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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第七章不等式7.1不等关系与不等式教师用书理


第七章 不等式 7.1 不等关系与不等式教师用书 理 苏教版

1.两个实数比较大小的方法

a-b>0?a > b ? ? (1)作差法?a-b=0?a = b ? ?a-b<0?a < b
>1?a > b b ? ?a (2)作商法? =1?a = b b a ? ?b<1?a < b

(a,b∈R);

a

(a∈R,b>0).

2.不等式的基本性质

性质 对称性 传递性 可加性

性质内容

特别提醒 ? ? ?

a>b?b<a a>b,b>c? a>c a>b?a+c>b+c
? a>b? ? c>0? ?? ac>bc

可乘性

注意 c 的符号

a>b? ? ?? ac<bc ? c<0?
同向可加性

a>b? ?
? c>d?

?? a+c>b+d

?

同向同正可乘性 可乘方性

a>b>0? ?
? c>d>0?

?? ac>bd

?

a>b>0? an>bn

a,b 同为正数

1

(n∈N,n≥1)

可开方性

a>b>0?

n

n a> b

(n∈N,n≥2)

3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 1 1 ①a>b,ab>0? < .

a b

1 1 ②a<0<b? < .

a b

③a>b>0,0<c<d? > . 1 1 1 ④0<a<x<b 或 a<x<b<0? < < .

a b c d

b x a

(2)有关分数的性质 若 a>b>0,m>0,则 ① < ② >

b b+m b b-m ; > (b-m>0). a a+m a a-m a a+m a a-m ; < (b-m>0). b b+m b b-m

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数 a,b 之间,有且只有 a>b,a=b,a<b 三种关系中的一种.( √ ) (2)若 >1,则 a>b.( × ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( × ) (4)一个非零实数越大,则其倒数就越小.( × ) (5)a>b>0,c>d>0? > .( √ 1 1 (6)若 ab>0,则 a>b? < .(

a b

a b d c

) √ )

a b

1.(教材改编)已知 a+b>0,b<0,那么 a,b,-a,-b 的大小关系是______________. 答案 a>-b>b>-a
2

解析 ∵a+b>0,b<0,∴a>-b>0,-a<b<0, ∴a>-b>0>b>-a,即 a>-b>b>-a. 2.(教材改编)若 a,b 都是实数,则“ a- b>0”是“a -b >0”的____________条件. 答案 充分不必要 解析
2 2

a- b>0? a> b
2 2

? a>b? a >b , 但由 a -b >0? a- b>0. 3.(2016·南京模拟)若 a,b∈R,且 a+|b|<0,则下列不等式中正确的是________. ①a-b>0; ③a -b <0; 答案 ④ 解析 由 a+|b|<0 知,a<0,且|a|>|b|, 当 b≥0 时,a+b<0 成立, 当 b<0 时,a+b<0 成立,∴a+b<0. 4.如果 a∈R,且 a +a<0,则 a,a ,-a,-a 的大小关系是________________. 答案 a<-a <a <-a 解析 由 a +a<0 得 a<-a , ∴a<0 且 a>-1,∴a<-a <a <-a. 1 5.(教材改编)若 0<a<b, 且 a+b=1, 则将 a, b, , 2ab, a2+b2 从小到大排列为___________. 2 1 2 2 答案 a<2ab< <a +b <b 2 解析 ∵0<a<b 且 a+b=1, 1 ∴a< <b<1,∴2b>1 且 2a<1, 2 ∴a<2b·a=2a(1-a)=-2a +2a
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

②a +b >0; ④a+b<0.

