B [平均变化率为13- -31=-1.故选B.]

图1-1-2

2.已知函数y=f(x)=2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1+Δx,2+Δy),则

Δy Δx

的值为( )

【导学号:31062002】

A.4

B.4x

C.4+2Δx2

D.4+2Δx

D [ΔΔyx=2?1+ΔxΔ?2x-2×12=4+2Δx.故选D.]

求瞬时速度

[探究问题]

1.物体的路程s与时间t的关系是s(t)=5t2,如何计算物体在[1,1+Δt]这段时

间内的平均速度? 提示:Δs=5(1+Δt)2-5=10Δt+5(Δt)2, v =ΔΔst=10+5Δt. 2.当Δt趋近于0时,探究1中的平均速度趋近于多少?怎样理解这一速度?

提示:当Δt趋近于0时,

Δs Δt

趋近于10,这时的平均速度即为当t=1时的瞬时

速度.

某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t) =t2+t+1表示,求物体在t=1 s时的瞬时速度.
[思路探究] 计算物体在[1,1+Δt]内的平均速度ΔΔst 令―Δ―t→→0

计算lim
Δt→0

Δs Δt

―→

得t=1

s时的瞬时速度

[解] ∵ΔΔst=s?1+ΔΔt?t-s?1?

=?1+Δt?2+?1+ΔΔt?t+1-?12+1+1?=3+Δt,

∴lim
Δt→0

ΔΔst=Δlit→m0

(3+Δt)=3.

∴物体在t=1处的瞬时变化率为3.

即物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s.

母题探究:1.(变结论)在本例条件不变的前提下,试求物体的初速度. [解] 求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度.
∵ΔΔst=s?0+ΔΔt?t-s?0? =?0+Δt?2+?0Δ+t Δt?+1-1=1+Δt, ∴lim (1+Δt)=1.
Δt→0
∴物体在t=0时的瞬时变化率为1,即物体的初速度为1 m/s.

2.(变结论)在本例条件不变的前提下,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为

9 m/s. [解] 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又ΔΔst=s?t0+ΔΔt?t-s?t0?

=(2t0+1)+Δt.

lim
Δt→0

ΔΔst=Δlit→m0

(2t0+1+Δt)

=2t0+1. 则2t0+1=9, ∴t0=4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.

[规律方法] 求运动物体瞬时速度的三个步骤 ?1?求时间改变量Δt和位移改变量Δs=s?t0+Δt?-s?t0? ?2?求平均速度 v =ΔΔst ?3?求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时,\f(Δs,Δt)无限趋近于常数v,即为瞬 时速度.

求函数在某一点处的导数

(1)设函数 y=f(x)在 x=x0 处可导,且lim Δx→0

f?x0-3ΔΔxx?-f?x0?=1,

则 f′(x0)等于( )

A.1

B.-1

C.-13

D.13

(2)求函数 f(x)=x-1x在 x=1 处的导数.

[思路探究]

(1)类比 f′(x0)=lim Δx→0

f?x0+ΔΔxx?-f?x0?求解.

(2)

先求Δy

―→

再求ΔΔxy

―→

计算 lim
Δx→0

Δy Δx

(1)C

[∵ lim
Δx→0

f?x0-3Δx?-f?x0? Δx

= lim
Δx→0

????f?x0--3Δ3xΔ?-x f?x0?·?-3?????=-3f′(x0)=1,

∴f′(x0)=-13,故选 C.]

(2)∵Δy=(1+Δx)-1+1Δx-???1-11 ???

=Δx+1-1+1Δx=Δx+1+ΔxΔx,

∴ΔΔyx=Δx+Δ1x+ΔxΔx=1+1+1Δx,

∴f′(1)= lim
Δx→0

ΔΔyx=Δlixm→0

????1+1+1Δx????=2.

[规律方法] 求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的三个步骤 简称:一差、二比、三极限.

[跟踪训练]

3.已知f′(1)=-2,则 lim
Δx→0

f?1-2ΔΔxx?-f?1?=________.

[解析] ∵f′(1)=-2,

【导学号:31062003】

∴ lim
Δx→0

f?1-2ΔΔxx?-f?1?=Δlixm→0

f?1-2Δx?-f?1? ???-12???×?-2Δx?

=-2 lim
Δx→0

f?1--2Δ2xΔ?-x f?1?=-2f′(1)=-2×(-2)=4.

[答案] 4

4.求函数y=3x2在x=1处的导数.

[解]

∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=3(1+Δx)2-3=6Δx+3(Δx)2,∴

Δy Δx

=6+

3Δx,

∴f′(1)= lim
Δx→0

ΔΔyx=Δlixm→0

(6+3Δx)=6.

[当 堂 达 标·固 双 基]

1.一物体的运动方程是s=3+2t,则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是

()

A.0.4

B.2

C.0.3

D.0.2

B [ v =s?22.1.1?--2s?2?=4.20- .1 4=2.]

