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演绎推理(上课用)_图文

2.1.2演绎推理

复习回顾:
1.什么叫合情推理?
前提为真时,结论可能为真的推理

2.常用的合情推理有哪些? 归纳推理和类比推理
从特殊到一般的推理 3. 归纳推理 的推理形式:

4. 类比推理的推理形式: 从特殊到特殊的推理
从具体问题出发――观察、分析 、比较、联想 ――归纳,猜想

求证:等腰三角形的底角相等
已知:在三角形 ABC中,AB ? AC, 求证:?B ? ?C
证明:作?A的角平分线AD,则?BAD ? ?CAD 又因为AB ? AC, AD ? AD 所以?ABD全等于?ACD, 所以?B ? ?C

A

由概念的定义或一些真命题,依照一定的逻 辑规则得到正确结论的过程叫演绎推理。

B

演绎推理特征:当前题提为真时,结论必然为真C

D

完成下列推理, 它们是合情推理吗? 它们有什么特点?
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 一般性的原理 特殊情况 结论

2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理 因为2007是奇数, 所以2007不能被2整除. 特殊情况 结论

1、三段论推理
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况 下的结论,这种推理 称为三段论推理 .
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 一般性的原理 特殊情况 结论 大前提 小前提 结论

2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理 因为2007是奇数, 所以2007不能被2整除. 特殊情况 结论

(2)三段论的基本格式 M是P (大前提) S是M (小前提) M 所以,S是P (结论)

?

a

S

(3)三段论推理的依据,用集合的观点来理解:

若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的 一个子集,那么S中所有元素也都具有性质 P。

练习1. 分析下列推理是否正确,说明为什么?
大前提错误 (1)自然数是整数, 3是自然数, 3是整数. (2)整数是自然数, -3是整数, -3是自然数. (4)自然数是整数, -3是整数, -3是自然数. 推理形式错误

(3)自然数是整数, -3是自然数, -3是整数. 小前提错误

例1完成下面的推理过程 一条抛物线 .” “二次函数y=x2 + x + 1的图象是 试将其恢复成完整的三段论.
解:
大前提 小前提 ∵二次函数的图象是一条抛物线, 函数y = x2 + x + 1是二次函数, ∴函数y = x2 + x + 1的图象是一 条抛物线.

M

S

P





例2 利用三段论证明:函数 f (x)=-x2+2 x在(-∞,1)是 增函数. 证明:若满足对于任意x ∈D, 有 f/ / (x) > 0成 大前提 立,则函数f(x) 是区间D上的增函数. f /(x)=-2x+2= -2(x-1)



x<1

小前提

∴ x-1<0



f / (x)>0
结论

∴函数f (x)=-x2+2 x在(-∞,1)是增函数.

例3如图;在锐角三角形AB中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E 是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等.
(1)因为有一个内角是直角的 证明:

大前提

C

三角形是直角三角形, 在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=900, 小前提 所以△ABD是直角三角形. 结论 同理△ABE是直角三角形. A M B (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ,大前提 M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线, 小前提
所以 AB. 结论 注意:(1)书写时,若大前提是很明显的,可以省略 1 同理 EM= AB. 2 (2)大前提一般都是定理、公理、性质等,而 所以 DM = EM. 演绎推理常用在函数、立体几何、数列等问题中
1 DM= 2

E

D

例3、已知空间四边形ABCD,点E,F分别是 AB,AD的中点.

求证:EF//平面BCD(用三段论证明)
A

证明:连接BD 因为点E,F分别是AB,AD的中点, 所以EF//BD
F B

又因为EF ? 平面BCD,BD ?平面BCD
所以EF//平面BCD

D

C

说明:
在用三段论推理证明时,大前提的 实质是使推理得以进行下去的依据。大 前提往往省略.

25能被5整除 为了简洁起见,经常略去大前提或 者小前提,或者两者都略去

2.传递性关系推理
例3.求证:当a>1时,有loga(a+1)>log(a+1)a 证明:∵ a>1 ∴ loga(a+1)>logaa=1 ① 又∵a+1>1 ∴ log(a+1)a<log(a+1)(a+1)=1 ② 由两式可知 loga(a+1)>log(a+1)a 在这个证明过程中,关键的步骤是:①loga(a+1)>1

②log(a+1)a<1.这个推理规则是:“如果 aRb,
这种推理规则叫做传递性关系推理

bRc

则aRc”,其中“R”表示具有传递性的关系。

例4.证明函数f(x)=x6-x3+x2-x+1的值 恒为正数。 证明:当x<0时,f(x)的各项都为正数, 因此,当x<0时,f(x)为正数; 当0≤x≤1时, f(x)=x6+x2(1-x)+(1-x)>0; 当x>1时,f(x)=x3(x2-1)+x(x-1)+1>0, 综上所述,函数f(x)的值恒为正数。

3.完全归纳推理 在这个证明中,对x的所有可能的取值

都给出了f(x)为正数的证明,所以断定f(x)
恒为正数。 这种把所有情况都考虑在内的演绎推理 规则叫做完全归纳推理。 又如对所有的n (3≤n≤10)边形,证明n边 形的内角和为(n-2)π,就是完全归纳证明。

如何选择那种演绎推理 (1)证明等量关系、不等关系(放缩法)、 立体几何中的平行关系
传递性关系推理

(2)涉及含参变量需要分类讨论的问题
完全归纳推理

(3)根据定理、公理、性质证明问题
三段论推理

合情推理与演绎推理的区别
合情推理
归纳推理 类比推理 演绎推理

区 别

推理 由部分到整体,特 由特殊到特殊的 由一般到特殊的 推理 形式 殊到一般的推理 推理 推理 结论 结论不一定正确,有待进一 步证明

在前提和推理形 式都正确时,得到 的结论一定正确

联系

合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演 绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的

练习. 1.下列推理的两个步骤分别遵循哪种推理规则? 因为AB∥CD 1 A B 所以∠1=∠2 2 D C 又因为∠2=∠3 3 所以∠1=∠3

? x ? x ? x ? x ?1 2.已知函数 f ( x)
10 7 4

证明:函数f(x)>0恒成立

练习

4.用三段论证明:通项公式为an ? cqn (cq ? 0)的数列?an ?是等比数列.
an ?1 证明:若 ? q(q ? 0) (n ? N ? ),则?an ? 是等比数列 an an ?1 cq n ?1 ? ? q(q ? 0) n an cq

大前提
小前提

? 所以通项公式为an ? cq n (cq ? 0)的数列?an ? 是等比数列.

结论

五、回顾小结:
1、 演绎推理概念; 演绎推理常用的推理——三段论. 2、 合情推理与演绎推理的区别与联系.

3、演绎推理错误的主要原因是: ①、大前提不成立;②、小前提不符合大前提的 条件;③推理形式错误
4、演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重 要思维过程.但数学结论、证明思路等的发 现,主要靠合情推理.因此,我们不仅要学会 证明,也要学会猜想.


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