3

3

? 1?2 1 1 =-2?a- ? + < . ? 2? 2 2
1 即 a<2ab< , 2 1 1 2 2 2 又 a +b =(a+b) -2ab=1-2ab>1- = , 2 2
2 2 1 即 a +b > , 2

3

a2+b2-b=(1-b)2+b2-b=(2b-1)(b-1),
又 2b-1>0,b-1<0,∴a +b -b<0, ∴a +b <b, 1 2 2 综上,a<2ab< <a +b <b. 2
2 2 2 2

题型一 比较两个数(式)的大小 ln 3 ln 4 ln 5 例 1 (1)若 a= ,b= ,c= ,则 a,b,c 的大小关系为________. 3 4 5 答案 c<b<a

b 3ln 4 解析 方法一 易知 a,b,c 都是正数, = a 4ln 3
=log8164<1, 所以 a>b;

b 5ln 4 = =log6251 024>1, c 4ln 5
所以 b>c.即 c<b<a. ln x 1-ln x 方法二 对于函数 y=f(x)= ,y′= , 2

x

x

易知当 x>e 时,函数 f(x)单调递减. 因为 e<3<4<5,所以 f(3)>f(4)>f(5), 即 c<b<a. 1 (2)已知 a>0,试比较 a 与 的大小.

a

1 a -1 ?a-1??a+1? 解 因为 a- = = ,

2

a

a

a

因为 a>0,所以当 a>1 时,

?a-1??a+1? 1 >0,有 a> ;

a

a

?a-1??a+1? 1 当 a=1 时, =0,有 a= ;

a

a

?a-1??a+1? 1 当 0<a<1 时, <0,有 a< .

a

a

1 综上,当 a>1 时,a> ;

a

1 当 a=1 时,a= ;

a

4

1 当 0<a<1 时,a< .

a

思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法: 一般步骤:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有 理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时, 有时也可以先平方再作 差. (2)作商法: 一般步骤:①作商;②变形;③判断商与 1 的大小;④结论. (3)函数的单调性法: 将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值, 根据函数单调性得出大 小关系. (1)设 a, b∈[0, +∞), A= a+ b, B= a+b, 则 A, B 的大小关系是________. (2)若 a=18 ,b=16 ,则 a 与 b 的大小关系为________. 答案 (1)A≥B (2)a<b 解析 (1)∵A≥0,B≥0,
16 18

A2-B2=a+2 ab+b-(a+b)
=2 ab≥0, ∴A≥B. (2) =

a 1816 18 16 1 =( ) b 1618 16 162

9 16 1 16 9 16 =( ) ( ) =( ) , 8 2 8 2 9 9 16 ∵ ∈(0,1),∴( ) <1, 8 2 8 2 ∵18 >0,16 >0, ∴18 <16 ,即 a<b. 题型二 不等式的性质 例 2 (1)已知 a,b,c 满足 c<b<a,且 ac<0,那么下列不等式中一定成立的是________. ①ab>ac; ③cb <ab
2 2; 16 18 16 18

②c(b-a)<0; ④ac(a-c)>0.

1 1 (2)若 < <0,则下列不等式:

a b

①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④ab<b 中,正确的不等式有________.
5

2

答案 (1)① (2)①④ 解析 (1)由 c<b<a 且 ac<0 知 c<0 且 a>0. 由 b>c 得 ab>ac 一定成立. 1 1 (2)因为 < <0,所以 b<a<0,a+b<0,ab>0,

a b

所以 a+b<ab,|a|<|b|,在 b<a 两边同时乘以 b, 因为 b<0,所以 ab<b .因此正确的是①④. 思维升华 解决此类问题常用两种方法:一是直接使用不等式的性质逐个验证;二是利用特 殊值法排除错误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件. 若 a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论:①ad>bc;② + <0;③a-c>b-d;④a(d -c)>b(d-c)中成立的个数是________. 答案 3 解析 方法一 ∵a>0>b,c<d<0, ∴ad<0,bc>0, ∴ad<bc,故①错误. ∵a>0>b>-a,∴a>-b>0, ∵c<d<0,∴-c>-d>0, ∴a(-c)>(-b)(-d), ∴ac+bd<0,∴ + = ∵c<d,∴-c>-d, ∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d), ∴a-c>b-d,故③正确. ∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c), 故④正确. 方法二 取特殊值. 题型三 不等式性质的应用 命题点 1 应用性质判断不等式是否成立 例 3 已知 a>b>0,给出下列四个不等式: ①a >b ;②2 >2
2 2 2

a b d c

a b ac+bd <0,故②正确. d c cd

a

b-1

;③ a-b> a- b;④a +b >2a b.

