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第二节命题及其关系充分条件与必要条件有答案

第二节 【考纲下载】 1.理解命题的概念. 命题及其关系、充分条件与必要条件 2.了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的 相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义. 1.命题的概念 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫 做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件与必要条件 (1)若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. (2)若 p?q,则 p 与 q 互为充要条件. (3)若 p?/ q,且 q?/ p,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 1.一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗? 提示:不是,一个命题的否命题是既否定该命题的条件,又否定该命题的结论,而这个 命题的否定仅是否定它的结论. 2.“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是 q”两者的说法相同 吗? 提示:两者说法不相同.“p 的一个充分不必要条件是 q”等价于“q 是 p 的充分不必 1 要条件”,显然这与“p 是 q 的充分不必要条件”是截然不同的. 1.(2013· 福建高考)已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) 解析:选 A 当 a=3 时,A={1,3},A?B;反之,当 A?B 时,a=2 或 3,所以“a= 3”是“A?B”的充分而不必要条件. 2.命题“若 x2>y2,则 x>y”的逆否命题是( A.“若 x<y,则 x2<y2” C.“若 x≤y,则 x2≤y2” ) B.“若 x>y,则 x2>y2” D.“若 x≥y,则 x2≥y2” 解析:选 C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若 x2>y2,则 x>y” 的逆否命题是“若 x≤y,则 x2≤y2”. 3.(教材习题改编)命题“如果 b2-4ac>0,则方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等 的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中,真命题的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 ) 解析: 选 D 原命题为真, 则它的逆否命题为真, 逆命题为“若方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 有两个不相等的实根,则 b2-4ac>0”,为真命题,则它的否命题也为真. 4.命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是 A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 解析:选 B 原命题的否命题是既否定题设又否定结论,故“若 f(x)是奇函数,则 f(- x)是奇函数”的否命题是 B 选项. 5.下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是 A.a>b+1 B.a>b-1 C.a2>b2 D.a3>b3 ( ) ( ) 解析:选 A 由 a>b+1,且 b+1>b,得 a>b;反之不成立. 考点一 [例 1] (1)命题“若 x>1,则 x>0”的否命题是( A.若 x>1,则 x≤0 B.若 x≤1,则 x>0 C.若 x≤1,则 x≤0 2 四种命题的关系 ) D.若 x<1,则 x<0 (2)命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆否命题是( A.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 B.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 C.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 D.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 [自主解答] (1)因为“x>1”的否定为“x≤1”,“x>0”的否定为“x≤0”,所以命 题“若 x>1,则 x>0”的否命题为:“若 x≤1,则 x≤0”. (2)由于“x,y 都是偶数”的否定表达是“x,y 不都是偶数”,“x+y 是偶数”的否定 表达是“x+y 不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶 数”. [答案] (1)C 【互动探究】 试写出本例(2)中命题的逆命题和否命题,并判断其真假性. 解:逆命题:若 x+y 是偶数,则 x,y 都是偶数.是假命题. 否命题:若 x,y 不都是偶数,则 x+y 不是偶数.是假命题. 【方法规律】 判断四种命题间关系的方法 (1)由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将条件与结论互换 即得逆命题, 将条件与结论同时否定即得否命题, 将条件与结论互换的同时进行否定即得逆 否命题. (2)原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性,解题时注意灵活应用. (2)C ) 1.命题 p:“若 a≥b,则 a+b>2 012 且 a>-b”的逆否命题是 A.若 a+b≤2 012 且 a≤-b,则 a<b B.若 a+b≤2 012 且 a≤-b,则 a>b C.若 a+b≤2 012 或 a≤-b,则 a<b D.若 a+b≤2 012 或 a≤-b,则 a≤b ( ) 解析: 选 C “且”的否定是“或”, 根据逆否命题的定义知, 逆否命题为“若 a+b≤2 012 或 a≤-b,则 a<b”. 2.下列命题中为真命题的是( ) A.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 B.命题“若 x>1,则 x2>1”的否命题 C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题 3 D.命题“若 x2>0,则 x>1”的逆否命题 解析:选 A A 中逆命题为“若 x>|y|,则 x>y”是真命

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