2.物体自由落体的运动方程为s(t)=

1 2

gt2,g=9.8

m/s2,若v= lim = Δt→0

s?1+ΔΔt?t-s?1?=9.8 m/s,那么下列说法中正确的是(

)

【导学号:31062004】

A.9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率

B.9.8 m/s是1 s到(1+Δt)s这段时间内的速率

C.9.8 m/s是物体在t=1 s这一时刻的速率

D.9.8 m/s是物体从1 s到(1+Δt)s这段时间内的平均速率 C [结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确.]

3.函数f(x)= x在x=1处的导数为________.

[解析] ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)= 1+Δx-1,

∴ΔΔyx= 1+ΔΔxx-1= 1+1Δx+1,

∴f′(1)= lim
Δx→0

ΔΔyx=Δlixm→0

[答案]

1 2

1+1Δx+1=12.

4.设f(x)在x0处可导,若 lim Δx→0

f?x0+3ΔΔxx?-f?x0?=A,则f′(x0)=________.

[解析]

lim
Δx→0

f?x0+3Δx?-f?x0? Δx

=3 lim
3Δx→0

f?x0+33ΔΔxx?-f?x0?=3f′(x0)=A.

故f′(x0)=13A.

[答案]

A 3

5.在曲线y=f(x)=x2+3上取一点P(1,4)及附近一点(1+Δx,4+Δy),求:

(1)ΔΔxy;(2)f′(1). [解] (1)ΔΔxy=f?1+ΔΔxx?-f?1?

【导学号:31062005】

=?1+Δx?2+Δ3x-?12+3?=2+Δx.

(2)f′(1)= lim
Δx→0

f?1+Δx?-f?1? Δx

=lim (2+Δx)=2.
Δx→0

谢谢观看


推荐相关:

高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化....ppt

高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件新人教A版选修22_数学_高中教育_教育专区。第一章 导数及其应用 1.1 变化...

高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化....ppt

高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件新人教A版选修2_2_数学_高中教育_教育专区。第一章 §1.1 变化率与导数 ...

高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化....ppt

高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件新人教A版选修22_数学_高中教育_教育专区。第一章 导数及其应用 1.1 变化...

(全国通用版)高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导....ppt

(全国通用版)高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课_数学_高中教育_教育专区。第一章 §1.1 变化率与导数 1.1....

高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件_....ppt

高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件_数学_高中教育_教育专区。第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1....

精品高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1....doc

精品高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课时达标训练新人教A版选修_数学_高中教育_教育专区。精品高中数学第一章导数...

2018年秋高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.....doc

2018年秋高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学案_数学_高中教育_教育专区。309 教育网 www.309edu.com 1.1 变化...

高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化....doc

高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念精品学案新人教A版选修2_高中教育_教育专区。小编精心整理的资料,供大家学习参考...

高中数学第一章导数及其应用1-1变化率与导数1-1-1变化....doc

高中数学第一章导数及其应用1-1变化率与导数1-1-1变化率问题1-1-2导数的概念课时达标训练新人教A版选修2_2_数学_高中教育_教育专区。高中数学第一章导数及其...

【推荐精选】2018年秋高中数学 第一章 导数及其应用 1.....doc

【推荐精选】2018年秋高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念_其它课程_高中教育_教育专区。推荐精选 K12 ...

....1变化率问题1.1.2导数的概念学案新人教A版选修22.doc

高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学案新人教A版选修22_数学_高中教育_教育专区。1.1 变化率与导数 1.1.1 1....

2018年秋高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.....doc

2018年秋高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学案新人教A版_高中教育_教育专区。1.1 变化率与导数 1.1.1 1.1....

【新】高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.....doc

【新】高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学案新人教A版选修2-2_数学_高中教育_教育专区。【新】高中数学第一章...

教育最新K122018年秋高中数学 第一章 导数及其应用 1.1....doc

教育最新K122018年秋高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念学_其它课程_高中教育_教育专区。教育最新K122018...

...导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件新....ppt

高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件新人教A版选修22_教学案例/设计_教学研究_教育专区。阶 阶 段 段 一 三 1.1 变化率与...

...一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学....doc

2016_2017学年高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学业分层测评_数学_高中教育_教育专区。。 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念...

最新2019版高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数....doc

最新2019版高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学案新人教A版选修2-_数学_高中教育_教育专区。最新2019版高中数学第一...

全国通用版2018_2019版高中数学第一章导数及其应用1.1....doc

全国通用版2018_2019版高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学案新人_数学_高中教育_教育专区。1.1.1 变化率问题 1....

高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化....ppt

高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件新人教A版选修2_2_数学_高中教育_教育专区。第一章 导数及其应用 1.1 ...

...导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件新....ppt

2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件新人教A版选修2-2_数学_高中教育_教育专区。2016-2017 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com