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2009年北京大学自主招生试题数学部分

2009 年北京大学自主招生试题数学部分
1,设圆及其内接四边形 ABCD.已知 AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,求圆的半径.

2008 年北京大学自主招生试题数学部分
1,证明:边长为 1 的正五边形的对角线长为

1+ 5 . 2

2,设等差数列,其公差为正数.已知 29,41,57 都是其中的项,证明 2009 也是其中的项.

2,六边形 AFBDCE,满足 EA=AF,FB=BD,DC=CE,及∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F.证明: 三角形 ABC 面积为六边形的一半.

3,问:是否存在实数 x 使得 3 + tan x 和 3 + cot x 都是有理数.

3,两组实数 a,b,c 和 x,y,z 满足 a+b+c=x+y+z , ab+bc+ca=xy+yz+zx ,及 min{a,b,c}小于等于 min{x,y,z}.证明 max{a,b,c}同样小于等于 max{x,y,z}.

4,在排球单循坏赛中,南方球队比北方球队多 9 支.最终,南方球队的总得分是北方球队的 9 倍.证明:冠军是一支南方球队(胜得 1 分,败 0 分) .

4,不等式 a cos x + b cos 2 x ≥ 1 对任意实数 x 都成立,求 a+b 的最大值.

5,设空间直角坐标系 O-xyz.在 xOy 平面上的图形 0 ≤ y ≤ 2 x 2 绕 y 轴旋转,得到不透光的几何
5,有 333 人考试,一共答对了 1000 道题.答对题数小于等于 3 为不及格,答对题数大于等于 6 为优秀.已知不是所有人答对题数的奇偶性都相同,问:不及格的人多,还是优秀的多.

体 B.在点 P(1,0,1)处有一光源,而在 xOy 平面上有一圆周以原点为圆心.圆周被照亮部分的 长度为 2π,求未被照亮部分的长度.


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