3

3

2

其中一定成立的不等式为________.
6

答案 ①②③ 解析 方法一 由 a>b>0 可得 a >b ,①成立; 由 a>b>0 可得 a>b-1,而函数 f(x)=2 在 R 上是增函数, ∴f(a)>f(b-1),即 2 >2 ∵a>b>0,∴ a> b, ∴( a-b) -( a- b)
2 2 2 2

x

a

b-1

,②成立;

=2 ab-2b=2 b( a- b)>0, ∴ a-b> a- b,③成立; 若 a=3,b=2,则 a +b =35,2a b=36,
3 3 2

a3+b3<2a2b,④不成立.
方法二 令 a=3,b=2, 可以得到①a >b ,②2 >2
2 2

a

b-1

,③ a-b> a- b均成立,而④a +b >2a b 不成立.

3

3

2

命题点 2 求代数式的取值范围 例 4 已知-1<x<4,2<y<3, 则 x-y 的取值范围是________, 3x+2y 的取值范围是________. 答案 (-4,2) (1,18) 解析 ∵-1<x<4,2<y<3,∴-3<-y<-2, ∴-4<x-y<2. 由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6, ∴1<3x+2y<18. 引申探究 1.将已知条件改为-1<x<y<3,求 x-y 的取值范围. 解 ∵-1<x<3,-1<y<3, ∴-3<-y<1,∴-4<x-y<4. 又∵x<y,∴x-y<0,∴-4<x-y<0, 故 x-y 的取值范围为(-4,0). 2.若将本例条件改为-1<x+y<4,2<x-y<3,求 3x+2y 的取值范围. 解 设 3x+2y=m(x+y)+n(x-y),

7

则?

?m+n=3, ? ? ?m-n=2,

5 m= , ? ? 2 ∴? 1 n= . ? ? 2

5 1 即 3x+2y= (x+y)+ (x-y), 2 2 又∵-1<x+y<4,2<x-y<3, 5 5 1 3 ∴- < (x+y)<10,1< (x-y)< , 2 2 2 2 3 5 1 23 ∴- < (x+y)+ (x-y)< , 2 2 2 2 3 23 即- <3x+2y< , 2 2 3 23 ∴3x+2y 的取值范围为(- , ). 2 2 思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法 ①判断不等式是否成立, 需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式 的性质. ②在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找 到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比如 对数函数、指数函数的性质等. (2)求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取 值范围.解决此类问题, 一般是利用整体思想, 通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围, 是避免错误的有效途径. (1)若 a<b<0,则下列不等式一定成立的是________. ① ③ 1 1 > ; a-b b |b| |b|+1 < ; |a| |a|+1 ②a <ab; ④a >b .
n n
2

(2)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: ① > ;

c c a b

②a <b ;

c

c

③logb(a-c)>loga(b-c).

其中所有正确结论的序号是________. 答案 (1)③ (2)①②③

8

解析 (1)(特值法)取 a=-2,b=-1,逐个检验,可知①,②,④均不正确; |b| |b|+1 ③中, < ?|b|(|a|+1)<|a|(|b|+1) |a| |a|+1 ?|a||b|+|b|<|a||b|+|a|?|b|<|a|, ∵a<b<0,∴|b|<|a|成立. 1 1 (2)由不等式性质及 a>b>1 知 < ,

a b

又 c<0,∴ > ,①正确; 构造函数 y=x , ∵c<0,∴y=x 在(0,+∞)上是减函数, 又 a>b>1,∴a <b ,②正确; ∵a>b>1,c<0,∴a-c>b-c>1, ∴logb(a-c)>loga(a-c)>loga(b-c),③正确.
c c c c

c c a b

6.利用不等式变形求范围

典例 设 f(x)=ax +bx,若 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则 f(-2)的取值范围是________. 错解展示
? ?1≤a-b≤2, 解析 由已知得? ?2≤a+b≤4, ?

2

① ②

①+②得 3≤2a≤6,∴6≤4a≤12, 又由①可得-2≤-a+b≤-1, ②+③得 0≤2b≤3,∴-3≤-2b≤0, 又 f(-2)=4a-2b,∴3≤4a-2b≤12, ∴f(-2)的取值范围是[3,12]. 答案 [3,12] 现场纠错 解析 方法一 由?
?f?-1?=a-b, ? ? ?f?1?=a+b,



9

1 a= [f?-1?+f?1?], ? ? 2 得? 1 b= [f?1?-f?-1?], ? ? 2 ∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故 5≤f(-2)≤10.
? ?1≤a-b≤2, 方法二 由? ? ?2≤a+b≤4

确定的平面区域如图阴影部分所示,

3 1 当 f(-2)=4a-2b 过点 A( , )时, 2 2 3 1 取得最小值 4× -2× =5, 2 2 当 f(-2)=4a-2b 过点 B(3,1)时, 取得最大值 4×3-2×1=10, ∴5≤f(-2)≤10. 答案 [5,10] 纠错心得 在求式子的范围时, 如果多次使用不等式的可加性, 式子中的等号不能同时取到, 会导致范围扩大.

1.(教材改编)当 x>1 时,x 与 x -x+1 的大小关系为______________. 答案 x >x -x+1 解析 ∵x -(x -x+1) =x -x +x-1=x (x-1)+(x-1) =(x-1)(x +1).
10
2 3 2 2 3 2 3 2

3

2

又∵x>1, 故(x-1)(x +1)>0, ∴x -(x -x+1)>0, 即 x >x -x+1. 2.(2016·镇江模拟)若 6<a<10, ≤b≤2a,c=a+b,那么 c 的取值范围是__________. 2 答案 (9,30) 3a 解析 ∵c=a+b≤3a 且 c=a+b≥ , 2 3a ∴9< ≤a+b≤3a<30. 2 3.已知 x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式成立的是________. ①xy>yz; ③xy>xz; 答案 ③ 解析 ∵x>y>z 且 x+y+z=0,∴x>0,z<0, 又 y>z,∴xy>xz. 4.设 a,b∈R,则“(a-b)·a <0”是“a<b”的________条件. 答案 充分不必要 解析 由(a-b)·a <0? a≠0 且 a<b,∴充分性成立; 由 a<b? a-b<0,当 0=a<b 时?(a-b)·a <0,必要性不成立. π π β 5.设 α ∈(0, ),β ∈[0, ],那么 2α - 的取值范围是__________. 2 2 3 π 答案 (- ,π ) 6 β π 解析 由题设得 0<2α <π ,0≤ ≤ , 3 6 π β π β ∴- ≤- ≤0,∴- <2α - <π . 6 3 6 3 6.已知 a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是________. ①若 a>b,则 ac >bc ; ②若 > ,则 a>b; 1 1 3 3 ③若 a >b 且 ab<0,则 > ;
2 2 2 2 2 3 2 3 2 2

a

②xz>yz; ④x|y|>z|y|.

a b c c

a b

11

1 1 2 2 ④若 a >b 且 ab>0,则 < .

a b

答案 ③ 解析 当 c=0 时,可知①不正确; 当 c<0 时,可知②不正确; 对于③,由 a >b 且 ab<0,知 a>0 且 b<0, 1 1 所以 > 成立,③正确;
3 3

a b

当 a<0 且 b<0 时,可知④不正确. 7.若 a>b>0,则下列不等式中一定成立的是________. 1 1 ①a+ >b+ ;

b b

a a

② > ④

b b+1 ; a a+1
2a+b a > . a+2b b

1 1 ③a- >b- ; 答案 ①

1 解析 取 a=2,b=1,排除②与④;另外,函数 f(x)=x- 是(0,+∞)上的增函数,但函

x

1 数 g(x)=x+ 在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增,所以,当 a>b>0 时,f(a)>f(b)必定成

x

1 1 1 1 立,即 a- >b- ?a+ >b+ ,但 g(a)>g(b)未必成立.

a

b

b

a

8.若 a>b>0,则下列不等式一定不成立的是________. 1 1 ① < ;

a b
2

②log2a>log2b; ④b< ab<

③a +b ≤2a+2b-2; 答案 ③

2

a+b
2

<a.

解析 ∵(a-1) +(b-1) >0(由 a>b>0,a,b 不能同时为 1), ∴a +b -2a-2b+2>0,∴a +b >2a+2b-2, ∴③一定不成立. 9. 若不等式 ( - 2) a - 3 ____________.
n n-1
2 2 2 2

2

2

- ( - 2) <0 对任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是

n

?1 7? 答案 ? , ? ?2 4?
解析 当 n 为奇数时,2 (1-a)<3
n n-1

1 ?3?n 1 ?3?1 1 ,1-a< ×? ? 恒成立,只需 1-a< ×? ? ,∴a> .当 n 3 ?2? 3 ?2? 2

12

为偶数时,2 (a-1)<3 1 7 综上, <a< . 2 4

n

n-1

1 ?3?n 1 ?3?2 7 ,a-1< ×? ? 恒成立,只需 a-1< ×? ? ,∴a< . 3 ?2? 3 ?2? 4

10.已知 a,b,c,d 均为实数,有下列命题 ①若 ab>0,bc-ad>0,则 - >0; ②若 ab>0, - >0,则 bc-ad>0; ③若 bc-ad>0, - >0,则 ab>0. 其中正确的命题是________. 答案 ①②③ 解析 ∵ab>0,bc-ad>0, ∴ - =

c d a b

c d a b

c d a b

c d bc-ad >0,∴①正确; a b ab c d a b bc-ad >0, ab

∵ab>0,又 - >0,即

∴bc-ad>0,∴②正确; ∵bc-ad>0,又 - >0,即

c d a b

bc-ad >0, ab

∴ab>0,∴③正确.故①②③都正确. 11.(教材改编)一辆汽车原来每天行驶 x km,如果该汽车每天行驶的路程比原来多 19 km,那 么在 8 天内它的行程将超过 2 200 km,用不等式表示为____________. 答案 8(x+19)>2 200 解析 因为该汽车每天行驶的路程比原来多 19 km,所以汽车每天行驶的路程为(x+19) km, 则在 8 天内它的行程为 8(x+19) km,因此,不等关系“在 8 天内它的行程将超过 2 200 km” 可以用不等式 8(x+19)>2 200 来表示. 2 12.已知-1<2x-1<1,则 -1 的取值范围是________.

x

答案 (1,+∞) 1 2 解析 -1<2x-1<1? 0<x<1? >1? >2

x

x

2 ? -1>1.

x

13.已知-1≤x+y≤4, 且 2≤x-y≤3, 则 z=2x-3y 的取值范围是__________(用区间表示). 答案 [3,8]
13

1 5 解析 ∵z=- (x+y)+ (x-y), 2 2 1 5 ∴3≤- (x+y)+ (x-y)≤8, 2 2 ∴z 的取值范围是[3,8]. 14.已知 m∈R,a>b>1,f(x)= 解 f(x)=m(1+ 1 1

mx ,试比较 f(a)与 f(b)的大小. x-1
1

x-1

),f(a)=m(1+

a-1

),

f(b)=m(1+ ). b-1
由 a>b>1,知 a-1>b-1>0. ∴ 1 1 1 1 < ,∴1+ <1+ . a-1 b-1 a-1 b-1 1

①当 m>0 时,m(1+

a-1

)<m(1+

1

b-1

),f(a)<f(b).

②当 m=0 时,f(a)=f(b)=0. ③当 m<0 时,m(1+ 1

a-1

)>m(1+

1

b-1

),f(a)>f(b).

综上所述,当 m>0 时,f(a)<f(b); 当 m=0 时,f(a)=f(b); 当 m<0 时,f(a)>f(b).

14


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